§2 兩角和與差的三角函數(shù) 2.1 兩角差的余弦函數(shù) 2.2 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù),兩角和與差的正弦、余弦函數(shù),sin cos -cos sin ,cos cos +sin sin ,sin cos +cos sin ,cos cos -sin sin ,1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“×”) (1)兩角和與差的正弦，余弦公式中角，是任意的.( ) (2)存在實數(shù),，使cos(+)=cos -cos 成立.( ) (3)cos(-)=cos cos -sin sin .( ) (4)sin(+)=sin +sin 一定不成立.( ),【解析】(1)正確.對于任意的，公式都成立. (2)正確.當(dāng)= 時成立. (3)錯誤.cos(-)=cos cos +sin sin . (4)錯誤.當(dāng)=0,R，或者R,=0時成立. 答案：(1) (2) (3)× (4)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°=_. (2)sin 56°cos 34°+cos 56°sin 34°=_. (3) =_. (4) =_.,【解析】(1)原式=cos(65°-35°)=cos 30°= 答案： (2)原式=sin(56°+34°)=sin 90°=1. 答案：1,(3)原式= = = = 答案： (4)原式= 答案：0,【要點探究】 知識點 兩角和與差的正弦、余弦公式 1.公式的記憶 (1)對于兩角和與差的余弦公式C±可以簡記為：“余余正正，和差相反”. (2)對于兩角和與差的正弦公式S±可以簡記為：“正余余正，和差相同”.,2.公式的適用條件 公式中的，不僅可以是任意具體的角，也可以是一個“團 體”，如 中的“ ”相當(dāng)于公式中的角 “”，“ ”相當(dāng)于公式中的角“”.因此對公式的 理解要注意結(jié)構(gòu)形式，而不要局限于具體的角.,3.公式的作用 (1)正用：把sin(±),cos(±)從左向右展開. (2)逆用：公式的右邊化簡成左邊的形式.當(dāng)結(jié)構(gòu)不具備條件時，要用相關(guān)公式調(diào)節(jié)后再逆用. (3)變形應(yīng)用：它涉及兩個方面，一是公式本身的變用；二是角的變用，也稱為角的拆分變換，如=(+)-，2=(+)+(-).,【知識拓展】輔助角公式及其運用 公式asin +bcos = sin(+)(或asin + bcos = cos(-)將形如asin +bcos (a,b不 同時為零)的三角函數(shù)式收縮為一個角的一種三角函數(shù)式，這 樣做有利于三角函數(shù)式的化簡，更是研究三角函數(shù)性質(zhì)的常用 工具. 化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形 后角的系數(shù)為正，更有利于函數(shù)的性質(zhì)的研究.,【微思考】 (1)兩角和與差的正弦、余弦公式與誘導(dǎo)公式有什么關(guān)系？ 提示：和差角公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差角公式 的特例.如sin (2-)=sin 2cos -cos 2sin =0× cos -1×sin =-sin .當(dāng)或中有一個角是 的整數(shù) 倍時，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便. (2)逆用公式的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是利用相關(guān)三角變換公式使其滿足公式右邊的結(jié)構(gòu) 特征.,【即時練】 1. =( ) 2.計算：cos 165°=_. 3.計算：(1)sin(+30°)cos +cos (+30°)sin (-). (2)sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°.,【解析】1.選B. = = = 2.cos 165°=cos(45°+120°)= cos 45°cos 120°-sin 45°sin 120° = 答案：,3.(1)sin(+30°)cos +cos (+30°)sin(-) =sin(+30°)cos(-)+cos (+30°)sin (-) =sin(+30°-)=sin 30°= (2)原式=sin(360°-13°)cos(180°-32°)+ sin(90°-13°)cos(90°-32°) =sin 13°cos 32°+cos 13°sin 32° =sin(13°+32°)=sin 45°=,【題型示范】 類型一 給值(式)求值 【典例1】 (1)(2014·天津高一檢測)若是銳角, 則cos 的值等于( ) (2)(2014·西安高一檢測)已知， sin(+) = 求 的值.,【解題探究】1.