§6 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,1.平面向量的數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示 (1)數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 設(shè)向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a·b=_. (2)模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示.,x1x2+y1y2,x1x2,+y1y2=0,2.直線的方向向量 (1)定義：與直線l_的非零向量m稱為直線l的方向向量. (2)性質(zhì)：給定斜率為k的直線l的一個方向向量為m= _.,共線,(1，k),1.判一判 (正確的打“”，錯誤的打“×”) (1)兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.( ) (2)兩個向量a與b的夾角公式 適用于 任何向量a,b.( ) (3)兩個向量的數(shù)量積小于零，兩個向量的夾角一定為鈍角. ( ) (4)斜率為2的直線l的一個方向向量為(2,1).( ),【解析】1.(1)正確，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和. (2)錯誤,該公式適用于非零向量a與b. (3)錯誤，兩個向量的夾角為180°時，兩個向量的數(shù)量積也小于零. (4)錯誤,一個方向向量為(1,2). 答案：(1) (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)已知a= 則|a|=_. (2)已知a=(-2,1)，b=(-1，-2)，則向量a與b的關(guān)系為_. (3)已知a=(1,3)，b=(2,5)，則a·b=_. (4)已知a=(3,0)，b=(-5,5)，則a與b的夾角為_.,【解析】(1)|a|= 答案：2 (2)a·b=-2×(-1)-2=0，所以ab. 答案：ab (3)a·b=1×2+3×5=17. 答案：17,(4)設(shè)兩向量a與b的夾角為， 則cos = 又0，所以= 答案：,【要點探究】 知識點1 數(shù)量積、模、夾角、垂直的坐標(biāo)表示 1.數(shù)量積的坐標(biāo)表示的實質(zhì)與特點 (1)實質(zhì)：是將向量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算,它使得數(shù)量積的計算更為方便，簡單. (2)特點：等于兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和.,2.向量模的坐標(biāo)運算的實質(zhì) a=(x,y),則在平面直角坐標(biāo)系中,一定存在點A(x,y),使得 =a=(x,y),所以 =a= 即a為點A到原點 的距離.,3.向量的夾角的坐標(biāo)表示 (1)來源：數(shù)量積公式的一個變形. (2)適用范圍：由向量坐標(biāo)計算夾角的一個公式，僅適用于兩 個非零向量. (3)夾角的取值范圍的確定： x1x2+y1y2的取值符號確定角的取值范圍，其中當(dāng)x1x2+y1y2 0時，0 ；當(dāng)x1x2+y1y20時， ;當(dāng)x1x2+ y1y2=0時，=,【知識拓展】 1.投影的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，夾角為，則向量a在非零向量b方向 上的投影的坐標(biāo)表示為：|a|cos =,2.兩點間的距離公式 若A(x1,y1),B(x2,y2),則 AB=(x2-x1,y2-y1), 所以 即平面直角坐標(biāo)系中任意兩點 間的距離公式.由此可知向量模的運算實質(zhì)即為平面直角坐標(biāo) 系中兩點間距離的運算.,【微思考】 (1)利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算?？山鉀Q哪些問題？ 提示：利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算?？山鉀Q以下問題： 求距離(求向量的模)、求向量的夾角、證明兩向量垂直(或判斷圖形形狀等)、求點的坐標(biāo)及求參數(shù)的值等問題.,(2)兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，ab與ab的坐標(biāo)表示有何區(qū)別？ 