§7 向量應(yīng)用舉例,【題型示范】 類(lèi)型一 向量在解析幾何中的應(yīng)用 【典例1】 (1)(2014·蘇州高一檢測(cè))過(guò)點(diǎn)P(1,1)，且法向量為n=(4,-3)的直線(xiàn)l的方程為_(kāi). (2)已知點(diǎn)A(-1，2)，直線(xiàn)l:4x-3y+9=0. 求：過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l平行的直線(xiàn)方程. 過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)方程.,【解題探究】1.直線(xiàn)l的法向量與直線(xiàn)有什么關(guān)系？ 2.如何由直線(xiàn)l方程中x，y的系數(shù)確定題(2)中直線(xiàn)方程的斜率k？ 【探究提示】1.垂直. 2.由直線(xiàn)l得到其方向向量u= 再定k. 由直線(xiàn)l得到其法向量n=(4,-3)再確定k.,【自主解答】(1)設(shè)M(x,y)是直線(xiàn)l上任一點(diǎn)， 則 =(x-1,y-1), 又n ，故(4，-3)·(x-1,y-1)=0，即4x-3y-1=0. 答案：4x-3y-1=0,(2)方法一：直線(xiàn)l的斜率 向量u= 與直線(xiàn)l平行. 設(shè)P是過(guò)A且與l平行的直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，P的坐標(biāo)是(x,y)，則 =(x+1,y-2)，所求直線(xiàn)與l平行，當(dāng)且僅當(dāng)u ,轉(zhuǎn)化為 坐標(biāo)表示，即為1×(y-2)- ×(x+1)=0,整理得4x-3y+10=0, 這就是所求的過(guò)A且與l平行的直線(xiàn)方程.,設(shè)Q(x,y)為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，則 =(x+1,y-2)，點(diǎn)Q在過(guò)A 且垂直于l的直線(xiàn)上，當(dāng)且僅當(dāng)u· =0,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，即 為1×(x+1)+ ×(y-2)=0, 整理得3x+4y-5=0, 這就是所求的過(guò)A且與l垂直的直線(xiàn)方程.,方法二：因?yàn)橄蛄?4，-3)與直線(xiàn)l垂直， 所以n=(4,-3)是l的法向量. 設(shè)P(x,y)為直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，則 =(x+1,y-2).點(diǎn)P在與l平行 的直線(xiàn)上，當(dāng)且僅當(dāng)n· =0.轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示即為4(x+1)+ (-3)(y-2)=0,整理得4x-3y+10=0，這就是所求的過(guò)A且與l平行 的直線(xiàn)方程.,設(shè)Q(x,y)為一動(dòng)點(diǎn)，則 =(x+1,y-2),點(diǎn)Q在與l垂直的直 線(xiàn)上，當(dāng)且僅當(dāng) 與n共線(xiàn)，即n ,轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示即為 4(y-2)+3(x+1)=0, 整理得：3x+4y-5=0, 即為過(guò)A且與l垂直的直線(xiàn)方程.,【延伸探究】若把題(2)的直線(xiàn)換成4x-5y+1=0,其他條件不 變，怎樣求過(guò)點(diǎn)A且與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)方程. 【解析】取直線(xiàn)l的法向量n=(4，-5)， 設(shè)點(diǎn)P(x,y)在所求直線(xiàn)上，且 =(x+1,y-2).由題意知 與 n平行，即4(y-2)-(-5)(x+1)=0, 所以5x+4y-3=0.,【方法技巧】 1.直線(xiàn)的法向量n,2.利用方向向量及法向量求直線(xiàn)方程的關(guān)鍵及常用結(jié)論 (1)關(guān)鍵是探尋所求直線(xiàn)的方向向量同已知直線(xiàn)方向向量或法向量的關(guān)系. (2)常用結(jié)論如下: 所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，則和已知直線(xiàn)的方向向量平行，和已知直線(xiàn)的法向量垂直. 所求直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，則和已知直線(xiàn)的方向向量垂直，和已知直線(xiàn)的法向量平行.,【變式訓(xùn)練】求通過(guò)點(diǎn)A(2,1)，且平行于向量a(3,1)的直 線(xiàn)方程 【解題指南】在直線(xiàn)上任取一點(diǎn)P(x，y)，則 (x2，y 1)，由 a，利用向量平行的條件可寫(xiě)出方程 【解析】設(shè)P(x，y)是所求直線(xiàn)上的任一點(diǎn)， (x2，y1) 因?yàn)?a，所以(x2)×13(y1)0. 即所求直線(xiàn)方程為x3y50.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】求證直線(xiàn)l1:y=3x-1與l2: 互相垂直. 【證明】在y=3x-1中，分別令x1=0,x2=1，得y1=-1,y2=2.則A(0,-1),B(1,2)是直線(xiàn)l1上的兩個(gè)點(diǎn)，類(lèi)似地，可得l2上的兩點(diǎn)C(0,2)，D(3,1). 