成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,第二章,§5 簡(jiǎn)單的冪函數(shù),第1課時(shí) 簡(jiǎn)單的冪函數(shù),數(shù)學(xué)史上很早就使用“冪”字，起先用于表示面、面積，后來擴(kuò)充為表示平方或立方.1859年我國(guó)清末大數(shù)學(xué)家李善蘭(18111882)譯成代微積拾級(jí)一書，創(chuàng)設(shè)了不少數(shù)學(xué)專有名詞 ，如函數(shù)、極限、微分、積分等，并把“Power”這個(gè)詞譯為“冪”這樣“冪”就轉(zhuǎn)譯為若干個(gè)相同數(shù)之積.,1.冪函數(shù) 如果一個(gè)函數(shù)，底數(shù)是_，指數(shù)是_，即yx，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù),自變量x,常數(shù),3冪函數(shù)性質(zhì)與圖像 所有的冪函數(shù)在_上有定義，并且圖像都過點(diǎn)_，如果0，則冪函數(shù)的圖像還過_，并在區(qū)間0，)上_；如果0，則冪函數(shù)在區(qū)間0，)上_，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像_；當(dāng)x趨向于時(shí)，圖像_,(0，),(1,1),(0,0),遞增,遞減,與y軸無限接近,與x軸無限接近,2冪函數(shù)yx(R)的圖像一定不經(jīng)過( ) A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限 答案 A 解析 R，x0，yx0，圖像不可能經(jīng)過第四象限，故選A.,4冪函數(shù)yf(x)的圖像過點(diǎn)(4,2)，則f(8)的值等于_,函數(shù)f(x)(m2m5)xm1是冪函數(shù)，且當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)是增加的，試確定m的值 思路分析 由已知f(x)是冪函數(shù)，且x0時(shí)是增加的，可先利用冪函數(shù)的定義求m的值，再利用單調(diào)性對(duì)求出的m值進(jìn)行驗(yàn)證,對(duì)冪函數(shù)定義的理解,規(guī)范解答 根據(jù)冪函數(shù)的定義得m2m51，解得m3或m2. 當(dāng)m3時(shí)，f(x)x2在(0，)上是增加的； 當(dāng)m2時(shí)，f(x)x3在(0，)上是減少的， 不符合題意故m3. 規(guī)律總結(jié) 形如yx的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：系數(shù)為1；指數(shù)為一常數(shù)；后面不加任何項(xiàng)這是判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)本例來說，還要根據(jù)單調(diào)性驗(yàn)根，以免產(chǎn)生增根,答案 C 解析 A、B、D都是冪函數(shù)經(jīng)過變化得到的函數(shù)，C中，yx1是冪函數(shù).,冪函數(shù)的圖像與性質(zhì),思路分析 把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為根式，并使根式有意義 規(guī)范解答 (1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，) 圖像如圖(1)所示 (2)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，值域?yàn)?，) 其圖像如圖(2)所示,規(guī)律總結(jié) 1.畫冪函數(shù)的圖像時(shí)，可先畫出其在第一象限內(nèi)的圖像，再由定義域、單調(diào)性得出在其他象限內(nèi)的圖像 2冪函數(shù)圖像的特征： (1)在第一象限內(nèi)，直線x1的右側(cè)，yx的圖像由上到下，指數(shù)由大變??；在第一象限內(nèi)，直線x1的左側(cè)，yx的圖像由上到下，指數(shù)由小變大 (2)當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0,0)和(1,1)點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)01時(shí)，曲線上凸；當(dāng)1時(shí)，曲線下凸；當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(1,1)點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，曲線下凸,答案 B,冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,當(dāng)x(1，)時(shí)，冪函數(shù)yx的圖像恒在直線yx的下方，求的取值范圍 錯(cuò)解 如圖(1)所示，當(dāng)01時(shí)，對(duì)于x(1，)，yx的圖像在直線yx的下方 如圖(2)所示，當(dāng)0時(shí)，也符合題意， 故的取值范圍是1且0.,辨析 忽略了0這一特殊情況，在求取值范圍的題目時(shí)，一定要注意隱含條件的挖掘 正解 當(dāng)01時(shí)，對(duì)于x(1，)，yx的圖像在直線yx的下方，如圖(1)所示 當(dāng)0時(shí)，對(duì)于x(1，)，yx的圖像也在直線yx的下方，如圖(2)所示 當(dāng)0時(shí)，對(duì)于x(1，)，yx的圖像還在直線yx的下方，如圖(3)所示 故的取值范圍是1. 規(guī)律總結(jié) 分類討論題目要考慮全面，切不可丟掉情況,