提示： 若abx1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0； 若abx1x2+y1y2=0；前者為兩坐標(biāo)交叉積的差等于0，而后者為相應(yīng)坐標(biāo)的積的和等于0,兩個結(jié)論不能混淆，可以對比學(xué)習(xí)，分別記憶.,【即時練】 已知向量a=(1,2)，b=(-3,2)，則a·b=_，|a+b|=_， |a-b|=_,a與b的夾角的余弦值是_. 【解析】a·b=1×(-3)+2×2=1, 因為a+b=(-2,4),a-b=(4,0), 所以|a+b|= |a-b|= cosa,b= 答案：,知識點2 直線的方向向量 對直線的方向向量的兩點說明 (1)個數(shù)：一條直線的方向向量有無數(shù)個. (2)長度：方向向量的長度沒有限制.,【微思考】 (1)直線y=kx+b的方向向量是什么？ 提示：a=(1,k). (2)直線Ax+By+C=0(A·B0)的一個方向向量是否是 提示：是,【即時練】 已知直線l1:3x+y-2=0和l2:x+2y+1=0，求l1與l2的夾角. 【解析】不妨取直線l1和l2的方向向量分別為m=(1,-3),n= 設(shè)向量m與n的夾角為， 從而cos = 所以=45°,即直線l1和l2的夾角為45°.,【題型示范】 類型一 數(shù)量積的坐標(biāo)運算 【典例1】 (1)已知向量a=(1,-1),b=(2,x)，若a·b=1，則x=_. (2)(2014·渭南高一檢測)已知向量a與b同向，b=(1,2)，a·b=10. 求向量a的坐標(biāo)； 求a·(a+b),(a+b)·(a-b). 若c=(2,-1)，求(b·c)a.,【解題探究】1.已知向量的數(shù)量積如何用坐標(biāo)法求未知向量的坐標(biāo)？ 2.計算(a+b)·(a-b)的方法有哪些？ 【探究提示】1.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示構(gòu)造方程求得未知向量的坐標(biāo)即可. 2.直接展開或先分別求a+b與a-b的坐標(biāo)，再計算.,【自主解答】(1)a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1x=1. 答案：1 (2)因為a與b同向，又因為b=(1,2), 所以a=b=(,2)，0. 又因為a·b=10, 所以1·+2·2=10，解得=20. 所以a=(2，4).,方法一：因為a+b=(2,4)+(1,2)=(3,6), a-b=(2，4)-(1，2)=(1，2), 所以a·(a+b)=2×3+4×6=30, (a+b)·(a-b)=3×1+6×2=15. 方法二：因為a2=22+42=20,a·b=10,b2=12+22=5, 所以a·(a+b)=a2+a·b=20+10=30, (a+b)·(a-b)=a2-b2=20-5=15.,因為b·c=1×2+2×(-1)=0, 所以(b·c)a=0×a=0.,【延伸探究】在本題(2)的條件下求(3a-b)·(a+2b). 【解析】方法一：因為a=(2,4),b=(1,2), 所以3a-b=(6,12)-(1,2)=(5，10)， a+2b=(2,4)+(2,4)=(4,8), 所以(3a-b)·(a+2b)=5×4+10×8=100.,方法二：因為a·b=10，a2=20,b2=5. 所以(3a-b)·(a+2b)=3a2+5a·b-2b2 =3×20+5×10-2×5=100.,【方法技巧】數(shù)量積坐標(biāo)運算的符號 (1)進(jìn)行數(shù)量積運算時，要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2，并能靈活運用以下幾個關(guān)系： |a|2=a·a. (a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.,(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo)，一般來說應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算列出方程組來進(jìn)行求解. (3)形如(ma+nb)·(ka+eb)(m,n,k,eR)的坐標(biāo)運算，有兩條途徑：其一，展開轉(zhuǎn)化為a2,a·b,b2的坐標(biāo)運算；其二，先求ma+nb與ka+eb的坐標(biāo)，再運算.,【變式訓(xùn)練】 1.已知a=(-4,3),b=(5,6),則3|a|2-4a·b=_. 【解析】3|a|2-4a·b= =75+8=83. 答案：83,2.a=(-4,7),b=(5,2)，則a·b=_,|a|=_,(2a-3b)· (a+2b)=_. 【解析】a·b=-20+14=-6, |a|= (2a-3b)·(a+2b) =2(-4,7)-3(5,2)·(-4,7)+2(5,2) =(-23,8)·(6,11)=-138+88=-50. 