第2課時 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用,類型 一 直線與橢圓的位置關(guān)系 【典型例題】 1.若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓 總有公共點, 則m的取值范圍為 . 2.k為何值時,直線y=kx+2和曲線2x2+3y2=6有兩個公共點?有一 個公共點?沒有公共點?,【解題探究】1.直線過定點的問題一般如何處理?當(dāng)點在什么位置時,經(jīng)過該點的直線總與橢圓有公共點? 2.判斷直線與橢圓有幾個公共點時,常用什么方法?,探究提示: 1.(1)把含參數(shù)的直線整理為兩部分,一是含參數(shù)的部分,一是不含參數(shù)的部分,讓兩部分同時為零,即可求得直線的定點. (2)當(dāng)點在橢圓內(nèi)部和在橢圓上時,經(jīng)過該點的直線與橢圓總有公共點. 2.判斷直線與橢圓的交點個數(shù),往往利用判別式的符號進行判斷.,【解析】1.方法一:由 消去y,整理得 (m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, =100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). 直線與橢圓總有公共點, 0對任意kR都成立. m0,5k21-m恒成立,1-m0,即m1. 又橢圓的焦點在x軸上,0m5, 1m5.,方法二:直線y=kx+1過定點M(0,1), 要使直線與該橢圓總有公共點,則點M(0,1)必在橢圓內(nèi)或 橢圓上,由此得 解得1m5. 答案:1,5),2.由 得2x2+3(kx+2)2=6, 即(2+3k2)x2+12kx+6=0, =144k2-24(2+3k2)=72k2-48. 當(dāng)=72k2-480,即k 或k- 時, 直線和曲線有兩個公共點; 當(dāng)=72k2-48=0,即k= 或k=- 時, 直線和曲線有一個公共點; 當(dāng)=72k2-480,即- k 時,直線和曲線沒有公共點.,【拓展提升】 1.點與橢圓的位置關(guān)系判斷,2.直線與橢圓位置關(guān)系的判斷方程,【變式訓(xùn)練】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.當(dāng)直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】由題意得 消去y得: 5x2+2mx+m2-1=0. 直線與橢圓有公共點, =4m2-20(m2-1)=20-16m20, ,類型 二 弦長問題 【典型例題】 1.如圖所示,已知斜率為1的直線l過橢圓 的右焦點,交橢圓于A,B兩點, 則弦AB的長為 . 2.(2013·汝陽高二檢測)橢圓 (ab0)的離心率 為 ,橢圓與直線x+2y+8=0相交于點P,Q,且|PQ|= , 求橢圓的方程.,【解題探究】1.題1中的直線l已經(jīng)具備了哪些條件? 2.直線與橢圓相交的弦長問題,一般應(yīng)如何處理? 探究提示: 1.直線l已經(jīng)具備了兩個條件,一是此直線的斜率為1,二是此 直線上的一個點即焦點( ,0). 2.對于直線與橢圓相交的弦長問題,一般應(yīng)把直線與橢圓的 方程聯(lián)立方程組,應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2(或y1+y2) 與x1x2(或y1y2),然后再根據(jù)條件求解其他問題.,【解析】1.設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2), 由橢圓方程得a2=4,b2=1,c2=3,所以F( ,0),直線l的方程為 y=x- .將其代入x2+4y2=4,化簡整理,得5x2-8 x+8=0, 所以x1+x2= ,x1x2= . 所以|AB|= |x1-x2| = = 答案:,2.設(shè)點P,Q的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).由e= 得c= a.由c2=a2-b2,得a2=4b2. 由 消去x,得2y2+8y+16-b2=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=-4,y1y2= |PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2=5(y1-y2)2 =5(y1+y2)2-4y1y2=10, 即516-2(16-b2)=10,解得b2=9,則a2=36. 所以橢圓的方程為,【互動探究】題1中若直線過x軸上點(m,0),那么當(dāng)m為何值時,弦長|AB|最長? 【解題指南】列出直線方程,與橢圓方程構(gòu)建方程組.利用弦長公式建立弦長的函數(shù),再由二次函數(shù)求最值. 【解析】由條件可知,直線l的方程可設(shè)為y=x-m. 再由 得5x2-8mx+4m2-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2= ,x1x2= 由0即64m2-20(4m2-4)0得- m |AB|= = = 故當(dāng)m=0時,|AB|max=,【拓展提升】 1.直線與橢圓相交時弦長的兩種求法 方法一:求直線與橢圓的交點 用兩點間距離公式求解 方法二:條件:直線l:y=kx+m,橢圓: (ab0).,提醒:有時為了方便,也可聯(lián)立方程組消去x,利用公式 |AB|= |y2-y1| = 求解.,2.“設(shè)而不求”的思想在求弦長時的應(yīng)用 設(shè)出兩個交點A(x1,y1),B(x2,y2),目的不是求出點的坐標(biāo), 而是通過方程聯(lián)立得到一元二次方程,借用根與系數(shù)的關(guān)系, 得到x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2.再轉(zhuǎn)化求出,如 |AB|= |x2-x1|=,【變式訓(xùn)練】已知橢圓C中心在原點O,焦點在x軸上,其長軸長 為焦距的2倍,且過點M(1, ),F為其左焦點. