優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) W. 摘要。數(shù)學(xué)技術(shù)被應(yīng)用在典型的優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題這一領(lǐng)域。介紹一個(gè)關(guān)于一個(gè)桿的設(shè)計(jì)為了描述最大化繞度和顯示怎樣適當(dāng)?shù)碾x散化可能導(dǎo)致一個(gè)非線性的問(wèn)題，在這種情況下的復(fù)雜的程序。最優(yōu)布局已經(jīng)被討論了一段時(shí)間。一種新的建立最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)的方法已經(jīng)說(shuō)明了被設(shè)計(jì)一個(gè)靜不定梁或一個(gè)變截面的繞度在一個(gè)單一的集中壓力下。其他的應(yīng)用這個(gè)方法被簡(jiǎn)單的討論，并且用一個(gè)多功能的設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單的例子來(lái)結(jié)束這份文件。 1 。導(dǎo)言 結(jié)構(gòu)最優(yōu)化的最普通的問(wèn)題或許可以表述如下：從所有的滿足某些限制的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，選擇其 中一個(gè)最低成本的。注意這個(gè)聲明并不定義一個(gè)唯一的設(shè)計(jì) ;可能同時(shí)有幾個(gè)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)有相同的成本。 典型的設(shè)計(jì)將考慮滿足變形或受力的最大約束，或者最小約束的承載能力，屈服載荷，或固有頻率。單一的和多用途的結(jié)構(gòu)都要被考慮，即是受單一因素或多重因素的約束。 設(shè)計(jì)聲明中的花費(fèi)也許會(huì)參照到制造成本或總生產(chǎn)成本和生產(chǎn)中結(jié)構(gòu)的壽命。 在航天結(jié)構(gòu)中，燃油成本需要執(zhí)行最大的重量但最小的質(zhì)量是他們?cè)O(shè)計(jì)的唯一目標(biāo)，這個(gè)觀點(diǎn)將要使用在下面文章。 在這個(gè)文獻(xiàn)的第一部分，優(yōu)化設(shè)計(jì)的典型問(wèn)題將用已經(jīng)應(yīng)用這個(gè)方面的數(shù)學(xué)技術(shù)來(lái)說(shuō)明第二 部分將要關(guān)注有廣泛應(yīng)用的有很大前途的最近發(fā)展的技術(shù) 這整個(gè)文章，它強(qiáng)調(diào)具有最優(yōu)整體結(jié)構(gòu)是必須被仔細(xì)的定義沒(méi)有意義的方案是要避免的。 事實(shí)上還要強(qiáng)調(diào)指出某些直觀的最優(yōu)準(zhǔn)則對(duì)工程師來(lái)說(shuō)不一定提供真正的最優(yōu)解。為了更清晰的介紹設(shè)計(jì)原則，大多數(shù)例子是關(guān)于單一約束的結(jié)構(gòu)盡管多約束的結(jié)構(gòu)是具有更大的實(shí)際意義。 2 。離散 去探索具有數(shù)學(xué)性質(zhì)的最優(yōu)化結(jié)構(gòu)問(wèn)題，這是經(jīng)常有用的用一個(gè)分立模擬取代連續(xù)問(wèn)題?？紤]，例如，簡(jiǎn)直彈性梁在圖。 1 最大偏轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的給予負(fù)荷 6 。對(duì)于離散性問(wèn)題，用一系列用彈性鉸鏈連接的剛性棒取代梁。 圖 在圖 1中，緊緊三個(gè)鉸鏈已經(jīng)被介紹了。但是，為了得到真實(shí)的結(jié)果，這個(gè)離散取決于鉸鏈的數(shù)目。彎矩i可以轉(zhuǎn)換鉸鏈數(shù)目 關(guān)系為 i=is i(1) 其中于是靜定梁， 在鉸鏈上的彎矩i獨(dú)立的剛度此， 1=5s 1, 2=32s, 3=3s. (2) 接下來(lái)，彎曲角度i將被視為最小。