第三章 三角恒等變形 §1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,sin2+cos2=1,1.判一判 (正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)對(duì)任意角， 都成立.( ) (2)對(duì)任意角，sin 2+cos 2=1都成立.( ) (3)對(duì)任意角， 都成立.( ) (4)對(duì)任意角，sin2+cos2=1都成立.( ),【解析】(1)正確.當(dāng)R時(shí)， 都成立. (2)錯(cuò)誤.當(dāng)R時(shí)，sin 2與sin2的含義不同，且當(dāng)為 角度制時(shí)2無意義，即sin 2無意義. (3)錯(cuò)誤,當(dāng)2k+ ,kZ，即 kZ時(shí)，才成 立. (4)錯(cuò)誤,必須是對(duì)同一個(gè)角. 答案：(1) (2)× (3)× (4)×,2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)sin225°+cos225°=_. (2) =_. (3) =_. (4)tan 135°·cos 135°=_.,【解析】(1)sin225°+cos225°=1. 答案：1 (2) 答案: (3) 答案：,(4)tan 135°·cos 135°= ·cos 135°=sin 135° =sin(180°-45°)=sin 45°= 答案：,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 同角三角函數(shù)基本關(guān)系 1.適用的前提條件 必須在等式兩邊的角均有意義的前提下才能使用，如式子 不成立.,2.對(duì)“同角”的理解 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù) 的運(yùn)算規(guī)律，這里，“同角”有兩層含義:一是“角相同”如 與 ,2與2都是同角,二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù) 有意義的前提下).關(guān)系式成立與角的表達(dá)形式無關(guān),如 3.應(yīng)用平方關(guān)系的注意點(diǎn) 在應(yīng)用平方關(guān)系式求sin 或cos 時(shí),其正負(fù)號(hào)是由角所 在的象限決定的,不可憑空想象.,4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系的常用等價(jià)變形 (1)sin2=1-cos2,cos2=1-sin2. (2)sin =cos tan , (3) (4),【微思考】 (1)利用平方關(guān)系求sin 或cos 是否會(huì)得到正負(fù)兩個(gè)值？請(qǐng)說明理由. 提示：不一定，其正負(fù)號(hào)由角所在的象限決定. (2)由tan 的值求sin 與cos 的關(guān)鍵是什么？ 提示：由商數(shù)關(guān)系與平方關(guān)系構(gòu)造關(guān)于sin 與cos 的方程組求解.,【即時(shí)練】 1.(2014·南昌高一檢測(cè))已知sin = 且為第二象限的 角，則tan =( ) 2.已知tan =2，求cos 的值,【解析】1.選A.因?yàn)闉榈诙笙薜慕牵?所以,2.由tan 2知 sin =2cos ，則sin2=4cos2.又因?yàn)閟in2+cos2=1， 所以4cos2+cos2=1，即cos2= 又tan =20,是第一或第三象限的角, 若是第一象限的角，則cos 0, 所以cos =,若是第三象限的角，則cos = 綜上可知：若是第一象限的角，則cos = 若是第三象限的角，則cos =,【題型示范】 類型一 利用同角關(guān)系求三角函數(shù)式的值 【典例1】 (1)已知cos sin = 則cos -sin 的值等于( ) (2)(2014·天津高一檢測(cè))已知tan = 計(jì)算:,【解題探究】1.題(1)中cos -sin 與cos sin 之間的關(guān)系是什么？ 2.題(2)中所求的式子能否轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的式子，方法是什么？ 【探究提示】 1.(cos -sin )2=1-2cos sin . 2.能轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的式子，方法是分子、分母同時(shí)除以cos 或cos2.,【自主解答】(1)選B.因?yàn)閏os sin = 所以cos -sin = (2) =,【延伸探究】若題(2)中“ ”，則 tan 的值如何？ 【解析】因?yàn)?= 由已知得 即tan2-2tan =0. 解得tan =0或2. 經(jīng)檢驗(yàn)知，均符合要求，所以tan =0或2.,【方法技巧】 1.關(guān)于sin ，cos 的齊次式的求值策略 (1)關(guān)于sin ，cos 的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sin ，cos 的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子，分母同除以cos 的n次冪，其式子可化為關(guān)于tan 的式子，再代入求值. (2)若無分母時(shí)，把分母看作1，并將1用sin2+cos2來代換，將分子、分母同除以cos2，可化為關(guān)于tan 的式子，再代入求值.,2.利用sin ±cos 與sin cos 間的關(guān)系求值 (sin +cos )2=1+2sin cos ; (sin -cos )2=1-2sin cos . 對(duì)sin -cos ,sin +cos ,sin cos 可以“知一求二”.,【變式訓(xùn)練】已知sin +cos = (0), 求sin ·cos 和sin -cos 的值. 【解析】因?yàn)閟in +cos = (0), 所以(sin +cos )2= 即sin2+2sin cos +cos2= 所以sin cos =,由上知，為第二象限的角， 所以sin -cos 0, 所以sin -cos = =,【誤區(qū)警示】本題解題時(shí)易忽視sin cos 0,sin - cos 的符號(hào)為正，而誤為應(yīng)取正負(fù)，從而造成錯(cuò)解.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知tan + =3，求tan2+(sin - cos )2+ 的值. 