§5 從力做的功到向量的數(shù)量積,1.向量的夾角與投影 (1)夾角 定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作 =a, =b,則_叫作向量a與b的夾角； 范圍：_； 大小與向量共線、垂直的關(guān)系：=,AOB=,0°180°,0°a與b_， 180°a與b_， 90°a_b.,同向,反向,(2)投影 定義：如圖所示： =a， =b，過(guò)點(diǎn)B作BB1垂直于直線 OA，垂足為B1，則OB1=_. _叫做向量b在a 方向上的投影數(shù)量(簡(jiǎn)稱投影).,|b|cos ,|b|cos ,大小與夾角的關(guān)系：,|b|,正值,0,負(fù)值,-|b|,2.向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)向量a與b，它們的夾角為，我們把_叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_，即 a·b= _. (2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上投影 _的乘積，或b的長(zhǎng)度_與a在b方向上投影 _的乘積. (3)物理意義：力對(duì)物體做功，就是力F與其作用下物體的位移 s的數(shù)量積_.,|a|b|cos ,a·b,|a|b|cos ,|b|cos ,|b|,|a|cos ,F·s,(4)性質(zhì)： 若e是單位向量，則e·a=a·e= _； ab_； |a|= cos =_(|a|b|0)； |a·b|_|a|b|.,|a|cos ,a·b=0,(5)運(yùn)算律： 交換律：a·b=_. 結(jié)合律：(a)·b= _= _. 分配律：a·(b+c)=_.,b·a,(a·b),a·(b),a·b+a·c,1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量的夾角與直線的傾斜角的范圍相同.( ) (2)向量的投影與向量的數(shù)量積和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果都是一個(gè)向量.( ) (3)設(shè)非零向量a與b的夾角為，cos 0a·b0.( ) (4)若a·b=b·c,則一定有a=c.( ),【解析】(1)錯(cuò)誤，兩個(gè)向量夾角的范圍是0，而直線傾斜角的范圍是0，). (2)錯(cuò)誤,向量的投影與向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，而非向量. (3)正確,cos = 故cos 0a·b0. (4)錯(cuò)誤,向量b與向量a，c可能垂直,向量a，c可能方向相反. 答案：(1)× (2)× (3) (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)若|a|=2，向量a與b的夾角為 則a在b方向上的投影為_(kāi). (2)若|a|=1，|b|=4，a與b的夾角為 則a·b=_. (3)若|a|=2，|b|=1，a·b= 則a與b的夾角為_(kāi).,【解析】(1)由投影的定義得a在b方向上的投影為|a|cos =2× =1. 答案：1 (2)由數(shù)量積的定義得:a·b=|a|b|cos =1×4× =-2. 答案：-2 (3)設(shè)a與b的夾角為，由a·b=|a|·|b|cos ，得cos = 又0，所以= 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 向量的數(shù)量積 1.寫法及與實(shí)數(shù)乘積的區(qū)別 兩向量a，b的數(shù)量積也稱作內(nèi)積，寫成a·b，其應(yīng)與代數(shù)中的a，b的乘積ab區(qū)分開(kāi)來(lái)，其中“·”是一種運(yùn)算符號(hào)，不同于實(shí)數(shù)的乘法符號(hào).在向量運(yùn)算中既不能省略，也不能用“×”代替.,2.運(yùn)算的結(jié)果 (1)向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，但兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量. (2)由于0°180°，所以a·b可以為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零，且當(dāng)0°90°時(shí)，a·b0；當(dāng)=90°時(shí)，a·b=0；當(dāng)90°180°時(shí)，a·b0.,(3)若a為零向量，則|a|=0，從而a·b=0，故零向量與任一向量的數(shù)量積為0. (4)a·a=a2=|a|2. (5)兩個(gè)單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值.,【微思考】 (1)影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 提示：影響數(shù)量積大小的因素有兩個(gè)，向量的模及其夾角大小. (2)若a·b=0，是否一定有ab?