在一個(gè)直角坐標(biāo)系的實(shí)際空間中i,i=1,2,3,這個(gè)非負(fù)性質(zhì)的彎曲角度和在鉸鏈上的繞度 1，2，3 0, 51+32+3 0, 31+926 /h 0, （ 3） 1+32+53 0， 作為接下來(lái)將要講的例子， 一組質(zhì)量的剛度假定達(dá)到剛度的一定比例。這個(gè)設(shè)計(jì)即是 1s+2s+3s=，通過(guò)公式（ 2） 5/1+3/2+1/3= (4) 值得注意的是 通過(guò)公式（ 3） -（ 4），一個(gè)局部?jī)?yōu)化對(duì)于整體優(yōu)化必須的。 這句話很重要因?yàn)閯倓傞_(kāi)始的設(shè)計(jì)對(duì)于滿足所有約束的相鄰設(shè)計(jì)是沒(méi)有什么實(shí)際價(jià)值的。也要注意到 優(yōu)化總體上 不會(huì)對(duì)應(yīng)到位于一個(gè)邊的或恰好位于一個(gè)頂點(diǎn)區(qū)域的一個(gè)點(diǎn)的空間設(shè)計(jì)。這句話直觀的表明沖突的約束不一定是有用的。假如，舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)1s,2s,3u<1u= s 是剛度的最小變量，設(shè)計(jì)1s+ s ,2s- s ,3s,擁有相同的質(zhì)量的理想繞度為 1u ， 2u ， 3u 滿足3u < 2u , 2u < 1u < 1u = 而且三個(gè)剛度降低一定的比例直到第一個(gè)鉸鏈的繞度是 。假如這個(gè)探討是正確的降低結(jié)構(gòu)只來(lái)那個(gè)的過(guò)程能夠被重復(fù)直到鉸鏈 1和 2有相同的質(zhì)量 &。接下來(lái)設(shè)計(jì)的更改1這種方式，可能有爭(zhēng)論關(guān)于；優(yōu)化設(shè)計(jì)必須對(duì)應(yīng)一個(gè)邊上的一個(gè)點(diǎn)或者可行性區(qū)域上的頂點(diǎn)，由于優(yōu)化設(shè)計(jì)，兩三個(gè)不平等的約束就必須列方程。這沖突的約束通常會(huì)出現(xiàn)在工程界，顯然用手是不能完成的。具有不平等約束繞度的最小重量梁的設(shè)計(jì)近期已經(jīng)已經(jīng)討論了被 1）較早前調(diào)查（見(jiàn)，例如，參 2在某一特定點(diǎn)所涉及的不等式約束對(duì)撓度，舉例來(lái)說(shuō)，在載荷集中在一個(gè)點(diǎn)上。在特殊情況下該點(diǎn)的最大繞度位置是已知的，舉例來(lái)說(shuō)，從對(duì)稱的考 慮，一個(gè)約束擁有最大繞度能夠被指定通過(guò)這種方法。同樣的 3 ）已經(jīng)指出，然而，約束一個(gè)具體而不是最大偏轉(zhuǎn)的或許會(huì)出現(xiàn)自相矛盾的結(jié)果。舉例來(lái)說(shuō)，當(dāng)一些載荷對(duì)橫向是下降的然而其他的是上升的，也許會(huì)發(fā)現(xiàn)某些點(diǎn)的繞度是零。因?yàn)樗匀皇橇惝?dāng)所有的剛度都都以一定比例下降，這個(gè)設(shè)計(jì)的約束是相容性的任意小質(zhì)量的約束。 3 。布局優(yōu)化 在前面的示例，類型和布局結(jié)構(gòu)（簡(jiǎn)單支持，直梁）被給予并且一些某些地方的參數(shù)（剛度值）是設(shè)計(jì)師選擇的。一個(gè)更有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題就是類型和 /或布局也必須選擇最佳的。 數(shù)字顯示，由桁架 支持的給出點(diǎn)的應(yīng)力載荷 ，即連接桿組成的結(jié)構(gòu)，布局就是要去盡量減少重量。為了簡(jiǎn)化分析， 5 ）通過(guò)劃分網(wǎng)格其橫向間距 2 a ）優(yōu)化是接下來(lái)發(fā)現(xiàn)需要解決的線性規(guī)劃。優(yōu)化布局取決于質(zhì)量的比例 h/, 圖 優(yōu)化布置的桁架根據(jù)多恩，戈莫里，格林伯格（見(jiàn) 5 ） 。 因?yàn)?h/L=1和 P/化值是唯一的除開(kāi)某 些臨界值 P/Q，其中優(yōu)化布局的變化，舉例來(lái)說(shuō)，從圖 2d。