2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì) 第1課時 拋物線的簡單幾何性質(zhì),拋物線的簡單幾何性質(zhì),x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,判斷:(正確的打“”,錯誤的打“×”) (1)拋物線的圖象關(guān)于點(0,0)對稱.( ) (2)拋物線沒有漸近線.( ) (3)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.( ),提示:(1)錯誤.拋物線沒有對稱中心,它的圖象不關(guān)于點(0,0)對稱,因為y2=2px中,同時把x,y換成-x,-y,方程發(fā)生了變化. (2)正確.漸近線是圓錐曲線中雙曲線的特有性質(zhì),拋物線沒有漸近線. (3)錯誤.把x= 代入y2=2px(p0)得y=±p,所以過焦點且垂 直于對稱軸的弦長是2p. 答案:(1)× (2) (3)×,【知識點撥】 1.在標準方程形式下拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線的比較,2.參數(shù)p(p0)對拋物線開口大小的影響 因為過拋物線的焦點F且垂直于對稱軸的弦的長度是2p,所以p越大,開口越大. 3.拋物線的圖象具有的特征 拋物線是軸對稱圖形,其焦點F和準線與對稱軸的交點關(guān)于原點O對稱,即若準線與對稱軸的交點為M,則O為MF的中點.,4.點P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p0)的位置關(guān)系 (1)P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p0)內(nèi)部y020)上y02=2px0. (3)P(x0,y0)在拋物線y2=2px(p0)外部y022px0.,類型 一 焦半徑和焦點弦問題 【典型例題】 1.(2013·鶴崗高二檢測)拋物線y2=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 2.(2013·大理高二檢測)若拋物線y2=-2px(p0)上有一點M,其橫坐標為-9,它到焦點的距離為10,求拋物線方程和M點的坐標.,【解題探究】1.拋物線y2=8x的焦點坐標是什么?準線方程呢? 2.拋物線上的點具有什么性質(zhì)? 探究提示: 1.焦點坐標為(2,0),準線方程為x=-2. 2.拋物線上的點具有兩點性質(zhì):點的坐標適合方程;點滿足定義條件,即點P到焦點的距離等于到準線的距離.,【解析】1.選B.拋物線y2=8x的準線是x=-2,由條件知P到y(tǒng)軸距離為4, 點P的橫坐標xP=4.根據(jù)焦半徑公式可得|PF|=4+2=6.,2.由拋物線定義知焦點坐標為F(- ,0),準線方程為x= , 由題意設(shè)M到準線的距離為|MN|, 則|MN|=|MF|=10, 即 -(-9)=10, p=2,故拋物線方程為y2=-4x, 將M(-9,y)代入y2=-4x,解得y=±6, M(-9,6)或M(-9,-6).,【拓展提升】 1.拋物線的焦半徑 (1)拋物線的焦半徑是指拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段.,(2)拋物線的焦半徑公式:,2.過拋物線焦點的弦長 設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則:,【變式訓(xùn)練】拋物線的頂點在原點,以x軸為對稱軸,經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線的方程. 【解題指南】聯(lián)立方程組,由過焦點的弦長公式表示出弦長,解方程求出參數(shù)值,從而得出拋物線的標準方程.,【解析】若拋物線開口向右,如圖. 設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p0), 則直線方程為y=-x+ p. 設(shè)直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點, 則由拋物線定義得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 即x1+x2+p=8. ,又A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線和直線的交點, 由 消去y,得x2-3px+ =0, x1+x2=3p. 將其代入,得p=2. 所求拋物線的方程為y2=4x. 當拋物線的開口向左時,同理可求得拋物線的方程為y2=-4x. 綜上,拋物線的方程為y2=4x或y2=-4x.,類型 二 拋物線性質(zhì)的應(yīng)用 【典型例題】 1.(2013·唐山高二檢測)拋物線y=4x2上一點到直線y=4x-5的距離最短,則該點的坐標是( ) A.( ,1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4) 2.已知A,B是拋物線y2=2px(p0)上兩點,O為坐標原點,若|OA|=|OB|,且AOB的垂心恰是此拋物線的焦點,求直線AB的方程.,【解題探究】1.題1中求拋物線上的一點到已知直線的距離最短的解題思路一般有哪些? 2.以原點為一個頂點的三角形的“四心”在拋物線的對稱軸上,另兩個頂點的位置關(guān)系如何? 探究提示: 1.一般有三種方法:(1)構(gòu)造函數(shù)法.(2)數(shù)形結(jié)合法.(3)轉(zhuǎn)化法. 2.根據(jù)拋物線的對稱性,另兩個頂點必定關(guān)于對稱軸對稱.,【解析】1.選A.方法一:設(shè)拋物線上點的坐標為(x,4x2), 其中xR,由點到直線的距離公式得 當x= 時,d最小.這時點的坐標為( ,1).,方法二:設(shè)與y=4x-5平行的拋物線y=4x2的切線方程為y=4x+m, 由 得4x2-4x-m=0. 再由=16-4×4×(-m)=0得m=-1. 這時切點為( ,1),切點( ,1)到y(tǒng)=4x-5的距離最小.,2.如圖所示.設(shè)A(x0,y0), 由題意可知B(x0,-y0), 又F( ,0)是AOB的垂心, 則AFOB,kAF·kOB=-1, 即 y02=x0(x0- ), 又y02=2px0,x0=2p+ = . 