請(qǐng)說(shuō)明理由. 提示：一定,因a,b中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，我們規(guī)定了零向量與任一向量垂直，因此一定正確.,【即時(shí)練】 已知|a|=2,|b|=4，當(dāng)(1)ab；(2)ab；(3)a與b的夾角為150°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積. 【解析】(1)當(dāng)ab時(shí)，若a與b同向，即=0°，則a·b=|a|b|·cos =8；若a與b反向，即=180°，a·b=|a|b|·cos 180°=-8. (2)當(dāng)ab時(shí)，=90°，則a·b=|a|b|cos 90°=0. (3)當(dāng)a與b的夾角為150°時(shí)，a·b=|a|b|cos 150°,知識(shí)點(diǎn)2 數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律 1.數(shù)量積五條性質(zhì)的應(yīng)用 性質(zhì)(1)可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義； 性質(zhì)(2)可以解決有關(guān)垂直的問(wèn)題； 性質(zhì)(3)可以求向量的長(zhǎng)度； 性質(zhì)(4)可以求兩向量的夾角; 性質(zhì)(5)可以解決有關(guān)不等式的問(wèn)題，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立.,2.數(shù)量積運(yùn)算遵循的運(yùn)算律及常用公式 (1)遵循的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律，不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c).這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線.,(2)常用公式及注意點(diǎn)： (a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2; (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2; (a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2. 注意：|a|2=a·a,|b|2=b·b.,【知識(shí)拓展】向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘積相關(guān)結(jié)論比較,【微思考】 (1)若a·b0，a與b的夾角是銳角嗎？若a·b0，a與b的夾角是鈍角嗎？反過(guò)來(lái)呢？ 提示：不一定，可能為0°.不一定，可能為180°.反過(guò)來(lái)正確.,(2)若|a·b|=|a|b|，是否一定有ab？請(qǐng)說(shuō)明理由. 提示：一定.因?yàn)閍·b=|a|b|cos ， 所以|a·b|=|a|b|cos |. 由已知得,|a|b|cos |=|a|b|, 即|cos |=1，cos =±1, 又0,所以=0或，故ab.,【即時(shí)練】 1.(2014·西安高一檢測(cè))若e1,e2是兩個(gè)平行的單位向量，則下面結(jié)果正確的是( ) A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1 C.|e1·e2|=1 D.e1·e21,2.設(shè)a,b,c是任意的非零向量，且兩兩不共線，給出下列說(shuō)法： (a·b)c-(c·a)b=0; |a|-|b|a-b|; (b·c)a-(c·a)b與c不可能垂直； (3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正確的有( ) A. B. C. D.,【解析】1.選C.由于e1,e2是兩個(gè)平行的單位向量，設(shè)其夾角為，則|cos |=1，所以|e1·e2|=|cos |=1.,2.選D.(a·b)c是與向量c平行的向量，(c·a)b是與向量b平行 的向量，因此(a·b)c與(c·a)b不一定相等，故不正確； 因?yàn)閍,b,c是任意的非零向量，且相互不共線，則根據(jù)三角形 兩邊之差小于第三邊可知正確； 由于(b·c)a-(c·a)b·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)= 0，因此(b·c)a-(c·a)b與c垂直，不正確； (3a+2b)·(3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2. 