接下來(lái)例子，然而，承認(rèn)一個(gè)無(wú)限大的優(yōu)化布局是所有相關(guān)的擁有同樣重量的結(jié)構(gòu)重量。 三個(gè)同樣大小的作用力 P，彼此之間成 120 °角，已經(jīng)給出的點(diǎn)成等邊三角形（圖 3a）。這些連接點(diǎn)連接的構(gòu)架用最小質(zhì)量設(shè)計(jì)。當(dāng)上界約束0提供軸向應(yīng)力在任何桿。數(shù)據(jù) 3些力作用在靜定機(jī)構(gòu)的桿上之后從平衡的角度考慮 ,每個(gè)桿件的橫截面都會(huì)有一個(gè)0大小的橫向應(yīng)力。 接下來(lái)討論 6， 75表明兩個(gè)設(shè)計(jì)有相同的質(zhì)量。設(shè)想飛機(jī)都是用相同的材料組成的，單位平面產(chǎn)生的張力達(dá)到 過(guò)虛擬的規(guī)律，這個(gè)桿件 F 每個(gè)桿件受力為 F 力在桿方向的虛擬 位移為 ,如果桿件的橫截面積是 ，則有 F=0A 和 = V （ 5） V 是使用的所有材料的體積。現(xiàn)在得到功圖。 3 。選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)。 的桿件；他等價(jià)于兩個(gè)機(jī)構(gòu)如果下面eW=5）這兩個(gè)構(gòu)架使用相同數(shù)量的材料 。 如果兩個(gè)構(gòu)架的橫截面積都減半， 每個(gè)新的構(gòu)架能夠驅(qū)動(dòng)滿載荷強(qiáng)度 P/2并且不違反設(shè)計(jì)約束 d 的方式疊加桿件另外用相同質(zhì)量的構(gòu)建按圖 3d 和3。 圖。 4 。替代解決問(wèn)題，在圖。第 3 a 圖 4顯示的另一個(gè)解決問(wèn)題的方法。所有重桿件的中心線是圓弧的。每個(gè)桿件的軸向力和他們的軸向應(yīng)力0有關(guān) 其他輕些的桿件。他們也根據(jù)軸向拉伸應(yīng)力0，除開(kāi)桿件 O 和 成圓錐。正常情況下桿件的邊緣區(qū)域是受力的密集區(qū)域。如果緊緊是有限的數(shù)目被使用就像圖 4 并且這些邊緣是多變形而不是圓弧 ，這就是重量稍稍重一點(diǎn)點(diǎn)的結(jié)果。 首先申明，然而，如果桿件連接件（節(jié)點(diǎn)板和鉚釘或焊接）的質(zhì)量被考慮其中這個(gè)就不是有效的。 在圖 4中的桿件也許可以被有厚度統(tǒng)一材質(zhì)均勻的桿件替代。然而質(zhì)量是取勝之本，設(shè)計(jì)也是這樣的，然而，設(shè)計(jì)構(gòu)架的時(shí)候遇到的狹隘的問(wèn)題要被排除。在這種情況下，被排除的設(shè)計(jì)將不會(huì)比其他的設(shè)計(jì)的質(zhì)量更輕。然而，除開(kāi)這一類對(duì)一個(gè)最優(yōu)的進(jìn)行有足夠廣度定義的，或許緊緊對(duì)一系 列降低質(zhì)量的設(shè)計(jì)進(jìn)行融合一個(gè)最優(yōu)的這不是考慮的范圍之內(nèi) 圖。 5 。優(yōu)化結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)遞周邊荷載至中環(huán)環(huán) 的 桁架而非 磁盤狀 圖 5 對(duì)這句話進(jìn)行了說(shuō)明。 在周邊的離散的徑向載荷等價(jià)于中央形成一個(gè)環(huán)狀的小質(zhì)量的構(gòu)件。 如果這個(gè)聲明的結(jié)構(gòu)將要被表達(dá)磁場(chǎng)形狀的連續(xù)變厚度所取代，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)如圖 5要為排除。注意清楚看看圖 5他所顯示的緊緊是質(zhì)量大的成員。 這些之間，質(zhì)量輕些的成員之間關(guān)系是稠密的，他們之間是以螺線形狀 45o 相交的。 這個(gè)問(wèn)題在圖 3 中已經(jīng)有一個(gè)解決方案，每個(gè)構(gòu)件都緊緊是包含受力的桿件。圖 6說(shuō)明了一個(gè)問(wèn)題既要使用沒(méi)有受力的也要使用受力的并且只有唯一解。