2.4 拋 物 線 2.4.1 拋物線及其標準方程,一、拋物線的定義,定點F,定直線l,相等,思考:定義中為什么加上條件“l(fā)不經(jīng)過F”? 提示:若點F在直線l上,滿足條件的動點P的軌跡是過點F且垂直于l的直線,而不是拋物線.,二、拋物線的標準方程,(- ,0),x=,(0, ),y=,(0, ),y=,判斷:(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)拋物線的方程都是二次函數(shù).( ) (2)拋物線的焦點到準線的距離是p.( ) (3)拋物線的開口方向由一次項確定.( ),提示:(1)錯誤.拋物線的方程不都是二次函數(shù),如開口向右的拋物線的方程為y2=2px(p0),對任一個x的值,y的值不唯一,所以不是二次函數(shù). (2)正確.在拋物線標準方程中,p0,焦點到準線的距離為p. (3)正確.一次項是x項時,p0開口向右,p0開口向上,p0開口向下. 答案:(1)× (2) (3),【知識點撥】 1.對拋物線定義的理解 (1)定義條件:直線l不經(jīng)過定點F. (2)一動三定: “一動”,即動點P; “三定”,即定點F,定直線l和定值,也就是P到定點F與到定直線的距離的比值是定值1.,2.拋物線標準方程的特點 (1)方程特點:拋物線的標準方程是關于x,y的二元二次方程,等號的左邊是其中一個變量的平方,另一邊是另一個變量的一次項. (2)參數(shù)p:在拋物線的方程中只有一個參數(shù)p,它的幾何意義是焦點到準線的距離,因此p0,p越大,拋物線開口越開闊,反之越扁狹.,(3)四種標準方程的位置的相同點: 原點在拋物線上; 焦點在坐標軸上; 準線與焦點在原點兩側,且準線與其中一條坐標軸垂直.,3.拋物線的焦點及開口方向,4.拋物線與二次函數(shù)的關系 二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a0),當b,c為0時,y=ax2 表示焦點在y軸上的拋物線,標準方程為x2= y,a0時拋物線 開口向上,a0時,拋物線開口向下,當拋物線的開口方向向 左或向右時,方程為y2=2px,這是一條曲線,不能稱為函數(shù).,類型 一 根據(jù)方程求焦點和準線方程 【典型例題】 1.(2013·南昌高二檢測)拋物線x=-2y2的準線方程是( ) A.y= B.y= C.x= D.x= 2.指出下列拋物線的焦點坐標和準線方程. (1)y= x2. (2)x=ay2(a0).,【解題探究】1.求拋物線的焦點坐標和準線方程時,首先要做什么? 2.當拋物線方程中含參數(shù)時,如何求焦點和準線? 探究提示: 1.求拋物線的焦點坐標和準線方程時,首先應把所給方程化成標準形式,然后找出開口方向再求性質(zhì). 2.如果拋物線方程中含參數(shù),要先把其化成標準方程,對參數(shù)應分類討論.,【解析】1.選D.方程x=-2y2的標準形式是y2=- x, 拋物線開口向左且p= ,準線方程為x= . 2.(1)拋物線y= x2的標準形式為x2=4y, p=2,焦點坐標是(0,1),準線方程是y=-1. (2)拋物線x=ay2(a0)的標準形式為y2= x, 2p= .,當a0時, 拋物線開口向右, 焦點坐標是( ,0),準線方程是x=- ; 當a0時, 拋物線開口向左, 焦點坐標是( ,0),準線方程是x=- . 綜上所述,當a0時,拋物線x=ay2的焦點坐標為( ,0), 準線方程為x=- .,【互動探究】題2(2)中,把方程改為x2=ay(a0),結果如何? 【解析】方程x2=ay是拋物線的標準形式,由方程知,其焦點 在y軸上,其焦點坐標為(0, ),準線方程為y=- .,【拓展提升】 1.求焦點坐標和準線方程的步驟,2.判斷焦點位置及開口方向的記憶口訣 焦點要看一次項,符號確定開口方向, 如果y是一次項,負時向下,正向上, 如果x是一次項,負時向左,正向右.,【變式訓練】(2013·亳州高二檢測)若拋物線y2=2px的焦點 與橢圓 的右焦點重合,則p的值為 . 【解題指南】求出拋物線的焦點和橢圓的右焦點,建立方程求解. 【解析】拋物線的焦點是( ,0),橢圓 中, c2=6-2=4,右焦點為(2,0),由 =2得p=4. 答案:4,類型 二 求拋物線的標準方程 【典型例題】 1.(2013·安陽高二檢測)設拋物線的頂點在原點,準線方程為x=-2,則拋物線的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 2.根據(jù)下列條件,求拋物線的標準方程: (1)焦點到準線的距離是4. (2)過點(1,2).,【解題探究】1.求拋物線的標準方程的關鍵是什么? 