【解析】由 即 所以sin ·cos = 所以原式= -2+(1-2sin cos )=32-2+1-,類型二 利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式 【典例2】 (1)(2014·安慶高一檢測(cè))函數(shù) ( ) A.在 上遞增 B.在 上遞增，在 上遞減 C.在 上遞減 D.在 上遞減，在 上遞增,(2)化簡(jiǎn)下列各式. (2014·西安高一檢測(cè)) 其中為第三 象限角.,【解題探究】1.題(1)中研究函數(shù)f(x)的單調(diào)性關(guān)鍵是什么？ 2.化簡(jiǎn)含有弦、切及根號(hào)的三角函數(shù)式的一般思路是什么？ 【探究提示】1.關(guān)鍵是將f(x)化簡(jiǎn)到tan x的形式. 2.一般思路是切化弦,做到函數(shù)名稱統(tǒng)一及根據(jù)平方關(guān)系去掉根號(hào)，再化簡(jiǎn).,【自主解答】(1)選D.在區(qū)間 上，f(x)= 所以其在 上遞增，在 上遞減.,(2) 因?yàn)闉榈谌笙藿?，所?1sin 0,-1cos 0，1+sin 0,1-sin 0. 則,【方法技巧】三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的三種常用技巧 (1)化切為弦,即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的. (2)對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的. (3)對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2+cos2=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.,【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)： =_. 【解題指南】把1-2sin 10°cos 10°配湊成(cos 10°- sin 10°)2即可開方. 【解析】 答案:-1,【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡(jiǎn)：cos4+sin2(1+cos2). 【解析】原式=cos4+sin2cos2+sin2 =cos2(cos2+sin2)+sin2 =cos2+sin2=1.,類型三 利用同角關(guān)系證明三角恒等式 【典例3】 (1)求證： (2)(2013·安康高一檢測(cè))求證： 【解題探究】1.題(1)中，sin ,cos 與tan 共存，一般用到哪個(gè)關(guān)系式？ 2.對(duì)于題(2)，左右兩邊差異是什么？如何消除差異？,【探究提示】 1.一般會(huì)用到 2.差異有兩點(diǎn)，一是函數(shù)名稱，二是式子形式，可通過切化弦或者弦化切來消除差異.,【自主解答】(1)左邊= = = =右邊， 所以原式成立.,(2)方法一：右邊= = = =3-2cos2=左邊， 所以原式得證.,方法二：左邊= = =右邊， 所以原式得證.,【方法技巧】 1.利用同角關(guān)系證明三角恒等式常用的途徑 (1)由左邊推至右邊，或由右邊推至左邊，遵循的是化繁為簡(jiǎn) 的原則. (2)兩邊夾法，即左邊=A，右邊=A，則左邊=右邊，這里的A起 著橋梁的作用. (3)左邊-右邊=0，或 =1，通過作差或作商，將原式轉(zhuǎn)化 為一個(gè)等價(jià)的、更便于證明的等式.,2.證明過程中的三個(gè)注意 (1)注意化繁為簡(jiǎn)，化切為弦. (2)注意公式的變式運(yùn)用.如1±2sin cos =(sin ± cos )2等. (3)注意為分式運(yùn)算時(shí)，要把握通分的時(shí)機(jī)，不要隨意通分，爭(zhēng)取在變式化簡(jiǎn)時(shí)往同分母的方向化簡(jiǎn).,【變式訓(xùn)練】求證： 【解題指南】由于等式兩邊的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，可考慮分別將等式 兩邊化簡(jiǎn)，利用“兩邊夾法”證明.,【證明】左邊= 右邊= 左邊=右邊，原式得證.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sin2A+cos2Asin2Bcos2C=sin2B.求證：tan2A=sin2Ctan2B. 【證明】由已知sin2A+cos2A·sin2B·cos2C=sin2B， 則sin2A+cos2Asin2B(1-sin2C)=sin2B， 所以sin2A+cos2Asin2B-cos2A·sin2B·sin2C=sin2B， cos2Asin2B·sin2C=sin2A-sin2B(1-cos2A)， 即：cos2A·sin2B·sin2C=sin2A·cos2B， 兩邊同除以cos2A·cos2B得 tan2A=sin2C·tan2B.,【易錯(cuò)誤區(qū)】忽視角的范圍定錯(cuò)符號(hào)而致誤 【典例】(2014·合肥高一檢測(cè))已知sin +cos = (0，)，則tan =_.,【解析】將等式sin +cos = 兩邊平方，得2sincos = 0,又因?yàn)?0,)，所以sin 0,cos 0， 可得1-2sin cos = sin2+cos2-2sin cos = 所以(sin -cos )2= 即sin -cos = 由sin +cos = 和sin -cos = 解得,所以 答案：,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.挖掘好題設(shè)條件，限制準(zhǔn)角的范圍 對(duì)題目的條件要認(rèn)真分析，找出隱含條件，根據(jù)所給角的范圍結(jié)合函數(shù)值正負(fù)，壓縮角的范圍是定準(zhǔn)符號(hào)的關(guān)鍵. 2.公式要記牢，運(yùn)算要準(zhǔn)確 要掌握好同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，能熟練地進(jìn)行平方關(guān)系的轉(zhuǎn)換，及利用商數(shù)關(guān)系求正切.,【類題試解】已知sin +cos = 其中0,則 sin -cos =_. 【解析】因?yàn)閟in +cos = 所以(sin +cos )2= 所以1+2sin cos = 所以sin cos = 因?yàn)?且sin cos 0,所以sin 0,cos 0, 所以sin -cos 0. 又因?yàn)?sin -cos )2=1-2sin cos = 所以sin - cos = 答案：,