因此直線AB的方程為x= .,【互動探究】題2中,若把“垂心”改為“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根據(jù)拋物線的對稱性,因為F為OAB的重心,所以A,B 兩點關(guān)于x軸對稱.又根據(jù)重心的性質(zhì), |OF|= , AB的方程應(yīng)為,【拓展提升】拋物線的主要性質(zhì)及應(yīng)用方向,類型 三 拋物線中的證明問題 【典型例題】 1.證明以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切. 2.已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點. 求證:(1)x1x2為定值. (2) 為定值.,【解題探究】1.判斷直線與圓位置關(guān)系時最常用的方法是什么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判斷直線與圓的位置關(guān)系時,一般利用幾何法進行判斷,即判斷圓心到直線的距離與半徑的大小. 2.定值就是代數(shù)式化簡的結(jié)果與任何參數(shù)都無關(guān).,【證明】1.如圖,作AA1l于A1,BB1l于B1, M為AB的中點,作MM1l于M1,則由拋物線的 定義可知|AA1|=|AF|, |BB1|=|BF|,在直角梯形BB1A1A中, |MM1|= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|, 故以拋物線的焦點弦為直徑的圓,必與拋物線的準線相切.,2.(1)拋物線y2=2px的焦點為F( ,0),當AB不垂直于x軸時, 設(shè)直線AB的方程為y=k(x- )(k0). 由 消去y, 得k2x2-p(k2+2)x+ =0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2= (定值). 當ABx軸時,x1=x2= ,x1x2= 也成立.,(2)由拋物線的定義知,|FA|=x1+ ,|FB|=x2+ . 又由(1)得x1x2= , 所以 = = (定值).,【拓展提升】解決與拋物線有關(guān)的證明問題應(yīng)注意的四點,【變式訓(xùn)練】如圖,M是拋物線y2=x上的一點, 動弦ME,MF分別交x軸于A,B兩點, 且|MA|=|MB|.若M為定點. 證明:直線EF的斜率為定值.,【證明】設(shè)M(y02,y0),直線ME的斜率為k(k0), 則直線MF的斜率為-k, 直線ME的方程為y-y0=k(x-y02). 由 消去x,得 ky2-y+y0(1-ky0)=0. 解得,同理可得 =- (定值). 直線EF的斜率為定值.,【易錯誤區(qū)】拋物線最值問題中忽視范圍致誤 【典例】(2013·安陽高二檢測)若拋物線x2=2y上距離點A(0,a)的最近點恰好是拋物線的頂點,則a的取值范圍是( ) A.a0 B.0a1 C.a1 D.a0,【解析】選C.設(shè)拋物線上任一點P的坐標為(x,y),則 |PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2 =y2-(2a-2)y+a2=y-(a-1)2+(2a-1). y0,+) ,根據(jù)題意知, (1)當a-10,即a1,y=0時, dmin2=a2.這時dmin=|a|. (2)當a-10,即a1時,y=a-1時d2取到最小值,不符合題意. 綜上可知a1.,【誤區(qū)警示】,【防范措施】 1.不要忽視拋物線中范圍 拋物線中的變量是有范圍的,解題中若忽視了這一點,會使討論起來更加復(fù)雜,或解題中妄加猜測,如本例中y的范圍為0,+). 2.分類討論思想的應(yīng)用 求最值時,若對稱軸與變量范圍不確定時,需分類討論,如本例中,因y0,故分a-10或a-10兩種情況討論.,【類題試解】設(shè)點A的坐標為(a,0)(aR),則曲線y2=2x上的點到A點的距離的最小值為 . 【解析】設(shè)曲線y2=2x上的點到A點的距離為d,拋物線上任一點的坐標為(x,y),則d2=(x-a)2+y2=x2-(2a-2)x+a2 =x-(a-1)2+(2a-1). 因為x0,+),所以當a1時,dmin2=2a-1,dmin= ; 當a1時,dmin2=a2,dmin=|a|. 答案: 或|a|,1.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( ) A. B. C. D.3 【解析】選A.設(shè)拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線 4x+3y-8=0的距離為 當m= 時,取得最小值 為 .,2.方程(3-m)y2=(m-1)x表示拋物線,其中m不能為( ) A.1 B.3 C.1或3 D.1且3 【解析】選D.由條件知 ,解得m3且m1,故選D.,3.拋物線y2=mx的焦點為F,點P(2,2 )在此拋物線上,M為 線段PF的中點,則點M到該拋物線準線的距離為( ) A.1 B. C.2 D. 【解析】選D.點P(2,2 )在拋物線y2=mx上,所以m=4, 拋物線的準線為x=-1. 拋物線y2=mx的焦點為F(1,0),M為線段PF的中點, M的坐標為( ), M到拋物線的準線x=-1的距離 .,4.拋物線y2=8x上到其準線和頂點距離相等的點的坐標為 . 【解析】根據(jù)定義知,拋物線上的點P到頂點的距離和到焦點的距離相等,P在OF的中垂線上,F(2,0), 點P的橫坐標為1. 把x=1代入y2=8x得y=±2 . 故P(1,±2 ). 答案:(1,-2 )和(1,2 ),5.拋物線y2=2x上點P(1,- )到其焦點的距離為 . 【解析】焦點為F( ,0), d= 故P(1,- )到拋物線焦點的距離為 . 答案:,6.已知拋物線的焦點F在x軸上,直線l過F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點,O為坐標原點,若OAB的面積等于4,求此拋物線的標準方程.,【解析】由題意,拋物線方程為y2=2px(p0), 焦點F 直線l:x= , A,B兩點坐標為 |AB|=2|p|. OAB的面積為4, ·2|p|=4,p=±2 拋物線方程為y2=±4 x.,