2.已知拋物線上一點時,如何確定開口方向? 探究提示: 1.求拋物線的標準方程的關鍵是首先明確拋物線焦點的位置. 2.若點在第一象限時,拋物線的開口向右或向上; 若點在第二象限時,拋物線的開口向上或向左; 若點在第三象限時,拋物線的開口向左或向下; 若點在第四象限時,拋物線的開口向下或向右.,【解析】1.選B.準線方程為x=-2,焦點坐標為(2,0), 故所求方程為y2=8x. 2.(1)p=4,拋物線的方程有四種形式: y2=8x,y2=-8x,x2=8y,x2=-8y.,(2)方法一:點(1,2)在第一象限,要分兩種情形:當拋物線的 焦點在x軸上時,設拋物線的方程為y2=2px(p0),則22=2p·1, 解得p=2,拋物線方程為y2=4x;當拋物線的焦點在y軸上時, 設拋物線的方程為x2=2py(p0),則12=2p·2,解得p= , 拋物線方程為x2= y. 方法二:設所求拋物線的標準方程為y2=mx或x2=ny,將點(1,2) 代入,得m=4,n= .故所求的方程為y2=4x或x2= y.,【拓展提升】 1.用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟,2.求拋物線的標準方程時需注意的三個問題 (1)把握開口方向與方程間的對應關系. (2)當拋物線的類型沒有確定時,可設方程為y2=mx或x2=ny,這樣可以減少討論情況的個數(shù). (3)注意p與 的幾何意義.,【變式訓練】(2013·新課標全國卷)設拋物線C:y2=2px (p0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x,【解析】選C.由題意知： 準線方程為x= 則由拋物 線的定義知，xM=5- 設以為直徑的圓的圓心為 所以圓方程為 又因為過點(0,2)，所以 yM=4，又因為點在上，所以16= 解得p=2或p=8， 所以拋物線的方程為y2=4x或y2=16x.,類型 三 拋物線的實際應用 【典型例題】 1.汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分,燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直,燈泡位于拋物線焦點處,已知燈口的直徑是24cm,燈深10cm,那么燈泡與反射鏡頂點(即截得拋物線頂點)間的距離是 . 2.一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍,若拱寬為am,求能使卡車通過的a的最小整數(shù)值.,【解題探究】1.對于實際問題的拋物線模型,建系有什么原則? 2.解答實際問題應注意什么? 探究提示: 1.一般地,遇拋物線模型的實際問題時,要注意把拋物線建在標準位置,即頂點在坐標原點,焦點建在坐標軸上. 2.解答本類題時,一要合理畫出圖形;二要建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?三要關注點的坐標和圖形中線段的對應關系.,【解析】1.取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸,拋物線的頂點為坐標原點,建立直角坐標系xOy,如圖所示. 因燈口直徑|AB|=24,燈深|OP|=10, 所以點A的坐標是(10,12). 設拋物線的方程為y2=2px(p0),由點A(10,12)在拋物線上,得122=2p×10,所以p=7.2. 所以拋物線的焦點F的坐標為(3.6,0).因此燈泡與反射鏡頂點間的距離是3.6cm. 答案:3.6cm,2.以拱頂為原點,拱高所在直線為y軸, 建立如圖所示的直角坐標系. 設拋物線方程為x2=-2py(p0), 則點B的坐標為( ),由點B在拋物線上, ( )2=-2p·(- ),p= , 拋物線方程為x2=-ay.,將點E(0.8,y)代入拋物線方程,得y=- 點E到拱底AB的距離為 解得a12.21,a取整數(shù), a的最小整數(shù)值為13.,【拓展提升】求解拋物線實際應用題的五個步驟,【變式訓練】某隧道橫斷面由拋物線及矩 形的三邊組成,尺寸如圖所示,某卡車空車 時能通過此隧道,現(xiàn)載一集裝箱,箱寬3m, 車與箱共高4.5m,問此車能否通過該隧道? 說明理由.,【解析】在以拋物線的頂點為坐標原點,以過頂點的水平直線為x軸建立的直角坐標系中,點A的坐標為(3,-3), 設拋物線方程為x2=-2py, 拋物線方程為x2=-3y. 如果此車能通過隧道,卡車和集裝箱應處于以y軸為對稱軸的對稱位置, 把點(x,-0.5)代入x2=-3y得x2=-3×(-0.5), x±1.22. 