正確，故選D.,【題型示范】 類型一 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【典例1】 (1)(2014·咸陽(yáng)高一檢測(cè))已知平面上三點(diǎn)A，B，C滿足 =2， 則 的值為_(kāi). (2)(2014·合肥高一檢測(cè))已知向量a與b的夾角是120°,且|a| =2,|b|=3，求：(a-2b)2;(2a-b)·(a+3b).,【解題探究】1.題(1)中計(jì)算 的關(guān)鍵是 什么？ 2.解答題(2)的突破口是什么？ 【探究提示】1.判斷ABC的形狀，確定出相關(guān)向量的夾角. 2.運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律和相關(guān)公式，將待求式轉(zhuǎn)化為a 與b的數(shù)量積運(yùn)算.,【自主解答】(1)由已知， 所以ABC為直角三角形,且ACB=90°,如圖. 從而sinABC= sinBAC= 所以ABC=60°,BAC=30°. 所以 與 的夾角為120°, 與 的夾角為90°, 與 的夾角為150°.,故 = 答案：-4,(2)因?yàn)閍·b=|a|·|b|cos 120°=2×3× =-3, 所以(a-2b)2=a2-2a·(2b)+(2b)2 =|a|2-4a·b+4|b|2 =22-4×(-3)+4×32=52. (2a-b)·(a+3b) =2a2+6a·b-a·b-3b2 =2|a|2+5a·b-3|b|2 =2×22+5×(-3)-3×32=-34.,【延伸探究】在題(2)的條件下，若(3a+5b)·(ma-b)=-45，則m的值如何？ 【解析】(3a+5b)·(ma-b) =3ma2+(5m-3)a·b-5b2 =3m×22+(5m-3)×2×3× -5×32 =-3m-36=-45， 解得m=3.,【方法技巧】 1.求平面向量數(shù)量積的流程,2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的運(yùn)算技巧及注意點(diǎn) (1)技巧：類似于實(shí)數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量a,b的數(shù)量積運(yùn)算. (2)注意點(diǎn):a與b的數(shù)量積不可書(shū)寫或認(rèn)為是ab, a2=|a|2的應(yīng)用.,【變式訓(xùn)練】1.已知正ABC的邊長(zhǎng)為2，設(shè) =a， =b， =c，則a·b+b·c+c·a=_. 【解析】a與b，b與c，a與c的夾角為120°， 所以原式=|a|·|b|·cos 120°+|b|·|c|·cos 120°+ |a|·|c|·cos 120°=2×2× ×3=-6. 答案：-6 【誤區(qū)警示】本題求解時(shí)易將向量a,b，c夾角的大小定錯(cuò)而致誤.,2.(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b，若b·c=0，則t=_. 【解析】由c=ta+(1-t)b得, b·c=ta·b+(1-t)b2=0, 解得t|a|b|cos 60°+(1-t)|b|2=0, 化簡(jiǎn)得 t+(1-t)=0，所以t=2. 答案：2,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知ABC為等邊三角形，AB=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足 R.若 則=_. 2.已知|a|= |b|=3，|c|= 且a+b+c=0，求a·b+b·c +c·a,【解析】(1)因?yàn)?所以 =2(1+-2)-4+4(-1) =2(-2+-1).,又因?yàn)?所以42-4+1=0，所以= 答案：,(2)因?yàn)閍+b+c=0， 所以(a+b+c)2=0， 即a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=0. 又因?yàn)閨a|= |b|=3,|c|= 所以a2=3,b2=9,c2=12， 所以a·b+b·c+c·a=-12.,類型二 向量的模的計(jì)算問(wèn)題 【典例2】 (1)(2013·浙江高考)設(shè)e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ ye2，x,yR.若e1,e2的夾角為 則 的最大值等于_. (2)已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|= 則|b|= _. (3)已知a，b滿足|a+b|= |a-b|,|a|=|b|=1，求|3a-2b|.,【解題探究】1.題(1)中求 的最大值的突破口是什么？ 2.題(2)中如何將|2a-b|= 用a與b的模及數(shù)量積表示？ 3.題(3)中向量的數(shù)量積與向量模如何轉(zhuǎn)化？ 【探究提示】1.