2.2.3 獨立重復試驗與二項分布,1.獨立重復試驗 一般地,在_條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗. 2.二項分布 一般地,在n次獨立重復試驗中,用X表示事件A發(fā)生的次數,設每 次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則_ _.此時稱隨機變量X服從二項分布,記作_, 并稱p為_.,相同,1,2,n,XB(n,p),成功概率,1.判一判(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)獨立重復試驗每次試驗之間是相互獨立的. ( ) (2)獨立重復試驗每次試驗只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結果.( ) (3)獨立重復試驗每次試驗發(fā)生的機會是均等的. ( ) (4)獨立重復試驗各次試驗發(fā)生的事件是互斥的. ( ),【解析】(1)正確.獨立重復試驗指的是做n次重復試驗,每次試驗之間是相互獨立的. (2)正確.在每次獨立試驗時,結果只有兩種:發(fā)生與不發(fā)生. (3)正確.因為獨立重復試驗指的是做n次相同的試驗,故每次試驗發(fā)生的機會是均等的. (4)錯誤.各次試驗的發(fā)生彼此獨立. 答案:(1) (2) (3) (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)已知B ,則P(=4)= . (2)連續(xù)擲一枚硬幣5次,恰好有3次出現正面向上的概率是 . (3)某人射擊一次擊中目標的概率為0.6,經過3次射擊,此人至 少有兩次擊中目標的概率為 .,【解析】(1)由B 可知 答案： (2)由題意可知，該試驗是獨立重復試驗，由于硬幣出現正面 向上和反面向上是等可能的，均為 ，故出現正面向上的次數 服從二項分布B(5， ). 所以 答案：,(3)由題意可知，此人射擊擊中目標的次數服從二項分布 B(3，0.6). 所以P(2)=P(=2)+P(=3)= =0.648. 答案：0.648,【要點探究】 知識點 獨立重復試驗與二項分布 1.n次獨立重復試驗的概率公式中各字母的含義,2.兩點分布與二項分布的區(qū)別,【知識拓展】 1.n次獨立重復試驗的概率公式的兩種特殊情況 k=n時,即在n次獨立重復試驗中事件A全部發(fā)生,概率為Pn(n)= pn(1-p)0=pn; k=0時,即在n次獨立重復試驗中事件A沒有發(fā)生,概率為Pn(0)= p0(1-p)n=(1-p)n.,2.二項分布與二項式定理的關聯 P(X=k)= (k=0,1,2,n)，如果把p看作b，1-p看 作a，則有a+b=1,則 (k=0,1,2,n)就是二項式定 理中(a+b)n展開式的通項.,【微思考】 (1)要研究拋擲硬幣的規(guī)律,需做大量的擲硬幣試驗.則每次試驗的前提是什么? 提示:為了保證試驗的效果,需要每次試驗的條件相同. (2)兩點分布與二項分布之間有怎樣的關系? 提示:兩點分布是特殊的二項分布,即XB(n,p)中,當n=1時,二項分布就是兩點分布.,【即時練】 1.下列試驗為獨立重復試驗的是 ( ) (1)依次投擲四枚質地不同的硬幣,3次正面向上. (2)某人射擊,擊中目標的概率是穩(wěn)定的,他連續(xù)射擊了10次,其中6次擊中. (3)口袋裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,從中依次抽取5個球,恰好抽出4個白球. A.(1) B.(2) C.(3) D.都不是,2.下列說法正確的是 . 某同學投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數X是一 個隨機變量,且XB(10,0.6); 某福彩的中獎概率為p,某人一次買了8張,中獎張數X是一個 隨機變量,且XB(8,p); 從裝有5個紅球、5個白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白 球為止,則摸球次數X是隨機變量,且XB .,【解析】1.選B.(1)由于試驗的條件不同(質地不同),因此不是獨立重復試驗. (2)某人射擊擊中的概率是穩(wěn)定的,因此是獨立重復試驗. (3)每次抽取,試驗的結果有三種不同的顏色,且每種顏色出現的可能性不相等,因此不是獨立重復試驗. 2.顯然滿足獨立重復試驗的條件,而雖然是有放回地摸球,但隨機變量X的定義是直到摸出白球為止,也就是說前面摸出的一定是紅球,最后一次是白球,不符合二項分布的定義. 