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知2a+b=(-4,3)，a-2b=(3,4)，求a·b的值. 【解析】由已知可得，4a+2b=(-8,6). 所以(4a+2b)+(a-2b)=(-8,6)+(3,4)=(-5,10). 即5a=(-5,10), 所以a=(-1,2). 從而b=(2a+b)-2a=(-4,3)-(-2,4)=(-2,-1). 所以a·b=(-1)×(-2)+2×(-1)=0.,類型二 向量的夾角與垂直問題 【典例2】 (1)(2013·山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 = (1,t)， =(2,2)，若ABO=90°，則實數(shù)t的值為_. (2)已知cma+nb a與c垂直，b與c的夾角為 120°，且b·c4，|a| 求實數(shù)m，n的值及a與b的夾 角.,【解題探究】1.兩向量垂直如何用坐標(biāo)表示？ 2.求向量的夾角的關(guān)鍵是什么？ 【探究提示】1.x1x2+y1y2=0. 2.求兩個向量的夾角的關(guān)鍵是確定兩個向量的數(shù)量積和兩個向量的模，再利用公式求得夾角的余弦值，進(jìn)而確定角的大小.,【自主解答】(1) =(2,2)(1,t)=(3,2t),因 為ABO=90°，所以 所以 =0，3×2+2×(2t)=0，所以t=5. 答案：5,(2)因為a與c垂直，所以a·c0. 又因為cmanb，所以c·cma·cnb·c， 所以1244n，所以n4. 因為b·c|b|c|cos 120°， 所以4|b|×4× 所以|b|2. 所以a·cma24a·b=0，|a| 所以a·b2m.,又b·cm(a·b)4b2=-4， 所以42m216，所以m26，所以m 當(dāng)m 時，a·b cos 又0,，所以 當(dāng)m 時，a·b,所以cos 又0，所以 綜上所述：當(dāng)m n4時， 當(dāng)m n4時，,【方法技巧】利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟,【變式訓(xùn)練】1.(2014·湖北高考)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,-1)，若(a+b)(a-b)，則實數(shù)=_. 【解析】因為a+b=(3+,3-)，a-b=(3-,3+)， 因為(a+b)(a-b)， 所以(3+)(3-)+(3-)(3+)=0， 解得=±3. 答案：±3,【誤區(qū)警示】解題時要明確知道(a+b)(a-b)的充要條件是(a+b)·(a-b)=0，不要與向量平行的充要條件弄混.,2.設(shè)a=(4,-3),b=(2,1)，若a+tb與b的夾角為45°，求實數(shù)t的值. 【解題指南】由條件求出(a+tb)·b及|a+tb|，|b|,代入兩向量的夾角公式求解.,【解析】a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3). (a+tb)·b=(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5. |a+tb|= 由(a+tb)·b=|a+tb|b|cos 45°， 得5t+5= 即t2+2t-3=0. 所以t=-3或t=1，經(jīng)檢驗t=-3不合題意，舍去，所以t=1.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點A(2,2)，B(4,1)，O為坐標(biāo)原點，P為x軸 上一動點，當(dāng) 取最小值時，求向量 與 的夾角的余 弦值.,【解析】設(shè)點P(x,0), 則 所以 =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1. 所以當(dāng)x=3時， 取最小值1. 此時， =(2，2)-(3,0)=(-1,2). =(4,1)-(3,0)=(1,1), 所以 所以cosAPB=,類型三 數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用 【典例3】 (1)(2013·福建高考)在四邊形ABCD中，若 =(1,2)， = (4,2),則該四邊形的面積為( ) (2)(2014·淮南高一檢測)已知ABC頂點的直角坐標(biāo)分別為 A(3,4),B(0,0),C(c,0). 若c=5，求sin A的值; 若A是鈍角，求c的取值范圍.,【解題探究】1.向量 與 垂直嗎？ 2.A是哪兩個向量的夾角？ 【探究提示】1.因為 所以 2.向量 與 的夾角.,【自主解答】(1)選C.