成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,第二章,§5 簡(jiǎn)單的冪函數(shù),第2課時(shí) 函數(shù)的奇偶性,大自然是一個(gè)真正的設(shè)計(jì)師，它用對(duì)稱的方法創(chuàng)造了千百萬(wàn)種不同的生命被譽(yù)為“上海之鳥(niǎo)”的浦東國(guó)際機(jī)場(chǎng)的設(shè)計(jì)模型，是一只碩大無(wú)比、展開(kāi)雙翅的海鷗它的兩翼呈對(duì)稱狀，看上去舒展優(yōu)美，它象征著浦東將展翅高飛，飛向更高、更廣闊的天地，創(chuàng)造更新、更宏偉的業(yè)績(jī)一些函數(shù)的圖像也有著如此美妙的對(duì)稱性，那么這種對(duì)稱性體現(xiàn)了函數(shù)的什么性質(zhì)呢？,奇函數(shù)與偶函數(shù) (1)一般地，圖像關(guān)于_對(duì)稱的函數(shù)叫作奇函數(shù)在奇函數(shù)f(x)中，f(x)與f(x)絕對(duì)值_，符號(hào)_，即f(x)_；反之，滿足_的函數(shù)yf(x)一定是奇函數(shù) (2)一般地，圖像關(guān)于_對(duì)稱的函數(shù)叫作偶函數(shù)在偶函數(shù)f(x)中，f(x)與f(x)的值_，即f(x)_；反之，滿足_的函數(shù)yf(x)一定是偶函數(shù) (3)當(dāng)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)，稱函數(shù)f(x)具有_,原點(diǎn),相等,相反,f(x),f(x)f(x),y軸,相等,f(x),f(x)f(x),奇偶性,答案 C 解析 f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不具有奇偶性，是非奇非偶函數(shù),2設(shè)函數(shù)f(x)x|x|定義在(，)上，則f(x)( ) A既是偶函數(shù)，又是減函數(shù) B既是奇函數(shù)，又是減函數(shù) C既是偶函數(shù)，又是增函數(shù) D既是奇函數(shù)，又是增函數(shù) 答案 D,4如圖給出奇函數(shù)yf(x)的局部圖像，則f(2)的值是_,5已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)xf(x)(xR)，則f(1)_. 答案 0 解析 令x1，則f(12)f(1)， 即f(1)f(1)，又f(x)為偶函數(shù)， 所以f(1)f(1)， 所以f(1)f(1)，即f(1)0.,函數(shù)奇偶性的判定,規(guī)律總結(jié) 函數(shù)奇偶性的方法判斷 (1)定義法,注意：利用定義判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，首先應(yīng)看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 (2)在選擇、填空題中，也可以用如下性質(zhì)判斷函數(shù)奇偶性： 偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)； 奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)； 奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)； 一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù),解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱因此，函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù) (2)f(x)的定義域?yàn)?,1，且f(x)0，f(1)0， f(1)0. f(1)f(1)，且f(1)f(1) 因此，函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù),分段函數(shù)奇偶性的判定,規(guī)律總結(jié) 1.判斷分段函數(shù)的奇偶性，必須分段考慮 2若分段函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，常用含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)表達(dá)式來(lái)表示,解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x) 當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，即x0時(shí)，f(x)f(x) 綜上所述，xR，有f(x)f(x)，故該函數(shù)為奇函數(shù).,函數(shù)奇偶性的概念與圖像,下面四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖像一定關(guān)于y軸對(duì)稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是y0(xR)其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C3 D4,規(guī)范解答 可結(jié)合我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)及奇、偶函數(shù)的圖像特征來(lái)判斷偶函數(shù)的圖像一定關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定與y軸相交，如函數(shù)yx0，yx2都是偶函數(shù)，但它們的圖像不與y軸相交，故錯(cuò)誤，正確；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定過(guò)原點(diǎn)，如yx1，故錯(cuò)誤；若函數(shù)yf(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)0，但未必xR，如x(1,1)，只要其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可，故錯(cuò)誤所以四個(gè)結(jié)論中只有正確，故選A. 答案 A,已知函數(shù)f(x)(xR)是偶函數(shù)，則下列各點(diǎn)中必在函數(shù)yf(x)圖像上的是( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 答案 A 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xR)是偶函數(shù)，所以，若點(diǎn)(a，f(a)在函數(shù)yf(x)的圖像上，由偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱可知，點(diǎn)(a，f(a)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(a，f(a)必在函數(shù)圖像上.,函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,設(shè)定義在2,2上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減少的，若f(m)f(m1)0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,規(guī)律總結(jié) 解決此類問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的限制,定義在R上的偶函數(shù)f(x)在x0上是增函數(shù)，則( ) Af(3)f(4)f() Bf()f(4)f(3) Cf(3)f()f(4) Df(4)f()f(3) 答案 C 解析 f(x)在實(shí)數(shù)集R上是偶函數(shù)， f()f()，f(4)f(4) 而34，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)， f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(4),規(guī)律總結(jié) 判斷函數(shù)奇偶性的步驟： (1)求函數(shù)定義域，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，執(zhí)行(2)，否則下結(jié)論：函數(shù)為非奇非偶函數(shù) (2)判定f(x)與f(x)關(guān)系,