答案:,【題型示范】 類型一 獨立重復試驗 【典例1】(建議教師以第(2)題為例重點講解) (1)(2014·四川廣元高二檢測)某市公租房的房源位于A,B,C三個片區(qū),設每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源,且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的.該市的4位申請人中恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 .,(2)某射手進行射擊訓練,假設每次射擊擊中目標的概率為 , 且每次射擊的結果互不影響,已知射手射擊了5次,求: 其中只在第一、三、五次擊中目標的概率. 其中恰有3次擊中目標的概率.,【解題探究】1.題(1)中房源申請人申請片區(qū)是什么事件的試驗? 2.題(2)中射手射擊了5次的含義是什么? 【探究提示】1.獨立重復試驗. 2.射擊5次的意思是進行了5次獨立重復試驗.,【自主解答】(1)每位申請人申請房源為一次試驗，這是4次獨 立重復試驗，設申請A片區(qū)房源記為A，則P(A)= ，所以恰有 2人申請A片區(qū)的概率為 答案：,(2)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標， 是在確定的情況下擊中目標3次，也就是在第二、四次沒有擊 中目標，所以只有一種情況，又因為各次射擊的結果互不影 響，故所求概率為,該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標根據排列組合知 識，5次當中選3次，共有 種情況，因為各次射擊的結果互 不影響，所以符合n次獨立重復試驗概率模型故所求概率為,【延伸探究】若題(2)的條件不變，求其中恰有3次連續(xù)擊中目 標，而其他兩次沒有擊中目標的概率. 【解題指南】該射手射擊了5次，其中恰有3次連續(xù)擊中目標， 而其他兩次沒有擊中目標，應用排列組合知識，把3次連續(xù)擊 中目標看成一個整體可得共有 種情況. 【解析】所求概率為,【方法技巧】獨立重復試驗概率求解的關注點 (1)運用獨立重復試驗的概率公式求概率時，首先判斷問題中涉及的試驗是否為n次獨立重復試驗，判斷時注意各次試驗之間是相互獨立的，并且每次試驗的結果只有兩種(即要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，在任何一次試驗中某一事件發(fā)生的概率都相等，然后用相關公式求概率 (2)解此類題常用到互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式,【變式訓練】某氣象站天氣預報的準確率為80%,計算:(結果保留到小數點后面第2位) (1)5次預報中恰有2次準確的概率. (2)5次預報中至少有2次準確的概率. (3)5次預報中恰有2次準確,且其中第3次預報準確的概率. 【解題指南】由于5次預報是相互獨立的,且一次試驗結果只有兩種(準確或不準確),符合獨立重復試驗模型.,【解析】(1)記預報一次準確為事件A,則P(A)=0.8. 5次預報相當于5次獨立重復試驗, 2次準確的概率為 ×0.82×0.23=0.05120.05, 因此5次預報中恰有2次準確的概率約為0.05. (2)“5次預報中至少有2次準確”的對立事件為“5次預報全 部不準確或只有1次準確”, 其概率為 ×(0.2)5+ ×0.8×0.24=0.006720.01. 所以所求概率約為1-0.01=0.99.,(3)說明第1，2，4，5次中恰有1次準確. 所以概率為 ×0.8×0.23×0.8=0.020 480.02. 所以恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率約為0.02.,【補償訓練】十層電梯從低層到頂層停不少于3次的概率是多少？停幾次概率最大？ 【解析】依題意，從低層到頂層停不少于3次，應包括停3次，停4次，停5次，直到停9次 所以從低層到頂層停不少于3次的概率,設從低層到頂層停k次，則其概率為 所以當k=4或k=5時， 最大，即 最大， 答：從低層到頂層停不少于3次的概率為 ，停4次或5次的 概率最大.,類型二 二項分布問題 【典例2】 (1)已知XB ，則P(X=2)=_. (2)已知某種從太空飛船中帶回來的植物種子每粒成功發(fā)芽的 概率都為 ，某植物研究所分兩個小組分別獨立開展該種子的 發(fā)芽試驗，每次試驗種一粒種子，如果某次沒有發(fā)芽，則稱該 次試驗是失敗的.,第一小組做了3次試驗，記該小組試驗成功的次數為X,求X的概率分布列. 