§3 二倍角的三角函數(shù)(一),二倍角公式及其變形,sincos+cossin,2sincos,coscos-sinsin,2cos2-1,1-2sin2,1判一判 (正確的打“”，錯誤的打“×”) (1)sin 2=2sin .( ) (2)cos 2=sin2-cos2.( ) (3)tan 2= 對任意的都成立.( ) (4)sin2= ( ),【解析】(1)錯誤.因?yàn)閟in 2=2sin cos . (2)錯誤.因?yàn)閏os 2=cos2-sin2. (3)錯誤.因?yàn)?(kZ)時公式不成立. (4)錯誤.因?yàn)閟in2= 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)sin 15°cos 15°=_. (2)cos215°-sin215°=_. (3) =_.,【解析】(1)sin 15°cos 15°= sin 30°= 答案： (2)cos215°-sin215°=cos 30°= 答案： (3)原式= tan 45°= . 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識點(diǎn) 正弦、余弦、正切的二倍角公式 1.對二倍角中“倍”的說明 (1)“倍”具有廣泛的涵義.例如，2是的二倍角，同樣 地，4是2的二倍角，2n是2n-1的二倍角，是 的二 倍角，3是 的二倍角等. (2)在具體應(yīng)用中可先對角進(jìn)行觀察，尋求待求的角與已知角 之間的差異，再決定用哪種“倍”的關(guān)系.,2.二倍角的應(yīng)用 (1)直接應(yīng)用公式進(jìn)行升冪、配方、開方、求值化簡證明等運(yùn)算.,(2)變形應(yīng)用公式主要體現(xiàn)在化異角為同角、化異次為同次、 逆用公式等方面，其中二倍角的余弦公式最靈活.如：1+ cos 2=2cos2；cos2= 1-cos 2= 2sin2；sin2= 不僅僅是逆用，更重要的是體 現(xiàn)了冪指數(shù)的變化，其中是從一次冪向二次冪轉(zhuǎn)換，因此 把它們稱為升冪公式，則是從二次冪向一次冪轉(zhuǎn)換，因此 把它們稱為降冪公式.,【微思考】 (1)公式S2，C2，T2的適用范圍是否相同？ 提示：公式S2，C2中角可以是任意角，但公式T2只有當(dāng) k及 (kZ)時才成立，否則不成立 (2)逆用正弦、余弦、正切的二倍角公式的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是將待化簡的三角函數(shù)式化到公式右邊所滿足的結(jié) 構(gòu)，再逆用公式,【即時練】 求值：(1) =_. (2)12sin2750°=_. (3)tan 150°+ =_.,【解析】(1)原式= = 答案： (2)原式cos(2×750°)cos 1 500°cos(4×360° 60°)cos 60° . 答案：,(3)原式= = = 答案：,【題型示范】 類型一 用二倍角公式解決給值求值問題 【典例1】 (1)(2013·新課標(biāo)全國)已知sin 2= 則 =( ),(2)(2013·四川高考)設(shè)sin 2=-sin ， 則 tan 2的值是_ (3)已知 0x ，求 的值,【解題探究】1.題(1)中如何將 化簡? 2.題(2)中求tan 2的關(guān)鍵是什么? 3.題(3)中cos 2x， 如何用 -x的三角函數(shù)值表示?,【探究提示】1.利用降冪公式得 2.由已知求得tan 后用正切二倍角公式求解. 3.cos 2x=,【自主解答】(1)選A.因?yàn)?所以 選A. (2)根據(jù)題意sin 2=-sin ，可得2sin cos = sin ，可得cos = ，tan = ，所以tan 2 = 答案：,(3)因?yàn)閤 所以 又因?yàn)?所以 又cos 2x 所以原式,【延伸探究】把第(3)題的條件改為 x 求sin 4x. 【解析】因?yàn)?所以cos 2x .,因?yàn)閤 所以2x(，2)， 所以sin 2x 所以sin 4x2sin 2xcos 2x,【方法技巧】 1.用二倍角公式求解給值求值問題的常用策略 (1)當(dāng)已知和待求式含有三角函數(shù)的平方式時，需先降冪，再求解. (2)先探尋到已知和待求式中角的倍、單關(guān)系，再正用或逆用二倍角公式求解. (3)當(dāng)式子中涉及的角較多時，要探尋其間的關(guān)系，化異角為同角.,2. ±x與2x的關(guān)系 當(dāng)遇到 ±x這樣的角時可利用角的互余關(guān)系和誘導(dǎo)公式溝通 條件與結(jié)論,如cos 2x 類似這樣的變換還有：,【變式訓(xùn)練】(2014·江蘇高考)已知 (1)求 的值. (2)求 的值.,【解析】(1)由題意cos = 所以 = (2)sin 2=2sin cos = cos 2=2cos21= 所以 =,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知 (1)求tan 的值. (2)求 的值.,【解析】(1) = 解得tan = (2) =,類型二 利用二倍角公式化簡與證明 【典例2】 (1)設(shè)k+ ，kZ，求證： (2)(2014·西安高一檢測)已知函數(shù)f(x)=2asin x·cos x-2bsin2x+b(a,b為常數(shù)，且a0)的圖像過點(diǎn)(0,3)，且函數(shù)f(x)的最大值為2.