函數(shù)的單調(diào)性與極值,一、函數(shù)的單調(diào)性,二、函數(shù)的極值,三、函數(shù)的最值,一、函數(shù)的單調(diào)性,從幾何圖形上來(lái)分析,可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性可以用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定。,同樣，當(dāng) 時(shí)，曲線(xiàn)在 內(nèi)是下降。,我們有如下定理：,注意：,（1）將定理中的閉區(qū)間 換成其他各種區(qū) 間定理的結(jié)論仍成立。,考察函數(shù),考察函數(shù),例1 判定函數(shù) 的單調(diào)性。,解 的定義域是 。,例2 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。,解 的定義域是,令 ，得 ，,它們將定義域,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)， 。,所以 的單調(diào)增加區(qū)間是 和 ；單 調(diào)遞減區(qū)間是,例3 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。,解 的定義域是,分成三個(gè)區(qū)間,令 ，得 ，又 處導(dǎo)數(shù)不存在，,， 這兩點(diǎn)將 分成三個(gè)區(qū)間，,列表分析 在各個(gè)區(qū)間的符號(hào)：,二、函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，,1 定義,函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，極大值點(diǎn)和,極小致點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。,注意：極值是局部性的。因而，函數(shù)可以有許多個(gè)極大值和極小值，并且極大值不一定大于極小值。,2 極值存在的必要條件和充分條件,定理2指出：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。,使 的點(diǎn) 稱(chēng)為函數(shù) 得駐點(diǎn)。,反過(guò)來(lái)，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。,考察函數(shù),另一方面，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。,考察函數(shù),定理3（極值的第一充分條件） 設(shè)函數(shù),在點(diǎn) 連續(xù)，且在點(diǎn) 的某一空心鄰域,內(nèi)可導(dǎo)。,例4 求函數(shù) 的極值。,解 的定義域是,令 ，得駐點(diǎn) 。,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)， 。,在 處取得極小值,例5 求函數(shù) 的極值。,令 ，得駐點(diǎn) ，而 時(shí) 不存在。,由定理3知， 在 處取得極大值 。,因此函數(shù)只可能在這兩點(diǎn)取得極值，列表討論如下：,不存在,函數(shù) 的圖形如圖,函數(shù)在駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，還可以用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)是否有極值。,（1）如果 ，則 在 取得極大值；,（2）如果 ，則 在 取得極小值。,例6 求函數(shù) 的極值。,解 的定義域是,令 ，得到兩個(gè)駐點(diǎn) 。,為函數(shù) 的極小值。,又,函數(shù)的極值是局部性概念，而最值是一個(gè)全局性概念。,注意下述三種情況：,（1）如果 在 上是單調(diào)函數(shù)；,三、函數(shù)的最值,1 閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù),解,解 如圖設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則盒底的邊長(zhǎng)為,令 ，得 （舍去）。又,所以函數(shù) 在 處取得唯一極大值，此極大值就是 最大值。因此，當(dāng)截去的正方形的邊長(zhǎng)等于所給正方 形鐵皮邊長(zhǎng)的 時(shí)，所做的方盒容積最大。,方盒的容積為：,解 如圖，設(shè)容器的底面半徑為 ，高為 ，,則表面積為,所以,得駐點(diǎn),由已知,得,故,所以，所做容器的高和底直徑相等時(shí)，所用材料最省。,S有唯一駐點(diǎn)，而實(shí)際容器存在最小表面積，因 此求得的駐點(diǎn)為最小值點(diǎn)，此時(shí),解 設(shè) , 則,解 利潤(rùn)為,令 ，得駐點(diǎn) 。,的唯一極大值點(diǎn)，于是 （萬(wàn)元）是最大值，,即每年生產(chǎn)400臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為5萬(wàn)元。,因?yàn)?，所以 是函數(shù),