因為 所以AC,BD是互相垂直的 對角線，所以 (2) =(-3，-4), =(c-3,-4), 當(dāng)c=5時， =(2，-4), 所以cos A= 所以sin A=,若A為鈍角，則 =-3(c-3)+160且 與 不共線， 解得c 顯然此時 和 不共線. 故當(dāng)A為鈍角時，c的取值范圍為,【方法技巧】三角形或四邊形形狀的判定 (1)可先求各邊對應(yīng)的向量及模，看各邊長度關(guān)系. (2)再求它們兩兩的數(shù)量積，從而判定其內(nèi)角是否為銳角(直角、鈍角).四邊形還可以從對角線對應(yīng)的向量入手.,【變式訓(xùn)練】直角坐標(biāo)系xOy中， (2,1)， (3，k)， 若ABC是直角三角形，則k的可能值個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解題指南】根據(jù)ABC是直角三角形求k時，應(yīng)分ABAC， ABBC和ACBC三種情況討論.,【解析】選B.若A90°，則 6k0，k-6； 若B90°，則 k-1； 若C90°，則 k2-k30無解. 所以綜上，k可能取-6，-1兩個數(shù),【補(bǔ)償訓(xùn)練】在四邊形ABCD中， (6,1)， (x，y)， (2，3)， (1)求x與y的關(guān)系式. (2)若有 求x,y的值及四邊形ABCD的面積,【解析】(1)因為 (6,1)(x，y) (2，3)(x4，y2)， 所以 (x4,2y) 又 (x，y)， 所以x(2y)y(x4)0，即x2y0.,(2)因為 (6,1)(x，y)(x6，y1)， (x，y)(2，3)(x2，y3)， 且 所以 即(x6)(x2)(y1)(y3)0.,又由(1)的結(jié)論x2y0， 所以(62y)(2y2)(y1)(y3)0， 化簡得y22y30， 所以y3或y1. 當(dāng)y3時，x6.于是有 所以 所以S四邊形ABCD,同理y1時，x2. 于是有 所以 所以S四邊形ABCD 即 或 S四邊形ABCD16.,【規(guī)范解答】平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用 【典例】(12分)(2014·蕪湖高一檢測)已知O為坐標(biāo)原點， A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )， (1)若 求cos2-sin2. (2)若 且(0,)，求 夾角的大小.,【審題】抓信息，找思路,【解題】明步驟，得高分,【點題】警誤區(qū)，促提升 失分點1：若在處將平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)表示錯誤，實際考試中至多得6分. 失分點2：若在處忽視“1”的代換，則無法進(jìn)一步將“弦”化為“切”，實際考試中至多得10分. 失分點3：若在處由三角函數(shù)值求角，忽視了角的范圍，則導(dǎo)致求角出錯或過程不嚴(yán)謹(jǐn)，實際考試中扣1至2分.,【悟題】提措施，導(dǎo)方向 1.記準(zhǔn)平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)表示 解答向量問題，必須要記清、用準(zhǔn)常用公式，如本例中數(shù)量積、 向量的模和向量夾角公式的應(yīng)用要準(zhǔn)確. 2.幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算 解答向量問題要注意認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)貙⑾蛄康淖鴺?biāo)運算與向 量加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的定義和幾何意義結(jié)合起來分析問 題，如本例中根據(jù) 轉(zhuǎn)化為坐標(biāo) 關(guān)系.,【類題試解】(2013·江蘇高考)已知a=(cos ,sin ), b=(cos ,sin )，0. (1)若|a-b|= 求證：ab. (2)設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求,的值.,【解析】(1)由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因為a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故ab. (2)因為a+b=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1),所以 由此得，cos =cos(-)，由0，得0- ，又0，故=-.代入sin +sin =1得， sin =sin = 而,所以,