因此,高度為4.5m處,允許的寬度約為2×1.22=2.443, 此車不能通過該隧道.,與拋物線有關的軌跡問題 【典型例題】 1.(2013·唐山高二檢測)已知定點A(0,1),直線l1:y=-1,記過點A且與直線l1相切的圓的圓心為點C.則動點C的軌跡E的方程為 . 2.(2013·瑞金高二檢測)點M到點F( ,0)的距離比到直線 x=- 的距離小1,求點M滿足的方程.,【解析】1.根據(jù)條件可知,動圓的圓心C到點(0,1)的距離與 到直線y=-1的距離相等,所以滿足拋物線的定義,這里 =1, 焦點為(0,1),所以動點C的軌跡方程為x2=4y. 答案:x2=4y,2.點M到點F( ,0)的距離比到直線x=- 的距離小1, 點M到點F( ,0)的距離與到直線x=- 的距離相等, 點M軌跡為以F( ,0)為焦點,x=- 為準線的拋物線, 設拋物線方程為y2=2px(p0),則由題意知:p=3, 所求拋物線的方程為:y2=6x.,【拓展提升】定義法求拋物線方程的關鍵 拋物線的軌跡問題,既可以用軌跡法直接求解,也可以轉(zhuǎn)化為拋物線的定義求解.后者的關鍵是找到條件滿足動點到定點的距離等于到定直線的距離,有時需要依據(jù)條件進行轉(zhuǎn)化.,【易錯誤區(qū)】求拋物線焦點和弦長時的誤區(qū) 【典例】(2013·南昌高二檢測)從拋物線y2=4x上一點P引拋物線準線的垂線,垂足為M,且|PM|=5,設拋物線的焦點為F,則MPF的面積為 .,【解析】拋物線方程為y2=4x,則準線方程為x=-1. 令P點坐標為P(x0,y0),由圖可知, |PM|=x0+1=5.x0=4.把x0=4代入y2=4x,解得y0=±4, MPF的面積為 |PM|×|y0|= ×5×4=10. 答案:10,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.準確記住拋物線的焦點和準線 在拋物線方程中,一次項系數(shù)與焦點的橫或縱坐標間是“4倍關系”,要牢記公式,不能失誤,如本例中準線方程為x=-1.,2.加強圖形之間的聯(lián)系與直觀性 在解析幾何的解題中,要加強圖形的直觀,對結論性的知識應利用圖形加強記憶,避免運算中使用錯誤結論,如本例中PM的長可表示為x0+1=5. 3.注意拋物線定義的應用 拋物線的定義比較靈活,要注意靈活應用,往往是“看到焦點,想到準線;看到準線,想到焦點”,這有利于問題的解決.,【類題試解】(2013·新課標全國卷)O為坐標原點，F(xiàn)為拋 物線C：y2= 的焦點，P為C上一點，若|PF|= 則 POF的面積為( ) 【解析】選C.設P(x1,y1)，則|PF|= 解 得 因為P為C上一點，則 得|y1|= 所以SPOF=,1.拋物線x=4y2的準線方程是( ) A.y= B.y=-1 C.x=- D.x= 【解析】選C.拋物線的標準方程是y2= x,這里p= , 所以準線方程為x=- .,2.拋物線y2=8x的焦點到準線的距離是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】選C.拋物線y2=8x的焦點坐標為(2,0),準線方程為x=-2,所以焦點到準線的距離為4.,3.點P為拋物線y2=2px上任一點,F為焦點,則以P為圓心,以|PF|為半徑的圓與準線l( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.位置由F確定 【解析】選B.根據(jù)拋物線的定義,|PF|等于點P到準線l的距離,即圓心P到直線l的距離等于半徑|PF|,所以半徑為|PF|的圓P與準線l相切.,4.設拋物線y2=4x上一點P到y(tǒng)軸的距離是2,則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選C.由y2=4x可知,點P在y軸的右側,且準線方程為x=-1,P到y(tǒng)軸的距離為2,P到準線的距離為3,根據(jù)定義可知,P到焦點的距離是3.,5.若直線ax-y+1=0經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,則實數(shù)a= . 【解析】把y2=4x的焦點坐標(1,0)代入ax-y+1=0得a+1=0,即a=-1. 答案:-1,6.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸是x軸,拋物線上的點 M(-3,m)到焦點的距離等于5,求拋物線的方程和m的值. 【解析】設拋物線方程為y2=-2px(p0), 則焦點F(- ,0),由題意可得 解得 或 故所求的拋物線方程為 y2=-8x.m的值為±2 .,