第2課時 拋物線方程及性質(zhì)的應用,類型 一 直線與拋物線的位置關(guān)系 【典型例題】 1.過點(0,-1)的直線與拋物線x2=-2y公共點的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 2.已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個公共點,求實數(shù)a的值.,【解題探究】1.過定點的直線與拋物線有幾個公共點,關(guān)鍵條件是什么? 2.曲線y2=ax在什么情況下表示拋物線? 探究提示: 1.過定點的直線與拋物線有幾個公共點,其關(guān)鍵要看定點與拋物線的位置關(guān)系. 2.曲線y2=ax中,當a=0時表示x軸,當a0時,表示焦點在x軸上的拋物線.,【解析】1.選D.因為點(0,-1)在拋物線內(nèi)部,故過該點的直線斜率不存在時,與拋物線有一個公共點,是相交的;斜率存在時,有兩個公共點,因此公共點的個數(shù)是1個或2個. 2.聯(lián)立方程組 (1)當a=0時,此方程組恰有一組解 (2)當a0時,消去x得 y2-y-1=0.,若 即a=-1時, 方程變?yōu)橐辉淮畏匠?y-1=0, 方程組恰有一組解 若 0,即a-1,令=0,得1+ =0, 可解得a=- , 這時直線與曲線相切,只有一個公共點. 綜上所述,當a=0,-1,- 時,直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰 有一個公共點.,【互動探究】題2中,若直線與曲線有兩個不同的公共點,求a的取值范圍. 【解析】由題意可知顯然a0. 由 得 y2-y-1=0. 因為直線與曲線有兩個不同的公共點. 所以=1+4× 0且a+10. 即 0且a-1,解得a0或a- 且a-1. 故a的取值范圍是(-,-1)(-1,- )(0,+).,【拓展提升】判斷直線與拋物線位置關(guān)系的兩種方法 (1)幾何法. 利用圖象,數(shù)形結(jié)合,判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,但有誤差影響判斷的結(jié)果. (2)代數(shù)法. 設直線l的方程為y=kx+m,拋物線的方程為y2=2px(p0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程形式:Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).,相交:有兩個交點: 有一個交點:A=0(直線與拋物線的對稱軸平行,即相交); 相切:有一個公共點,即 相離:沒有公共點,即,類型 二 與弦長有關(guān)的問題 【典型例題】 1.斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點,與拋物線交于A,B兩點,則線段AB的長為 . 2.(2013·合肥高二檢測)設拋物線C:y2=4x,F為C的焦點,過F的直線l與C相交于A,B兩點. (1)設l的斜率為2,求|AB|的大小. (2)求證: 是一個定值.,【解題探究】1.題1中的直線已知了哪些條件? 2.求過焦點的弦長時,有幾種方法? 探究提示: 1.首先已知斜率為1,其次經(jīng)過拋物線的焦點. 2.|AB|= |x1-x2|或|AB|= 或|AB|=x1+x2+p等.,【解析】1.方法一:拋物線焦點為(1,0), 直線l的方程為y=x-1. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得x2-6x+1=0. |AB|=x1+x2+p=6+2=8. 方法二:由AB所在直線斜率為1,則其所在直線的傾斜角=45°, 故|AB|= 答案:8,2.(1)依題意得F(1,0),直線l的方程為y=2(x-1). 設直線l與拋物線的交點A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y整理得x2-3x+1=0, x1+x2=3,x1x2=1. 方法一:|AB|= |x1-x2| = =5.,方法二:|AB|=|AF|+|BF| =x1+x2+p=3+2=5. (2)設直線l的方程為x=ky+1, 設直線l與拋物線的交點A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去x整理得y2-4ky-4=0, y1+y2=4k,y1y2=-4. =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3, 是一個定值.,【拓展提升】直線與拋物線相交的弦長問題 直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線的斜率為k. (1)一般的弦長公式:|AB|= |x1-x2|. (2)焦點弦長公式:當直線經(jīng)過拋物線y2=2px(p0)的焦點時,弦長|AB|=x1+x2+p.,【變式訓練】已知焦點在y軸上的拋物線被直線x-2y-1=0截 得弦長是 ,求此拋物線的標準方程. 