所以 =(1,2)-(0,-1)=(1,3)， =(3，1)-(0,2)=(3,-1), =(1,3)·(3,-1)=0, 所以ABCD,故l1l2.,類(lèi)型二 向量在平面幾何中的應(yīng)用 【典例2】 (1)(2013·新課標(biāo)全國(guó)卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為 CD的中點(diǎn)，則 =_. (2)如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中 點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間 的關(guān)系嗎？,【解題探究】1.題(1)中能否用簡(jiǎn)易方法求 2.向量 與 與 分別有什么關(guān)系？ 【探究提示】1.建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求 2.向量 與 與 分別共線(xiàn).,【自主解答】(1)以點(diǎn)為原點(diǎn)，以 的方向?yàn)閤軸，y軸 的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(,)，E(,)，D(, )，B(,)，所以 =(2,-1), =(2,2)，所以 =2. 答案：2,(2)設(shè) 則 =a+b. 由 與 共線(xiàn)，因此，存在實(shí)數(shù)m，使得 =m(a+b). 又由 與 共線(xiàn)， 因此，存在實(shí)數(shù)n，使得 由 得m(a+b)=a+,整理得 由于向量a,b不共線(xiàn)， 所以 解得 所以 同理 于是 所以AR=RT=TC.,【方法技巧】 1.用向量證明平面幾何問(wèn)題的兩種基本思路 (1)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法的四個(gè)步驟： 選取基底;用基底表示相關(guān)向量;利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系;把幾何問(wèn)題向量化. (2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟： 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把相關(guān)向量坐標(biāo)化;用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系;把幾何問(wèn)題向量化.,2.用向量解決平面幾何問(wèn)題的常用策略 (1)證明線(xiàn)段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平 行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義. (2)證明線(xiàn)段平行、三角形相似、判斷兩直線(xiàn)是否平行，常運(yùn) 用向量平行的條件：aba=b(b0)，或者abx1y2- x2y1=0. (3)證明線(xiàn)段的垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判 斷兩直線(xiàn)是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：aba·b =0，或者abx1x2+y1y2=0.,(4)求與夾角相關(guān)的問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cos = 如求三角形的面積用公式S= absin C時(shí)，可能會(huì)利用 夾角公式求出cos C，進(jìn)而求出sin C. (5)向量的坐標(biāo)法，對(duì)于有些平面幾何問(wèn)題，如矩形、正方形、 直角三角形等，可建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示， 通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決幾何問(wèn)題.,【變式訓(xùn)練】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線(xiàn)所成的鈍角的余弦值. 【解析】如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)A(2a,0),B(0,2a)， 則D(a,0),C(0,a)，,從而可求： =(2a,a), =(a,2a),不妨設(shè) , 的夾角為, 則cos = = = 故所求鈍角的余弦值為,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知DE是ABC的中位線(xiàn)，用向量的方法證明： DE= BC，且DEBC. 【證明】易知 所以 即DE= BC，又D不在BC上，所以DEBC.,類(lèi)型三 向量在物理中的應(yīng)用 【典例3】 (1)(2014·安慶高一檢測(cè))用兩條成60°角的繩索拉船，每條繩的拉力是12 N，則合力為( ),(2)一只漁船在航行中遇險(xiǎn)，發(fā)出求救警報(bào)，在遇險(xiǎn)地西南方 向10 n mile處有一只貨船收到警報(bào)立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)漁船沿 南偏東75°，以9 n mile/h的速度向前航行，貨船以 21 n mile/h的航速前往營(yíng)救，并在最短時(shí)間內(nèi)與漁船靠近， 求貨船的位移.(其中cos 21°47= ),【解題探究】1.合力與每條繩的拉力有什么關(guān)系？ 2.貨船的位移指什么？ 【探究提示】1.合力為兩個(gè)拉力的和. 2.位移指貨船與漁船相遇時(shí)所經(jīng)過(guò)的路程和方向.,【自主解答】(1)選D.設(shè)兩拉力分別為F1和F2，則F1與F2的夾角為60°. 合力F合,則F合=F1+F2, 所以|F合|= = =,(2)如圖，設(shè)漁船在A處遇險(xiǎn)，貨船在B處發(fā)現(xiàn)漁船遇險(xiǎn)，兩船在C處相遇，所經(jīng)時(shí)間為t(h). 