求函數(shù)y=f(x)的解析式，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間.,【解題探究】 1.證明三角恒等式應(yīng)遵循什么樣的原則? 2.題(2)中如何將f(x)化為一個角的三角函數(shù)式. 【探究提示】 1.應(yīng)本著“異名化同名，復(fù)角化單角”的原則. 2.先逆用二倍角及降冪公式，再用輔助角公式.,【解析】(1)左邊= = = = =右邊. 所以,(2)f(x)=asin 2x+bcos 2x, 由f(0)= ,得b= . 又由 =2及a0,解得a=-1. 所以函數(shù)y=f(x)的解析式是f(x)=-sin 2x+ cos 2x = 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (kZ).,【方法技巧】 1.化簡三角函數(shù)式的策略 一般地，三角函數(shù)式的化簡要從減少角的種類，減少函數(shù)的種類，改變函數(shù)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)入手，通過切化弦、弦化切、異角化同角、高次降冪、分解因式、逆用公式等手段，使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡形式.,2.證明三角恒等式的原則與步驟 (1)觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜,就將兩端都化簡,即采用“兩頭湊”的思想. (2)證明恒等式的一般步驟是：先觀察,找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異,然后本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”、變換式子結(jié)構(gòu)“變量集中”等原則,設(shè)法消除差異,達(dá)到證明的目的.,【變式訓(xùn)練】求證： 【證明】要證 只需證,上式：左邊= = =右邊. 所以原等式成立.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡：sin3sin 3+cos3cos 3. 【解題指南】先利用變形公式sin2= 和cos2= 降冪，再整合化簡，注意公式的逆用和變形用.,【解析】原式=sin2sin sin 3+cos2cos cos 3 = sin sin 3+ cos cos 3 = (cos cos 3+sin sin 3)+ cos 2· (cos 3cos -sin 3sin ) = cos(-3)+ cos 2cos(3+) = cos 2+ cos 2cos 4 = cos 2(1+cos 4) = cos 2·2cos22 =cos32.,拓展類型 利用對偶式化簡求值 【備選例題】 1.計算：cos 72°cos 36°=_. 2.計算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=_.,【解析】1.方法一：cos 72°cos 36° = = = 方法二：令x=cos 72°cos 36°，y=sin 72°sin 36°， 則xy=sin 72°cos 72°sin 36°cos 36° = sin 144°sin 72°, 故 答案：,2.因?yàn)閟in 10°cos 80°,sin 50°cos 40°, sin 70°cos 20°， 所以原式 cos 80°cos 40°cos 20°,答案：,【方法技巧】 1.對偶式的概念 在三角學(xué)上，如果把某個三角式中的角的位置轉(zhuǎn)化為同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的對偶式.這兩個式子互為對偶式. 2.對偶式的應(yīng)用 在化簡求值或證明一些三角問題時，如果能靈活地運(yùn)用對偶的數(shù)學(xué)思想，合理地構(gòu)造出對偶式，并對原式和對偶式進(jìn)行和、差或積的計算，則可以使問題得到巧妙解決.,【易錯誤區(qū)】利用二倍角公式及其變形求值過程中忽視角的范 圍致誤 【典例】(2014·榆林高一檢測)已知sin(2-)= sin = 則sin =_.,【解析】因?yàn)?所以22,0- , 所以2- . 由 得22- ， 所以cos(2-)= 因?yàn)? 0， 由sin = 得cos =,所以cos 2=cos (2-)+ =cos(2-)·cos -sin(2-)·sin = 由cos 21-2sin2,得sin2 又 ，所以sin = 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.審題問題 已知條件角度的認(rèn)識不到位，不能夠結(jié)合三角函數(shù)值的符號， 將已知角的范圍進(jìn)一步縮小，在本例中求得sin(2-)= 0,可以將2-的角度進(jìn)行再縮小，得22- 就可以輕松求解其余弦.,2.技巧問題 熟練將所求角與已知角聯(lián)系，建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.本例 在求解過程中要求cos 2，所以需要構(gòu)造角度，即cos 2= cos (2-)+，這需要結(jié)合已知條件進(jìn)行分析求解.,【類題試解】sin +cos = 0，則sin 2= _，cos 2=_. 【解析】sin +cos = ,0，則 又sin +cos = 兩邊平方得1+sin 2= , sin 2= 因?yàn)? 所以cos 2= 答案：,