上方的數(shù)據(jù)是橫向載荷 P 會(huì)產(chǎn)生彎曲，底部的剛性結(jié)構(gòu)可以看為是無(wú)限小的質(zhì)量，在桿件上的應(yīng)力應(yīng)該在 0之內(nèi)。 這個(gè)最優(yōu)的構(gòu)架邊緣桿件的質(zhì)量較大；質(zhì)量大的構(gòu)件中間的構(gòu)件的質(zhì)量較輕，由圖 6表達(dá)。注意在位移密集的桿件連接處定義一個(gè)位移區(qū)域他的的基點(diǎn)固定。 一 個(gè)移動(dòng)的受力區(qū)域都擁有這一規(guī)律即 1=0/ E 其中 實(shí)上，如果 u和 x和 y，那么1+2就是個(gè)常量有以下的關(guān)系即 xu+， （ 6） 其中 x 和 似的，事實(shí)上最大的主應(yīng)變 有連續(xù)的線性關(guān)系 4xu*xv+ xv+1（ 7） 從公式（ 6）中可以看出，其中存在函數(shù) ,如下 u =y,v = 8） 把 公式（ 8）代入公式（ 7）中則有 4 2 2xx =4 21(9) 沿著根部弧有， u =v =0,則可以推到出 =0， n=0 （ 10） 其中n是沿著根部弧的微變量。 微分方程（ 9）是一個(gè)雙曲線，其特點(diǎn)主應(yīng)變是線性變化的?？挛鳁l件在公式（ 10）中元素 在根部是是獨(dú)特的，并且和公式（ 8 ）位移也有關(guān)系 圖。 6 。 在 傳輸載荷 曲 和 剛性壁 的 獨(dú)特的優(yōu)化結(jié)構(gòu) 這些位移現(xiàn)在將使用作為真正位移在虛功原理在一個(gè)任意的結(jié)構(gòu)上其載荷 6）并且每個(gè)連桿都在一個(gè)軸向應(yīng)力為 以得到eW= F 其中 F =0 0/因?yàn)槊總€(gè)單位的拉伸或者壓縮量超過(guò)0/ F F ( 20/E)V, (11) 其中 接下來(lái)，設(shè)想第二中結(jié)構(gòu)它是由有規(guī)律線性應(yīng)變的的連桿組成并且他要考慮到虛擬的移動(dòng)區(qū)域和底部相應(yīng)的應(yīng)變 涉及到結(jié)構(gòu)的質(zhì)量將要用星號(hào)標(biāo)記。就像前面所講的那樣運(yùn)用虛擬原理，最有 *eW=是 *F *= *0A并且* = 0 / 則有 *F = 2*0 / 12) 則可以看出 *eW=較表達(dá)式（ 11）和（ 12）則可以看出第二種方案的結(jié)構(gòu)使用的材料要比第一種方案少。剛剛介紹的觀點(diǎn)來(lái)自于 7），然而，是一個(gè)純粹的靜態(tài)的邊界條件，因此不能達(dá)到一個(gè)獨(dú)特的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。對(duì)一個(gè)獨(dú)特的優(yōu)化涉及來(lái)說(shuō)最重要的是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件已經(jīng)被作者指出（見(jiàn) 8） 圖。 7 。幾何布局優(yōu)化。 圖 7 說(shuō)明了一個(gè)重要的具有幾何性質(zhì)的在有規(guī)律的應(yīng)變和無(wú)規(guī)律的應(yīng)變組成的區(qū)域種的正交曲線應(yīng)變 讓由 度 是由一個(gè)曲線上的切線和另外一個(gè)曲線上點(diǎn)的切線相交的夾角。在平移的理論下，正交的曲線他的幾何性質(zhì)可以表明他最大的剪應(yīng)力（滑移線）的方向在這個(gè)背景下，它們通常后來(lái)被 見(jiàn) . 9) 見(jiàn) . 10)命名；它們的結(jié)果已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用（見(jiàn)，例如，見(jiàn)。 11 圖。 8 。優(yōu)化布置時(shí)，可用空間范圍內(nèi)垂直通過(guò) 。 圖 8 顯示了最優(yōu)空間的布局即可用的結(jié)構(gòu)空間是垂直連線 A 和 B 之間的 范圍 。因?yàn)檫@個(gè)固定支座弧是一個(gè)直線部分，在三角形 次顯示，他的邊緣的桿件的質(zhì)量重，其他的連桿緊緊一些并且質(zhì)量輕。