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)過左焦點F的直線l與橢圓交于A,B兩點,當(dāng)|AB|= 時, 求直線l的方程. 【解題指南】(1)采用待定系數(shù)法求解. (2)分l斜率存在和不存在討論,當(dāng)斜率存在時,利用弦長公式建立方程,解方程求出斜率,進而求出直線l的方程.,【解析】(1)由條件知:a=2c,b2=a2-c2=3c2, 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 又過點M(1, ), c2=1,a2=4,b2=3, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(2)當(dāng)直線l斜率不存在時,|AB|=3,不合題意. 當(dāng)直線l斜率存在時,設(shè)直線l:y=k(x+1), 由 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2= x1x2=,|AB|= |x1-x2| = = = k2= ,即k=± , 直線l的方程為x- y+1=0或x+ y+1=0.,中點弦問題 【典型例題】 1.(2013·安陽高二檢測)如果橢圓 的弦被點 (4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 2.焦點分別為(0,5 )和(0,-5 )的橢圓截直線y=3x-2所得 橢圓的弦的中點的橫坐標(biāo)為 ,求此橢圓的方程.,【解題探究】1.把中點弦的兩端點(x1,y1)和(x2,y2)代入橢圓方程作差,能得到什么結(jié)論? 2.在解決直線與橢圓的關(guān)系問題時,的值必須驗證嗎? 探究提示: 1.x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,其中(x0,y0)為中點坐標(biāo),所以把 與 作差后能直接求得直線的斜率k. 2.一般情況下,的符號都要驗證,其目的是防止增根.,【解析】1.選D.設(shè)弦的兩端點分別為(x1,y1),(x2,y2), 則x1+x2=8,y1+y2=4.又由 得 k= 所以弦所在的直線方程為y-2=- (x-4), 即x+2y-8=0.,2.設(shè)橢圓方程為 (ab0), 且a2-b2=(5 )2=50, 由 得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0, a2=3b2, 由得:a2=75,b2=25,此時0, 橢圓方程為,【拓展提升】解決橢圓中點弦問題的兩種方法 (1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決.,(2)點差法:利用端點在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,將端點坐標(biāo)分 別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系, 具體如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓 (ab0) 上的兩個不同的點,M(x0,y0)是線段AB的中點, 則 由-,得 變形得 即,【變式訓(xùn)練】(2013·大理高二檢測)已知橢圓的中心在原點, 焦點為F1(0,-2 ),F2(0,2 ),且離心率 (1)求橢圓的方程. (2)直線l(與坐標(biāo)軸不平行)與橢圓交于不同的兩點A,B, 且線段AB中點的橫坐標(biāo)為- ,求直線l的斜率的取值范圍.,【解析】(1)設(shè)橢圓方程為 (ab0), 由已知c=2 ,又 解得a=3, 所以b=1,故所求方程為 (2)設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k0)代入橢圓方程整理得 (k2+9)x2+2kbx+b2-9=0. 由題意得 解得k 或k 或k- .,橢圓中的最值問題 【典型例題】 1.已知橢圓C: 點A(3,0),點P在橢圓C上.求|PA| 的最小值. 2.如圖,點A,B分別是橢圓 長軸的左、右端點, 點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PAPF. (1)求點P的坐標(biāo). (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的 距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d 的最小值.,【解析】1.設(shè)P(x0,y0),則 |PA|2=(x0-3)2+y02=(x0-3)2+9(1- ) =x02-6x0+9+9- = -6x0+18 = -5x05且-5 5, x0= 時,(|PA|2)min= 即|PA|的最小值是,2.(1)由已知可得點A(-6,0),F(4,0), 設(shè)點P的坐標(biāo)是(x,y),則 =(x+6,y), =(x-4,y). 由已知得 消去y得2x2+9x-18=0,解得x= 或x=-6. 由于y0,只能x= ,于是y= 故點P的坐標(biāo)是( ).,(2)直線AP的方程是x- y+6=0. 設(shè)點M的坐標(biāo)是(m,0),則M到直線AP的距離是 于是 =|m-6|,又-6m6,解得m=2.設(shè)橢圓上的點 (x,y)到點M的距離為d,有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2 = (x- )2+15,由于-6x6, 故當(dāng)x= 時,d取最小值,【拓展提升】 1.橢圓上的點到直線的最大距離、最小距離問題的最佳解法,2.