由已知，BAC=45°+75°=120°， 因?yàn)?所以 即 所以(21t)2=(9t)2-2×9t×10×cos 120°+100.,化簡(jiǎn)得36t2-9t-10=0, 即(3t-2)(12t+5)=0. 因?yàn)閠0，所以 所以 又 所以 即 所以36=196-2×14×10×cosABC+100.,由此解得cosABC= 所以ABC=21°47. 故貨船的位移是北偏東66°47，距離為14 n mile.,【方法技巧】向量解決物理問(wèn)題的步驟,【變式訓(xùn)練】某人騎車(chē)以每小時(shí)a千米的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來(lái)，而當(dāng)速度為每小時(shí)2a千米時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試求實(shí)際風(fēng)速和方向.,【解析】設(shè)a表示此人以每小時(shí)a千米的速度向東行駛的向量，無(wú)風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為-a， 設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v， 那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為v-a， 設(shè) 因?yàn)?所以 這就是感到由正北方向吹來(lái)的風(fēng)速， 因?yàn)?所以,于是當(dāng)此人的速度是原來(lái)的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來(lái)的 風(fēng)速就是 由題意：PBO=45°,PABO,BA=AO， 從而，POB為等腰直角三角形，所以PO=PB= 即：|v|= 所以實(shí)際風(fēng)速是每小時(shí) 千米的西北風(fēng).,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知兩個(gè)恒力F1=i+2j,F2=4i-5j，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，此質(zhì)點(diǎn)從A(20，15)移動(dòng)到B(7，0)，其中i,j分別是x軸，y軸正方向上的單位向量.試求： (1)F1,F2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功. (2)F1，F(xiàn)2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.,【解析】因?yàn)锳(20，15),B(7，0), 所以 =(7-20，0-15)=-13i-15j. 因?yàn)閕，j分別是x軸，y軸正方向上的單位向量. 所以i·j=0，i2=1,j2=1.,(1)F1對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功 W1= =(i+2j)·(-13i-15j) =-13i2-41i·j-30j2 =-13-30=-43. F2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功 W2= =(4i-5j)·(-13i-15j) =-52i2+5i·j+75j2=-52+75=23.,(2)因?yàn)镕=F1+F2=5i-3j, 所以F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功 W= =(5i-3j)·(-13i-15j) =-65i2-36i·j+45j2=-65+45=-20.,【易錯(cuò)誤區(qū)】應(yīng)用向量解決平面幾何問(wèn)題中的誤區(qū) 【典例】(2014·合肥高一檢測(cè))在ABC中， = 則ABC的形狀一定是( ) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形,【解析】選C.由 得 所以 所以 即,所以 所以 所以A=90°. 所以ABC是直角三角形.,【常見(jiàn)誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確將平面幾何中的邊角關(guān)系與向量的運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化 理解平面幾何中垂直、平行、邊長(zhǎng)、夾角等幾何關(guān)系與向量平行、垂直、模、夾角等概念與運(yùn)算間的關(guān)系，能正確將幾何關(guān)系與向量運(yùn)算結(jié)果之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，如本例中，由向量關(guān)系推得A=90°.,2.熟練掌握向量的有關(guān)概念與運(yùn)算 向量的有關(guān)概念與運(yùn)算是將幾何問(wèn)題向量化后求解的關(guān)鍵，若理解錯(cuò)誤，或運(yùn)用不當(dāng)都將造成失誤，如本例處.,【類(lèi)題試解】(2013·浙江高考)設(shè)ABC，P0是邊AB上一定 點(diǎn)，滿(mǎn)足P0B= AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有 則( ) A.ABC=90° B.BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC,【解析】選D.設(shè) (01)， 因?yàn)?所以 所以 即,當(dāng)1 時(shí)，+ 對(duì)1 恒成立，即 所以cos B 當(dāng)0 時(shí)，+ 恒成立， 所以cos B 綜上可得cos B= 又cos B= 所以 即AC=BC.,