這些桿件不布局有些類似于人類的骨架的結(jié)構(gòu) (4, p. 12, 6)。 照。 154 。新方法，建立優(yōu)化準(zhǔn)則 圖。 9 。梁展不斷截面。 在圖 9中的梁是建立在 和 承受載荷 P 的這一點(diǎn)的繞 度的值是 。這個(gè)梁有一個(gè)核心部分他的寬度是 B 并且它的高度是 H。這個(gè)梁他的寬度是 量減少這個(gè)梁的質(zhì)量也就意味著要盡量減少制約質(zhì)量的尺寸。 此外，由于厚度為中 i=1,2,有2 /2 B H T ,其中 1 1 2 2W L s L s(13) 這個(gè)可能被視為盡量減少質(zhì)量的方程。 使得距離，并且在這個(gè)橫截面上的曲率和彎矩分別是i iM s k則 P 的表達(dá)式可以寫為如下 P =i i k =2i i ii s k (14) 就是在 行微積分。 在此框架內(nèi)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)一個(gè) 梁就是確定i=1， 出只 P ），并且據(jù)（ 14）公式 2i i ii s k =i i ii s k （ 15） 此外，曲率滿足繞度的）根據(jù)據(jù)最小勢(shì)能原理根據(jù)2 2i i ii s k d x P 2 2i i ii s k d x P (16) 約去兩邊的 2P 在式子（ 16）中在根據(jù)式子（ 15）可得 0i i i ii s s L（ 17） 這里 2(1 / )i i i iL k d x （ 18） 則就是每個(gè)單位平方米的曲率在如 12(19) 從 公式（ 17）和（ 13）得到其此條件（ 19）是最優(yōu)的，這個(gè)條件也是下面所要講到的。 應(yīng)用這個(gè)定義則有 i i i is s L （ 20） 設(shè)計(jì)公式得到 0（ 21） 換個(gè)方面說(shuō)，不等式（ 17）從最小勢(shì)能原則得到 0（ 22） 1,2和1，2將作為 和 的載體像坐標(biāo)系。 這個(gè)不等式（ 21）中 不能位于第二和第四象限，并且這個(gè)不等式要求 和 是個(gè)非負(fù)的。 現(xiàn)在，優(yōu)化設(shè)計(jì)率都是未知的但是是唯一的。換個(gè)方面來(lái)講， 的值所限，因此當(dāng) 的方向被選擇時(shí)其等級(jí)也所確定。此外，在這個(gè)最優(yōu)化設(shè)計(jì)中的的近于邊緣空間的相應(yīng)的 一半將被不等式（ 21）確定。假如 和 的坐標(biāo)是非負(fù)的，那么 和 的坐標(biāo)必須位于正常的一半空間內(nèi)，因此，（ 19）是最優(yōu)化的必要條件，這是根據(jù) 見(jiàn) . 17). 5。多用途的設(shè)計(jì) 圖。 11 。多用途的設(shè)計(jì)。 圖 11 說(shuō)明了一個(gè) 多用途的設(shè)計(jì)的問(wèn)題。在第一個(gè)原因下，張度為 。在第二個(gè)條件下，在中央給定的載荷 ；并且， 在第三個(gè)條件下，他的屈曲載荷至少是 B。注意設(shè)計(jì)的約束是個(gè)不等式的形式，以為最優(yōu)設(shè)計(jì)或許是一個(gè)或是兩個(gè)。 下面的掃個(gè)因素是相互制約的。正如第四部分，取得下面的不等式 2( ) 0s s u d x ， 2 2( ) 0s s H v d x ， 2 2( ) 0s s H w d x （ 23） 其中 () ()和 ()公式（ 23）可以得到 2 21u ， 2 2 2 1 ， 2 2 2 1 （ 24） 其中 , 是常數(shù)。很容易看到這些最優(yōu)條件是不兼容的。因?yàn)樨?fù)荷 被認(rèn)為是第一最優(yōu)條件，但是負(fù)載 T 下的曲率 v 將不滿足第二最優(yōu)條件。 因此不等式（ 23）不能左右相加，他們乘積得 2 2 2 2 2 2 2 2( . . . . . . ) ( ) 0s s u H v H w d x （ 25） 這個(gè)不等式表明 2 2 2 2 2 2 2 2( u H v H w = （ 26） 是一個(gè)充分條件。這個(gè)條件也是必要的。 他可以變成另外一個(gè)形式 2 2 2 2 2 2L T B C o n s t （ 27） 其中 L,T和B是面應(yīng)力是分別在配合，梁和柱上。