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3.2導數的幾何意義,高二數學 選修1-1,一、復習,1、導數的定義,其中：⑴,其幾何意義是 表示曲線上兩點連線（就是曲線的割線）的斜率。,其幾何意義是？,,2:切線,,能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。,,不能,直線與圓相切時，只有一個交點P,,,,,,P,Q,,,,o,x,y,y=f(x),,,,,,,割線,切線,T,,,1、曲線上一點的切線的定義,結論:當Q點無限逼近P點時,此時 直線PQ就是P點處的切線PT.,點P處的割線與切線存在什么關系？,新授,,,設曲線C是函數y=f(x)的圖象，,在曲線C上取一點P(x0,y0),及鄰近一,,點Q(x0+△x,y0+△y),,過P,Q兩點作割,線，,當點Q沿著曲線無限接近于點P,點P處的切線。,即△x→0時, 如果割線PQ有一個極,限位置PT, 那么直線PT叫做曲線在,曲線在某一點處的切線的定義,,,,,,,,T,此處切線定義與以前的定義有何不同？,,,x,y,o,,,,P,Q,M,,,,,為什么與拋物線對稱軸平行的直線不是拋物線的切線？,,思考：,,,,,,P,Pn,,,,,,切線,T,當點Pn沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.,,,,圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質。,,,,,,,,M,△x,,△y,,,割線與切線的斜率有何關系呢？,,,即：當△x→0時，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點P處的切線的斜率，,,,,,,,,,,,,,Q2,Q3,Q4,T,繼續(xù)觀察圖像的運動過程，還有什么發(fā)現？,,當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.,即:,這個概念:①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質——函數平均變化率的極限.,要注意,曲線在某點處的切線: 1)與該點的位置有關; 2)要根據割線是否有極限來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線; 3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.,函數 y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點P(x0 ,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y= f(x)在點P(x0 ,f(x0)) 處的切線的斜率是 .,故曲線y=f(x)在點P(x0 ,f(x0))處的切線方程是:,題型三：導數的幾何意義的應用,例1:（1）求函數y=3x2在點(1,3)處的導數.,,,,,,（2）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.,題型三：導數的幾何意義的應用,例2:如圖,已知曲線 ,求: (1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程.,即點P處的切線的斜率等于4.,(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,練：設f(x)為可導函數,且滿足條件 , 求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.,故所求的斜率為-2.,題型三：導數的幾何意義的應用,,,,,h,t,o,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3、判斷曲線y=2x2在點P(1,2)處是否有切線，如果有，求出切線的方程.,1、設函數y=f(x),當自變量由xo改變到xo+Δx時，函數的改變量Δy=( ) A、f(xo+ Δx) B、 f(xo)-f(Δx) C、 f(xo)+Δx D、 f(xo+Δx) - f(xo),2、已知曲線y=x2/2上A、B兩點的橫坐標是xo和xo+Δx，則過A、B兩點的直線斜率是（ ）,模式練習,二、函數的導數：,函數在點 處的導數 、導函數 、導數 之間的區(qū)別與聯系。 1）函數在一點 處的導數 ，就是在該點的函數的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數，不是變數。 2）函數的導數，是指某一區(qū)間內任意點x而言的， 就是函數f(x)的導函數 3）函數在點 處的導數 就是導函數 在 處的函數值，這也是 求函數在點 處的導數的方法之一。,,,,,課堂練習: 如圖（見課本P80.A6）已知函數的圖像，試畫出其導函數圖像的大致形狀。 P80.B2：根據下面的文字敘述，畫出相應的路程關于時間的函數圖像的大致形狀。 （1）汽車在筆直的公路上勻速行駛； （2）汽車在筆直的公路上不斷加速行駛； （3）汽車在筆直的公路上不斷減速行駛；,