成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,空間向量與立體幾何,第二章,2.3 向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理 第2課時(shí) 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,第二章,1空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則 若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則 ab_； ab_ ； a_ ； 空間向量平行的坐標(biāo)表示為ab(b0)x1x2，y1y2，z1z2(R),(x1x2，y1y2，z1z2),(x1x2，y1y2，z1z2),(x1，y1，z1)(R),(x2x1，y2y1，z2z1),x1x2y1y2z1z2,對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和,x1x2y1y2z1z20,1設(shè)i，j，k為單位正交基底，即i(1,0,0)，j(0,1,0)，k(0,0,1)，在此基底下，a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，即aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，根據(jù)向量線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的定義及運(yùn)算律，可得出a±b，a，a·b，ab，ab，|a|及cosa，b的坐標(biāo)表示,2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵這些公式為我們用向量的知識(shí)解決立體幾何問題提供了有力的工具 3運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題，先要考察原圖形是否方便建立直角坐標(biāo)系，將問題中涉及的點(diǎn)、線(向量)、面(向量的線性組合)用坐標(biāo)表示，如果容易表示則先建系，將點(diǎn)用坐標(biāo)表示出來(lái)，然后，利用垂直、平行、共面的條件通過向量運(yùn)算推證有關(guān)結(jié)論，利用向量的模、向量夾角的計(jì)算公式來(lái)求線段長(zhǎng)度及角，最后將計(jì)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論；當(dāng)圖形中的點(diǎn)不方便用坐標(biāo)表示時(shí)，可直接設(shè)出向量的基底，將各條件、結(jié)論中涉及的向量表示為基底的線性組合，再運(yùn)用向量線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行推理、計(jì)算最后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)幾何結(jié)論,4若a·b0，則ab；若ab(b0，R)，則aB 解兩直線垂直或平行的問題，或利用向量證明立體幾何的問題，應(yīng)先將幾何中的相關(guān)量用向量的形式表示，或建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量運(yùn)算求解,已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求： (1)ab； (2)ab； (3)2a·(b)； (4)(ab)·(ab) 分析 利用空間向量的運(yùn)算法則坐標(biāo)形式求解,向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,解析 (1)ab(2，1，2)(0，1,4) (20，11，24)(2，2,2) (2)ab(2，1，2)(0，1,4) (20，11，24)(2,0，6) (3)(2a)·(b)(4，2，4)·(0,1，4) 4×0(2)×1(4)(4)14. (4)(ab)·(ab)a2b2 414(0116)8. 總結(jié)反思 進(jìn)行運(yùn)算時(shí)可以適當(dāng)?shù)剡x擇求解方法，如計(jì)算(ab)·(ab)，可以先求ab與ab，再點(diǎn)乘，也可以用公式寫出a2b2|a|2|b|2然后計(jì)算,已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求3a2b，a·B 分析 空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和,解析 因?yàn)閍(2，1，2)，b(0，1,4)， 所以3a2b3(2，1，2)2(0，1,4)(3×2,3×(1)，3×(2)(2×0,2×(1)，2×4)(6，3，6)(0，2,8)(6，5,2) a·b(2，1，2)·(0，1,4)2×0(1)×(1)(2)×40187. 總結(jié)反思 空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算是今后利用向量知識(shí)解決立體幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，必須熟練掌握，并且能夠靈活地應(yīng)用,空間向量的垂直與平行的判斷,總結(jié)反思 已知兩個(gè)空間向量的坐標(biāo)，當(dāng)這兩個(gè)向量平行或垂直時(shí)，就可以根據(jù)aba1b1a2b2a3b30，aba1xb1，a2xb2，a3xb3(xR)進(jìn)行求解其中，a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3),設(shè)a(1,5，1)，b(2,3,5)，若(kab)(a3b)，則k_. 分析 由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可求出kab，a3b，再由向量共線的坐標(biāo)表示可求出k.,分析 (1)向量的模(大小)的公式是什么？ (2)計(jì)算兩個(gè)向量的夾角或其余弦值，要先計(jì)算哪些量？,數(shù)量積的應(yīng)用,總結(jié)反思 1.空間兩點(diǎn)間的距離(線段長(zhǎng)度)的求法 空間兩點(diǎn)可以確定一個(gè)向量，通過求向量的?；蚋鶕?jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出兩點(diǎn)間的距離 2關(guān)于兩直線夾角的求法 (1)通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩直線的方向向量的坐標(biāo)，然后計(jì)算兩直線的方向向量的夾角 (2)空間兩條直線夾角的范圍與向量夾角的范圍不同，當(dāng)所求兩向量夾角為鈍角時(shí)，則兩直線夾角是與此鈍角互補(bǔ)的銳角,總結(jié)反思 此類問題考查了空間向量的運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想值得注意的是：要建立合適的坐標(biāo)系，使運(yùn)算簡(jiǎn)便；要在運(yùn)算時(shí)別出錯(cuò),綜合應(yīng)用,總結(jié)反思 解題時(shí)要根據(jù)題設(shè)中關(guān)于x的方程有實(shí)根，得到t的取值范圍為3t4，而不是tR.,如圖，在矩形ABCD中，AB1，ADa，PA平面ABCD，且PA1，問：在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQQD？說明理由,分析 可建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為空間向量來(lái)求解,總結(jié)反思 兩向量平行或兩向量同向不是等價(jià)的，同向是平行的一種情況，兩向量同向能推出兩向量平行，但反過來(lái)不成立，也就是說，“兩向量同向”是“兩向量平行”的充分不必要條件錯(cuò)解就忽視了這一點(diǎn),