【解題指南】本題沒有明確焦點是在y軸的正半軸還是負半軸,應該兩種情況分類求解,為避免討論,巧設拋物線方程為x2=ay(a0).,【解析】設拋物線方程為x2=ay(a0),與直線方程聯(lián)立方程 組得 消去y得2x2-ax+a=0,=(-a)2-4×2×a0, 解得a8.設兩交點坐標是P1(x1,y1),P2(x2,y2), 則x1+x2= ,x1x2= 代入弦長公式得: |P1P2|= 解得a=-4或a=12都符合題意,故拋物線方程為x2=-4y或x2=12y.,類型 三 與拋物線有關(guān)的中點弦問題 【典型例題】 1.已知拋物線y2=2x,點(4,0)恰是直線被拋物線所截得的弦的中點,則直線方程是 . 2.過點M(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,若弦AB恰被點M所平分,求弦AB所在直線的方程.,【解題探究】1.若直線與拋物線相交,且所得的弦的中點在對稱軸上,則此直線應具備什么特點? 2.如何判斷以某點為中點的弦一定存在? 探究提示: 1.此直線垂直于拋物線的對稱軸. 2.當點在拋物線的內(nèi)部時,以該點為中點的弦一定存在,否則就不存在.,【解析】1.由于(4,0)恰在拋物線的對稱軸上,能符合題意的直線與對稱軸垂直,故直線方程是x=4. 答案:x=4 2.方法一:設以M為中點的弦AB的兩個端點為A(x1,y1), B(x2,y2),則有x1+x2=2×4=8,y1+y2=2×1=2,由題知直線AB的 斜率k存在且不為0,k=,把A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標代入拋物線的方程得y12=8x1, y22=8x2. -得y22-y12=8(x2-x1), 8= =2k,k=4, 所求弦AB所在的直線方程為y-1=4(x-4), 即4x-y-15=0.,方法二:由題知直線AB的斜率存在,且不為0,設為k,弦AB所 在的直線方程為y=k(x-4)+1,由 消去x得ky2-8y+8-32k=0,y1+y2= . 又知AB的中點就是M,y1+y2=2= ,k=4, 弦AB所在的直線方程為y=4(x-4)+1, 即4x-y-15=0.,【拓展提升】“中點弦”問題解題策略兩法,【變式訓練】求過點(2,1)的直線與拋物線y2=4x相交所得弦的中點的軌跡方程. 【解題指南】可采用“點差法”,即用點差法表示出直線斜率及斜率公式求得的斜率相等建立方程求解.,【解析】設弦的中點為M(x,y),弦的端點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=2x,y1+y2=2y. 由 得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 當x1x2即直線的斜率存在時,設直線的斜率為k, 則,又由斜率公式得k= (x2), 整理得y2-2x-y+4=0(x2). 當x1=x2,即x=2時,此時斜率不存在,弦的中點坐標為(2,0), 也符合式, 故中點的軌跡方程為y2-2x-y+4=0.,拋物線的綜合問題 【典型例題】 1.(2013·南昌高二檢測)設A(x1,y1),B(x2,y2)兩點在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線, (1)當且僅當x1+x2取何值時,直線l經(jīng)過拋物線的焦點F?證明你的結(jié)論. (2)當x1=1,x2=-3時,求直線l的方程.,2.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線交拋物線于A,B 兩點. (1)若 求直線AB的斜率. (2)設點M在線段AB上運動,原點O關(guān)于點M的對稱點為C,求四 邊形OACB面積的最小值.,【解析】1.(1)拋物線y=2x2,即x2= , p= 焦點為F(0, ),直線l的斜率不存在時,顯然有x1+x2=0, 直線l的斜率存在時,設為k,截距為b,即直線l:y=kx+b,由已知 得:,所以 即 由于x12+x22=- +b0,b , 即l的斜率存在時,不可能經(jīng)過焦點F(0, ),所以當且僅當 x1+x2=0時,直線l經(jīng)過拋物線的焦點F.,(2)當x1=1,x2=-3時,直線l的斜率顯然存在,設l:y=kx+b, 則由(1)得: 所以,直線l的方程為y= 即x-4y+41=0.,2.(1)依題意F(1,0),設直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2), 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. 因為 所以y1=-2y2 聯(lián)立和,消去y1,y2, 得m=± ,即 所以直線AB的斜率是±2 .,(2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點,從而點O與點C到直線AB的距離相等. 所以四邊形OACB的面積等于2SAOB. 