其他的例子和理論，參見(jiàn)。32。結(jié)束語(yǔ) 總的概括而言，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出設(shè)最典型的計(jì)約束主要討論在第四部分，不是只是緊緊只說(shuō)建立最優(yōu)準(zhǔn)則的方法。事實(shí)上，最優(yōu)化準(zhǔn)則在繼續(xù)發(fā)展。舉例來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)（ 31 ） 優(yōu)化設(shè)計(jì)給出了動(dòng)態(tài)偏轉(zhuǎn)已第一次出現(xiàn)在文件上，這里沒(méi)有已經(jīng)被解決的例子 4。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中給出了剛度參見(jiàn) 里已經(jīng)簡(jiǎn)單的討論了限制性的優(yōu)化梁的設(shè)計(jì)，但是但不是必需的。 F 6, I. 1970 . W. of to in An ) of a to a of in of of a ) is at A of ) is by of a of or a of ) a of ) 1. he of be as of a be of be in or or or be to a or a of in of to or to of of In of to a of to an of be in In of of be to in be a of it be of an is be if to be be of to do in of of be of 2. o of a of it is to by a 1. by P is to a To by a of by 1, 1. of to to a of iis to be to of iby i=is i(1) of is iat of 1=5s 1, 2=32s, 3=3s. (2) In of i, be as In a i = 1, 2, 3, of of on ，2，3 0, 51+32+3 0, 31+926 /h 0, （ 3） 1+32+53 0， As be in a in of of a be to be to s+2s+3s=2), 5/1+3/2+1/3= (4) 3)-(4), a is a is a be to be is of in to a of on an or a of of is a s,3u<1u= . If s a of s+ s ,2s- s ,3s, be to u ， 2u ， 3u u < 2u , 2u < 1u <1u= , be in at . If of be at . In 1be by be by to In it be to a on an or at a of or of be as of to is in is to on of on 1). 2on at a at of of a In of of is a a on be in 3) a to on a it be to a at is it as in is of 3. n of at of A or be a of of to be to by a a of of is to be to To 5) by of of to of a l h (2a). is to of a 2. of 5). on of h/l , h/l = 1 a , is , at 2c to 2d. an of of , of 20 ° of an 3 A is to be an is of in b c in of to an of in is 6, 175 of to e By of on of of 3. F of on of If of , =0A = L. V （ 5） is of of on of of is of of it If 5) of If of of be to of . O, O, to be If a is as 4, a to be of or is 4 be by a of as to by of of a In to be of an is is it a of of an is a of class