第二小組進行試驗，到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率.,【解題探究】1.題(1)中由條件X=2可以得到什么？ 2.題(2)中“到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率”的含義是什么？ 【探究提示】 1.X=2表示10次試驗恰有兩次發(fā)生. 2.含義是求共進行7次試驗，第7次是成功的，前6次中有3次失敗，3次成功的概率.,【自主解答】(1)P(X=2)= 答案： (2)由題意，隨機變量X可能取值為0，1，2，3， 則XB 即P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,所以X的概率分布列為 第二小組第7次試驗成功，前面6次試驗中有3次失敗，3次成 功，每次試驗又是相互獨立的， 因此所求概率為,【方法技巧】判斷一個隨機變量是否服從二項分布的關鍵 (1)對立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與否二者必居其一. (2)重復性,即試驗獨立重復地進行了n次. (3)隨機變量是事件發(fā)生的次數.,【變式訓練】(2014·貴陽高二檢測)高三年級有3名男生和1名 女生為了報某所大學,事先進行了多方詳細咨詢,并根據自己的 高考成績情況,最終估計這3名男生報此所大學的概率都是 , 這1名女生報此所大學的概率是 .且這4人報此所大學互不影 響. (1)求上述4名學生中報這所大學的人數中男生和女生人數相等 的概率. (2)在報考某所大學的上述4名學生中,記為報這所大學的男 生和女生人數的和,試求的分布列.,【解析】(1)記“報這所大學的人數中男生和女生人數相等” 的事件為A，男生人數記為Bi(i=0,1,2,3)，女生人數記為 Ci(i=0,1). P(A)= (2)=0，1，2，3，4，,所以的分布列為：,【補償訓練】袋子中有8個白球，2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取三次，每次抽取一個球，求有放回時，取到黑球個數的分布列.,【解析】取到黑球數X的可能取值為0，1，2，3.又由于每次取 到黑球的概率均為 ，那么 故X的分布列為,【易錯誤區(qū)】獨立重復試驗在實際問題中的應用 【典例】(12分)甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標 的概率為 ，乙每次擊中目標的概率為 .求： (1)甲恰好擊中目標2次的概率. (2)乙至少擊中目標2次的概率. (3)乙恰好比甲多擊中目標2次的概率.,【審題】抓信息,找思路,【解題】明步驟，得高分,【點題】警誤區(qū),促提升 失分點1:若將處二項分布識別錯誤,導致本例基本不得分. 失分點2:若將處的二項分布與獨立事件混淆,導致本例最多得4分. 失分點3:若將處的互斥事件混淆為獨立事件,導致本例最多得6分.,【悟題】提措施,導方向 1.正確識別二項分布 在將實際問題轉化為二項分布問題時,一定要準確識別并找準n,p,k的值,如本例在處用到二項分布知識. 2.解概率問題要全面考慮 在確定隨機變量的所有可能取值時,要全面考慮,不可漏解,如本例中乙恰好比甲多擊中目標2次包含了兩個事件,若考慮不全,容易造成錯誤.,3.區(qū)分獨立事件與互斥事件兩個概念 互斥事件是指兩個事件不可能同時發(fā)生,獨立事件是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響,本例處用到兩個概念的區(qū)別.,【類題試解】9粒種子分種在甲、乙、丙3個坑內,每坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補種;若一個坑內的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補種.求: (1)甲坑不需要補種的概率. (2)3個坑中恰有1個坑不需要補種的概率. (3)有坑需要補種的概率(精確到0.001).,【解析】(1)因為甲坑內3粒種子都不發(fā)芽的概率為 (1-0.5)3= ， 所以甲坑不需要補種的概率為1- =0.875. (2)3個坑恰有一個坑不需要補種的概率為 0.041. (3)因為3個坑都不需要補種的概率為 ， 所以有坑需要補種的概率為1- 0.330.,