解決與橢圓有關(guān)的最值問題的三種方法 (1)定義法:利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理. (2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,進而求解. (3)函數(shù)法:探求函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.,【規(guī)范解答】平面向量在橢圓求解中的應(yīng)用,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為 ,其離心率為 ,故 ,則a=4, 故橢圓C2的方程為 4分 (2)方法一:A,B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),由 及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,因此 可設(shè)直線AB的方程為y=kx ,6分,將y=kx代入橢圓方程 +y2=1得(1+4k2)x2=4,所以 8分 將y=kx代入 中,得(4+k2)x2=16,所以 9分 又由 得xB2=4xA2 ,即 解得 k=±1,11分 故直線AB的方程為y=x或y=-x.12分,方法二:A,B兩點的坐標(biāo)分別記為(xA,yA),(xB,yB),由 及(1)知,O,A,B三點共線且點A,B不在y軸上,因此可設(shè)直線AB 的方程為y=kx,6分 將y=kx代入橢圓方程 得(1+4k2)x2=4,所以 xA2= ,故 7分 由 得 ,9分 將xB2,yB2代入橢圓C2的方程 中,整理得 即4+k2=1+4k2,解得k=±1,11分 故直線AB的方程為y=x或y=-x.12分,【失分警示】,【防范措施】 1.合理設(shè)出方程 在解題時,根據(jù)題目條件合理設(shè)出方程是解題的關(guān)鍵,往往對 解題起到很大的簡化作用,如本例中,由題意可設(shè)出C2的方程 為 (a2). 2.向量式的應(yīng)用關(guān)鍵 在解析幾何中,向量相等,往往是通過對應(yīng)坐標(biāo)相等來實現(xiàn)的, 這是使用向量式的關(guān)鍵,要在平時解題中落實.,【類題試解】(2013·天津高考)設(shè)橢圓 (ab0)的左 焦點為F,離心率為 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的 線段長為 (1)求橢圓的方程. (2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與 橢圓交于C,D兩點.若 =8,求k的值.,【解題指南】(1)由離心率及過點F且與x軸垂直的直線被橢圓 截得的線段長求出a，b，c的值，寫出橢圓方程. (2)寫出過點F且斜率為k的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用 根與系數(shù)的關(guān)系表示 求解.,【解析】(1)設(shè)F(c,0),由 過點F且與x軸 垂直的直線為x=c,代入橢圓方程有 解得 解得 又a2-c2=b2，從而 a= c=1， 所以橢圓的方程為,(2)設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為 y=k(x+1), 由方程組 消去y，整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2 6=0. 所以x1+x2=,因為A( ,0),B( ,0),所以 =(x1+ ,y1)·( x2,y2)+(x2+ ,y2)·( x1,y1) =62x1x22y1y2=62x1x22k2(x1+1)(x2+1)=6(2+2k2)x1x2 2k2(x1+x2)2k2= 由已知得,1.直線y=x+1被橢圓 所截得的弦的中點坐標(biāo)是 ( ) A.( , ) B.( , ) C.(- , ) D.(- ,- ),【解析】選C.由 得3x2+4x-2=0, x1+x2=- , 弦中點的橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo) 故選C.,2.過橢圓 的一個焦點F作垂直于長軸的橢圓的弦, 則此弦長為( ) A. B.3 C.2 D. 【解析】選B.c2=a2-b2=4-3=1, 橢圓的焦點坐標(biāo)為(±1,0). 把x=1或x=-1代入 得 y=± .所以此弦長為 -(- )=3.,3.過橢圓 的左焦點且斜率為1的弦AB的長是 . 【解析】橢圓的左焦點為(-4,0),由 得34x2+200x+175=0,x1+x2=- ,x1x2= . |AB|= = 答案:,4.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+ y+4=0 有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為 . 【解析】設(shè)橢圓方程為 (ab0). 由 得(a2+3b2)y2+8 b2y+16b2-a2b2=0, 由=0及c=2,可得a2=7,2a=2 答案:2,5.已知橢圓 過點P(2,1)作一弦,使弦在這點被平分, 求此弦所在直線的方程. 【解析】方法一:由題意可知所作的弦所在直線的斜率存在,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2). 代入橢圓方程并整理, 得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上面方程的兩個根,則x1+x2= 由P為弦AB的中點,知2= 解得k=- ,故所求直線的方程為x+2y-4=0.,方法二:設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2), 由P為弦AB的中點,知x1+x2=4,y1+y2=2, 由A,B在橢圓上,知x12+4y12=16,x22+4y22=16,兩式相減, 得(x12-x22)+4(y12-y22)=0, 即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, 則 即kAB=- . 故所求直線方程為y-1=- (x-2), 即x+2y-4=0.,