先將求 的最大值轉(zhuǎn)化為求 的最大值， 進(jìn)而利用|b|2=b2轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x,y的函數(shù)的最值. 2.利用|2a-b|2=(2a-b)2. 3.|a|2=a2.,【自主解答】(1) = 當(dāng)x=0時(shí)， =0; 當(dāng)x0時(shí)， 令 則 所以 的最大值為2. 答案：2,(2)|2a-b|= (2a-b)2=104+|b|2-4|b|cos 45° =10|b|= 答案：,(3)由|a+b|= |a-b|得,|a+b|2=3|a-b|2, 即(a+b)2=3(a-b)2, 所以a2+2a·b+b2=3(a2-2a·b+b2), 所以8a·b=2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=4, 即a·b= 所以|3a-2b|= =,【方法技巧】求向量的模的常見(jiàn)思路 求向量的模是向量運(yùn)算問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，解答這類問(wèn)題 時(shí)，可考慮先求向量的平方，應(yīng)用向量的運(yùn)算公式、法則求出 其平方值，然后再利用公式|a|2=a2=a·a，將其兩邊開(kāi)平方即 可求得該向量的模，即運(yùn)用公式,【變式訓(xùn)練】(2014·江西高考)已知單位向量e1,e2的夾角為, 且cos = 若向量a=3e1-2e2,則|a|=_. 【解題指南】利用 求解. 【解析】a·a=(3e1-2e2)2=912e1·e2+4=912× +4=9，故 |a|=3. 答案：3,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知同一平面上的向量a,b，c兩兩所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2,|c|=3，求|a+b+c|. 【解析】(1)當(dāng)向量a,b,c共線且同向時(shí)，所成的角均為0°, 所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6.,(2)當(dāng)向量a,b,c不共線時(shí)，易知a,b,c皆為非零向量. 設(shè)a,b,c所成的角均為，則3=360°, 即=120°,所以a·b=|a|b|cos 120°=-1. 同理b·c=-3,c·a= 由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3, 故|a+b+c|= 綜上所述，|a+b+c|=6或,類型三 夾角和垂直問(wèn)題 【典例3】 (1)(2014·寶雞高一檢測(cè))已知m,n是兩個(gè)單位向量，其夾角為 60°，設(shè)a=2m+n,b=2n-3m，則a與b的夾角為_(kāi). (2)(2013·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|=3|b|=|a+2b|， 則a與b夾角的余弦值為_(kāi). (3)(2013·山東高考)已知向量 與 的夾角為120°，且 若 且 則實(shí)數(shù)的值為 _.,【解題探究】1.兩個(gè)非零向量的夾角公式是什么？ 2.解答題(2)的關(guān)鍵是什么？ 3.解答題(3)的突破口是什么？ 【探究提示】1.cos = 2.由已知得到a·b與|b|(或|a|)的關(guān)系. 3.將 用 與 表示,并通過(guò)垂直條件列關(guān)于的方程求解.,【自主解答】(1)由已知|m|=|n|=1，m·n=|m|n|cos 60° = 所以a·b=(2m+n)·(2n-3m)=m·n-6m2+2n2= -6+2= |a|2=a2=(2m+n)2=4m2+4m·n+n2=7, |b|2=b2=(2n-3m)2=4n2-12n·m+9m2=7. 所以|a|=|b|= 由a·b=|a|b|cos 得， 所以cos =,又0,， 所以=120°. 故a與b的夾角為120°. 答案：120°,(2)由|a|=|a+2b|，等式兩邊平方得a2+4a·b+4b2=a2a·b =-b2，所以cosa,b= 答案：,(3)向量 與 的夾角為120°，且 所以 由 得， 即 所以 即493(1)=0，解得= 答案：,【方法技巧】 1.求向量夾角的解題流程及注意事項(xiàng) (1)解題流程：,(2)注意事項(xiàng) 在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cos 的值.,2.兩向量垂直的確定與應(yīng)用 (1)確定：通常利用兩向量垂直的充要條件，即計(jì)算a·b是否為0. (2)應(yīng)用：若ab，則a·b=0可求其中參數(shù)的值.,【變式訓(xùn)練】(2014·南昌高一檢測(cè))已知a，b是兩個(gè)非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直.