因為2SAOB=2× ·|OF|·|y1-y2| = =4 所以m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4.,【拓展提升】與拋物線有關(guān)的綜合問題的類型 (1)拋物線中的最值問題. (2)拋物線中的定值問題. (3)拋物線的性質(zhì)的綜合應用. (4)拋物線在實際問題中的應用. (5)拋物線與其他數(shù)學知識的綜合問題.,【規(guī)范解答】拋物線定義及性質(zhì)的綜合應用,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|=2p, 圓F的半徑|FA|= p, 由拋物線定義可知A到l的距離d=|FA|= p.2分 因為ABD的面積為4 , 所以 |BD|·d=4 ,即 ·2p· p=4 , 解得p=-2(舍去),p=2.4分 所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8.5分,(2)因為A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上,所以AB為圓F的直徑, ADB=90°,由拋物線定義知 . 所以ABD=30°,m的斜率為 或- ,7分 當m的斜率為 時,由已知可設n:y= x+b,代入x2=2py 得x2- px-2pb=0.由于n與C只有一個公共點, 故= p2+8pb=0,解得b=- .9分,因為m的截距b1= , ,所以坐標原點到m,n距離的比 值為3.11分 當m的斜率為- 時,由圖形的對稱性可知,坐標原點到m,n 距離的比值為3.12分,【失分警示】,【防范措施】 1.巧挖三角形的特征 解題中要特別關(guān)注特殊的三角形,如直角三角形,等腰三角形,等邊三角形和等腰直角三角形,尤其是三角形中的邊與角的關(guān)系,對解題會起到非常重要的作用,如本例處RtBFD中,|BD|=2p的挖掘. 2.巧挖條件的內(nèi)涵 解題中任何條件都是對解題有用的,要善于利用條件,如本例中A,B,F共線,從而ADB=90°.,3.善于使用定義 拋物線是靈活的圓錐曲線,特別是它的定義,如本例處,如果沒有利用好,就無法得出結(jié)論. 4.“距離”與“截距”不同 應注意區(qū)別二者,如本例,切不可把距離之比寫成截距之比.,【類題試解】已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點,斜率為 的 直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點,且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程. (2)O為坐標原點,C為拋物線上一點,若 求的值.,【解析】(1)直線AB的方程是y=2 (x- ), 與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0, 所以:x1+x2= .由拋物線定義得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以p=4,所以拋物線方程為y2=8x. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0化簡得x2-5x+4=0,x1=1,x2=4, y1=-2 ,y2=4 ,從而A(1,-2 ),B(4,4 ),設 =(x3,y3)=(1,-2 ) +(4,4 )=(1+4,-2 +4 ),又因為y32=8x3, 即2 (2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1, 解得=0或=2.綜上:=0或=2.,1.設拋物線y2=2x與過焦點F的直線交于A,B兩點,則 的值是( ) A. B.- C.3 D.-3 【解析】選B.特例法,F( ,0),取A,B的橫坐標x= ,則不妨 令A( ,1),B( ,-1),2.設A,B是拋物線x2=4y上兩點,O為原點,若|OA|=|OB|,且 AOB的面積為16,則AOB等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】選D.由|OA|=|OB|,知拋物線上點A,B關(guān)于y軸對稱, 設A(-a, ),B(a, ),a0,SAOB= ×2a× =16,解得 a=4,AOB為等腰直角三角形,AOB=90°.,3.過點M(2,5)與拋物線y2=8x只有一個公共點的直線有 條. 【解析】把x=2代入y2=8x得y2=16,y=±4. 54,點M在拋物線的外部,所以所求的直線有三條,分別為兩條切線和一條平行于x軸的直線. 答案:3,4.拋物線y2=12x被直線y=x+1所截得的弦長是 . 【解析】由 得x2-10x+1=0. 設兩交點A(x1,y1), B(x2,y2),則x1+x2=10,x1x2=1, |AB|= = 答案:8,5.求過點P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程. 【解析】(1)若直線斜率不存在,則過P(0,1)的直線方程為x=0. 直線x=0與拋物線只有一個公共點. (2)若直線斜率存在,設為k,則過點P的直線方程為y=kx+1. 由方程組 消元得:k2x2+2(k-1)x+1=0,當k=0時,得 即直線y=1與拋物線只有一個公共點. 當k0時,若直線與拋物線只有一個公共點, 則=4(k-1)2-4k2=0. k= ,故直線方程為:y= x+1. 綜上所述:所求直線方程為x=0或y=1或y= x+1.,