成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.3 向量的坐標表示和空間向量基本定理 第1課時 空間向量的標準正交分解與坐標表示及空間向量基本定理,第二章,1空間向量基本定理 定理：如果三個向量a、b、c_，那么對空間任一向量p，存在有序實數組x，y，z，使得p_其中a，b，c叫做空間的一個基底，_都叫做基向量 2空間向量的正交分解及其坐標表示 (1)單位正交基底 三個有公共起點O的_的單位向量e1、e2、e3稱為單位正交基底,xaybzC,a，b，c,兩兩垂直,不共面,原點,e1，e2，e3,平移,xe1ye2ze3,x，y，z,p(x，y，z),1用空間三個不共面的已知向量a，b，c可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結果是唯一的，空間任意三個不共面的向量都可以作為表示空間向量的一個基底 用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，關鍵是結合圖形，運用三角形法則、平行四邊形法則及多邊形法則，逐步把待求向量轉化為基向量的“代數和”,2空間向量基本定理的證明,3空間直角坐標系與單位正交基底的關系 在空間選一點O和一個單位正交基底e1，e2，e3，以點O為原點，分別以e1、e2、e3的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標軸，這樣我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz，其中O叫原點，向量e1、e2、e3都叫坐標向量，經過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，它們分別是xOy平面，xOz平面，yOz平面,4空間一點的坐標的確定方法 對空間的一點P(x，y，z)，如圖(1)所示，過點P作面xOy的垂線，垂足為P，在面xOy中，過P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A、C，則|x|PC，|y|AP，|z|PP，根據點A、C、D的位置即可確定x、y、z的符號,例如，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD2，AA11，則A(2,0,0)，B(2,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,1)，B1(2,3,1)，C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，如圖(2)所示,5特殊向量的坐標表示 若向量a平行x軸，則a(x,0,0) 若向量a平行y軸，則a(0，y,0) 若向量a平行z軸，則a(0,0，z) 若向量a平行xOy平面，則a(x，y,0) 若向量a平行yOz平面，則a(0，y，z) 若向量a平行zOx平面，則a(x,0，z),1如果a、b與任何向量都不能構成空間的一個基底，則( ) Aa與b共線 Ba與b同向 Ca與b反向 Da與b共面 答案 A 解析 因為空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底，因此，a、b必與任何向量共面，所以a、b為共線向量故選A,3向量a(0,2,3)，則( ) Aa平行于x軸 Ba平行于平面yOz Ca平行于平面zOx Da平行于平面xOy 答案 B 解析 因為a的橫坐標為0，所以a平行于平面yOz.,5設xab，ybc，zca，且a，b，c是空間的一個基底，給出下列向量組： a，b，x，x，y，z，b，c，z， x，y，abc， 其中可以作為空間的基底的向量組有_個 答案 3 解析 都可以作為空間的一組基底，對于，xab，顯然a、b、x共面，故a，b，x不能作為空間的一個基底,空間向量基本定理,總結反思 用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數乘的運算法則，及加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則逐步向基向量過渡，直到全部用基向量表示,空間向量的坐標表示,總結反思 本題主要考查空間向量的坐標表示解題時，首先要找準標準正交基，然后根據向量axiyjzk，則a(x，y，z)，即可得到結果,探索性問題,設a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k，試問是否存在實數、v，使a4a1a2va3成立？如果存在，求出、v的值；如果不存在，請給出證明,迷津點撥 正確理解共面向量的概念 判斷三個向量是否共面，注意向量共面的充要條件的表達式，在解題時切記結合圖形，運用數形結合法寫出向量表達式，如本例中(1)式，注意相反向量在化簡中的作用，如本例中(2)式,