成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數,第二章,第二章,§2 對函數的進一步認識,2.3 映 射,1.映射的概念 兩個_集合A與B之間存在著對應關系f，而且對于A中的_元素x，B中總有_的一個元素y與它對應，就稱這種對應為從A到B的_，記作_ 2像與原像 給定一個從集合A到集合B的映射f：AB，A中的元素_稱為原像，B中的_稱為x的像，記作f：xy.,非空,每一個,唯一,映射,f：AB,x,對應元素y,3一一映射 如果映射f：AB滿足：A中每一個元素在B中都有_ 與之對應，A中的_的像也不同，B中的每一個元素都有_我們把這種映射叫一一映射，也叫一一對應 4映射與函數 設A，B是兩個_，f是A到B的一個映射，那么映射f：AB就叫作A到B的_在函數中，_的集合稱為定義域，_的集合稱為值域,唯一的像,不同元素,原像,非空數集,函數,原像,像,1.給出下列四個對應，其中是映射的是( ) A B C D 答案 B 解析 在中元素2沒有像，中元素1在像的集合中有兩個元素和它對應，故不是映射,答案 D,3在從集合A到集合B的映射中，下列說法正確的是( ) A集合B中的某一個元素b的原像可能不止一個 B集合A中的某一個元素a的像可能不止一個 C集合A中的兩個不同元素所對應的像必不相同 D集合B中的兩個不同元素的原像可能相同 答案 A 解析 根據映射的概念可知：A中元素必有唯一確定的像，但在像集中一個像可以有不同的原像，故A正確,5已知集合Aa，b，Bc，d，則從A到B的不同映射有_個 答案 4 解析 集合Aa，b，Bc，d，從A到B的不同映射為：,映射、一一映射與函數的判斷,思路分析 解答時可先從映射的定義出發(fā)，觀察A中任何一個元素在B中是否都有唯一的元素與之對應，然后再根據一一映射的定義及映射與函數的關系確定該對應關系是否為一一映射及是否是函數,規(guī)范解答 (1)是映射，且是函數，但不是一一映射，因為A中的任何一個元素，在B中都能找到唯一的元素與之對應，又A、B均為非空數集，所以此映射是函數因為x以及x的相反數在B中的對應元素相同，所以不是一一映射 (2)不是從集合A到集合B的映射，更不是函數和一一映射因為A中的元素0在集合B中沒有對應的元素,(3)不是從集合A到集合B的映射，更不是函數和一一映射因為任何正數的平方根都有兩個值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有兩個元素與之對應 (4)是映射，是函數，也是一一映射因為對A中的任一個元素，其倒數是唯一的，即在B中有唯一的元素與之對應又由于A，B都是非空數集，故此映射也是函數又因為對于不同的正數，其倒數也是不同的，且B中每個正數都是A中某個正數的倒數，故這個映射也是一一映射,規(guī)律總結 判斷一個對應是否構成從A到B的映射時，先看集合A中每一個元素在集合B中是否均有對應元素若有，看對應元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影響映射的成立想說明一個對應不是映射，只需尋找一個反例即可若進一步判斷該映射是否是函數，只需看兩個集合A，B是否是非空數集即可若進一步判斷是否為一一映射，還需注意B中的每一個元素在A中都有原像，集合A中不同元素對應的像不同,解析 (1)集合AN中元素1在對應關系f的作用下為0，而0N，即A中元素1在B中沒有元素與之對應，故該對應不是從A到B的映射 (2)集合A中元素6在對應關系f的作用下為3，而3B，故該對應不是從A到B的映射 (3)集合A中的每一個元素在對應關系f的作用下，在集合B中都有唯一的一個元素與之對應，所以此對應是從A到B的映射，又B中每一個元素在A中都有唯一的原像與之對應，故該對應是一一映射又A，B是非空數集，因此該對應也是從集合A到集合B的函數.,求映射中的像與原像,已知映射f：AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(x2y2,4xy) (1)求A中元素(5,5)的像； (2)求B中元素(5,5)的原像 思路分析 這兩個問題是一個互逆運算過程，求像需代入對應關系，而求原象需列方程組求得,規(guī)律總結 1.解答此類問題，關鍵是：(1)分清原像和像；(2)搞清楚由原像到像的對應法則 2一般已知原像求像時，常采用代入法，已知像求原像時，通常由方程組法求解，求解過程中要注意像與原像的區(qū)別和聯(lián)系,若本例條件不變，問集合A中是否存在元素(a，b)使它的像仍是自身？若存在，求出這個元素，若不存在，請說明理由,映射個數問題,已知集合Aa，b，c，B1,0,1 (1)求從A到B的映射的個數； (2)若從A到B的映射f滿足f(a)f(b)f(c)0，則這樣的映射有多少個？ 思路分析 (1)由于a，b，c對應的像都可以是1,0,1中的任一個，無論哪個元素都滿足題意，所以a，b，c都有三種可能的對應 (2)首先要理解f(a)，f(b)，f(c)的含義，它們是指a，b，c在集合B中的像，可先由條件f(a)f(b)f(c)的分析入手，分情況找出滿足條件的映射,規(guī)范解答 (1)因為3×3×327，所以從A到B的映射的個數為27. (2)當A中三個元素都對應0時，f(a)f(b)000f(c)，有一個映射 當A中三個元素對應B中兩個元素時滿足f(a)f(b)f(c)的映射有4個，它們分別是 f(a)1，f(b)0，f(c)1； f(a)0，f(b)1，f(c)1； f(a)1，f(b)0，f(c)1； f(a)0，f(b)1，f(c)1.,當A中的三個元素對應B中三個元素時，有兩個映射f(a)1，f(b)1，f(c)0； f(a)1，f(b)1，f(c)0. 綜上，滿足條件的映射有7個 規(guī)律總結 對于兩個集合間映射個數的問題，常見的題目有兩類，一類是給定兩個集合A，B，問由AB可建立的映射的個數這類問題與A，B中元素的個數有關系一般地，若A中有m個元素，B中有n個元素，則從AB共有nm個不同的映射另一類是含條件的映射個數的確定解決這類問題一定要注意對應關系所滿足的條件，要采用分類討論的思想方法來解決,已知集合A1,2,3，Ba，b求： (1)A到B的不同映射f：AB有多少個？ (2)B到A的不同映射f：BA有多少個？ 解析 (1)1的像有2種情況，2的像有2種情況，3的像也有2種情況，結合映射定義知，對A中的每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應允許多對一，故有2×2×28(種)情況即8個映射 (2)a的像有1,2,3共3種情況，同時b的像也有3種情況，所以f：BA的映射共有3×39(種)情況即9個映射,錯解 根據映射與函數的定義知是映射也是函數，而中，x0時y不存在，既不是映射也不是函數 辨析 判斷對應是否是A到B的映射，應考查集合A中的每一個元素是否在集合B中都有對應元素，且對應元素唯一 正解 對xA，在f：xy3x1作用下在B中都有唯一的像，因此能構成映射，又A、B均為數集，從而能構成函數； 當x1時，y|x1|11|0B，即A中的元素1在B中無像，因而不能構成映射，從而不能構成函數；,答案 規(guī)律總結判定映射、一一映射、函數必須根據定義，對所給對應關系做出正確判斷，不能憑感覺,