試求a與b的夾角大小. 【解析】因?yàn)閍+3b與7a-5b垂直， 所以(a+3b)·(7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0.,又因?yàn)閍-4b與7a-2b垂直， 所以(a-4b)·(7a-2b)=0， 即7a2-30a·b+8b2=0. -得46a·b=23b2, 即2a·b=b2. 代入可得a2=b2,即|a|=|b|. 設(shè)a與b的夾角為， 則cos = 又因?yàn)?,，所以=,【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a+b與向量ka-b垂直，則k=_. 【解析】因?yàn)?a+b)(ka-b), 所以(a+b)·(ka-b)=0, 即ka2+(k-1)a·b-b2=0，(*),又因?yàn)閍,b為兩個(gè)不共線的單位向量, 所以(*)式可化為1-k=(k-1)a·b, 若k-10，則a·b=-1，這與a,b不共線矛盾; 若k-1=0，則1-k=(k-1)a·b恒成立. 綜上可知，k=1時(shí)符合題意. 答案：1,2.已知|a|=5,|b|=4,|a+b|= 求向量a與b的夾角. 【解析】因?yàn)閨a|=5,|b|=4,|a+b|= 所以|a|2=25,|b|2=16,|a+b|2=21. 又因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=41+2a·b, 所以a·b=-10.,設(shè)a與b的夾角為, 則cos = 又因?yàn)?,所以= 即a與b的夾角是,拓展類型 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 【備選例題】(1)若a,b,c均為單位向量，且a·b=0,(a-c)·(b -c)0，則|a+b-c|的最大值為( ) A. -1 B.1 C. D.2 (2)在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，AB=2，AD=3，則 =_.,【解析】(1)選B.由(a-c)·(b-c)0，得a·b-a·c-b·c+c2 0，又a·b=0，且a,b,c均為單位向量，得-a·c-b·c-1， |a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(a·b-a·c-b·c)=3+2(-a·c- b·c)3-2=1，故|a+b-c|的最大值為1. (2) = 答案：5,【方法技巧】 1.數(shù)量積運(yùn)算與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)綜合 先利用向量的數(shù)量積運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)的問(wèn)題，再用相關(guān)知識(shí)求解.,2.數(shù)量積運(yùn)算與平面幾何的綜合 (1)選擇基底. (2)把相關(guān)的向量用基底表示. (3)借助數(shù)量積的定義及其變形判斷邊與邊的關(guān)系，如借助向量的模找邊長(zhǎng)的關(guān)系、借助向量的夾角找邊與邊的關(guān)系. (4)由向量運(yùn)算得出待求.,【易錯(cuò)誤區(qū)】?jī)上蛄繆A角概念不清和加減及數(shù)量積運(yùn)算律應(yīng)用 不當(dāng)致誤 【典例】(2014·銅陵高一檢測(cè))在ABC中，已知A=120°， B=C=30°，若AB=AC=1，則 =_.,【解析】過(guò)A作ADBC，垂足為D， 因?yàn)锳B=AC，所以BC=2BD=2×AB×cos B=2×1× 方法一： = = = 所以,方法二： = = = = 答案：,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確理解向量夾角的概念 在以平面圖形為背景的數(shù)量積問(wèn)題中，關(guān)鍵是求向量夾角，此 時(shí)要注意讓兩個(gè)向量共起點(diǎn)才能找準(zhǔn)向量的夾角.如本例中 與 的夾角是角B的補(bǔ)角而不是角B.,2.巧用數(shù)量積的運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算 數(shù)量積運(yùn)算過(guò)程中，逆用和巧用的運(yùn)算律可以湊出滿足向量加 法(減法)三角形法則的形式，從而實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算.如本例中， 經(jīng)過(guò) 的變形后， 可用向 量加法的三角形法則簡(jiǎn)化為 進(jìn)而只要計(jì)算 即可.,【類題試解】(2013·天津高考)在平行四邊形ABCD中,AD=1, BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若 則AB的長(zhǎng)為_(kāi).,【解析】因?yàn)?所以 = = 所以 解得 答案：,