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3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念,高二數(shù)學(xué) 選修1-1,1、平均變化率,一般的，函數(shù) 在區(qū)間上 的平均變化率為,一.復(fù)習(xí),其幾何意義是 表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。,在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s )存在函數(shù)關(guān)系h=-4.9t2+6.5t+10,,,,,求ｔ＝2時的瞬時速度？,,我們先考察ｔ＝2附近的情況。任取一個時刻2＋△ｔ，△ｔ是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0. 當(dāng)△ｔ＜0時，在2之前； 當(dāng)△ｔ＞0時，在2之后。,二.新授課學(xué)習(xí),當(dāng)△t = – 0.01時,,當(dāng)△t = 0.01時,,當(dāng)△t = – 0.001時,,當(dāng)△t =0.001時,,當(dāng)△t = –0.0001時,,當(dāng)△t =0.0001時,,△t = – 0.00001,,△t = 0.00001,,△t = – 0.000001,,△t =0.000001,,……,……,平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.,如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?,當(dāng)Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?,瞬時速度,在局部以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。,思考： ⑴如何求瞬時速度？,⑵lim是什么意思？,在其下面的條件下求右面的極限值。,⑶運動員在某一時刻ｔ0的瞬時速度如何表示?,１、函數(shù)的平均變化率怎么表示？,思考：,定義:,函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的瞬時變化率是,稱為函數(shù) y = f (x) 在 x = x0 處的導(dǎo)數(shù), 記作,或 , 即,導(dǎo)數(shù)的作用：,在例2中，高度h關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)是運動員的 瞬時速度；,在例1中，我們用的是平均膨脹率，那么半徑r關(guān)于體積v的導(dǎo)數(shù)是氣球的瞬時膨脹率,導(dǎo)數(shù)可以描繪任何事物的瞬時變化率,由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:,注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負. 自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇 哪種形式, Δy也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.,一差、二比、三極限,例1. (1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).,(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．,(3)質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點在t=3的瞬時速度.,三．典例分析,題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù),例1. (1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).,三．典例分析,題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù),例1.(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．,三．典例分析,題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù),例1.(3)質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點在t=3的瞬時速度.,三．典例分析,題型二：求函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù),例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù); (2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導(dǎo)數(shù).,練習(xí):,,計算第3（h）和第5（h）時，原油溫度的瞬時 變化率，并說明它們的意義。,這說明: 在第3小時附近，原油溫度大約以1的速率下降，在第5小時附近，原油溫度大約以3的速率上升。,練習(xí)：,小結(jié)：,1求物體運動的瞬時速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求極限,2由導(dǎo)數(shù)的定義可得求導(dǎo)數(shù)的一般步驟： （1）求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0) (2) 求平均變化率 （3）求極限,思考： 物體作自由落體運動,運動方程為： 其中位移單位是m,時間單位是s,g=10m/s2.求： (1) 物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度； (2) 物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度； (3) 物體在t=2(s)時的瞬時速度.,分析:,解:,(1)將 Δt=0.1代入上式，得:,(2)將 Δt=0.01代入上式，得:,