題(1)中如何用- 表示？ 2.題(2)中角+ 與已知+,- 兩角有什么關(guān)系? 【探究提示】1.= 2.,【自主解答】(1)選A.因為為銳角，即0 所以 又因為 所以 所以 = =,(2)因為， 所以 +2, 又因為 所以cos(+)= 所以 =,【延伸探究】若題(2)的條件不變，如何求cos 的值? 【解析】由題(2)解析知 又 所以 所以 =,【方法技巧】給值(式)求值的策略 (1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已 知角”的和或差的形式. (2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已 知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成 “已知角”. 如已知角 -的相關(guān)三角函數(shù)值，那么要求角 +的三角 函數(shù)值，就可以利用 變換得到.,(3)角的拆分方法不唯一. 如=(+)-,=-(-),=(2-)-(-), = (+)+(-),= (+)-(-)等. 至于運用哪種拆分方法，要根據(jù)題目合理選擇.,【變式訓(xùn)練】(2014·廣東高考)已知函數(shù)f(x)= 且 (1)求A的值. (2)若 【解題指南】第(1)問屬于給角求值問題，第(2)問則可利用兩 角和與差的正弦公式、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系求解.,【解析】(1)由 可得 (2)f()+f()= 則 因為 所以 =,【補償訓(xùn)練】(2013·亳州高一檢測)若sin -sin = cos -cos = 則cos(-)的值是( ) 【解析】選B.因為sin -sin = cos -cos 所以(sin -sin )2+(cos -cos )2= 所以2-2(cos cos +sin sin )=2- 所以cos cos +sin sin = 即cos (-)=,類型二 知值求角 【典例2】 (1)(2014·漢中高一檢測)已知，均為銳角，sin = cos = 則-的值為_. (2)已知cos(-)= cos(+)= 且- + 求cos 2，cos 2及角的值.,【解題探究】1.題(1)中求-的值的思路是什么？ 2.題(2)中，如何用已知角表示待求角？ 【探究提示】 1.先求出sin(-)或cos(-)，再由條件確定-的范圍，從而求得-. 2.2=(-)+(+)， 2=(+)-(-).,【自主解答】(1)因為，均為銳角， 所以 因為sin sin ,所以， 所以- -0, 所以sin(-)=sin cos -cos sin = 所以-= - . 答案：-,(2)由- 且cos(-)= 得sin(-)= 由+ 且cos(+)= 得sin(+)= 所以cos 2=cos(+)+(-) =cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-),cos 2=cos (+)-(-) =cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-) 又因為 所以2=，則= .,【方法技巧】 1.知值求角的步驟 (1)首先考慮界定角的范圍.根據(jù)條件確定所求角的范圍.有時 需要根據(jù)已知條件把角度的范圍縮小. (2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在上述范 圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).如角的范圍是0，時取余弦更方便 些；而角的范圍是 時，則取正弦更方便. (3)求角.結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.,2.知值求角的注意點 一是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù). 二是要注意盡量用已知角表示待求角.,【變式訓(xùn)練】若sin = cos(+)= 且，是 銳角，則=_ . 【解題】指南】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求出cos = sin(+ )= 由cos =cos(+)- =cos(+)cos +sin (+)sin ,進而求出結(jié)果.,【解析】由sin = cos(+)= 且，是銳 角，求得cos = sin(+ )= 所以cos =cos(+)-=cos(+)cos + sin (+)sin = ，所以= . 答案:,【補償訓(xùn)練】已知a=(cos ,sin )，b=(cos ,sin ),0 ，且a·b= ，求證：= +. 【證明】a·b=cos cos +sin sin =cos(-)= , 又0 ，所以0- , 所以-= ，即= +.,類型三 輔助角公式的應(yīng)用 【典例3】 (1) 的值是( ) (2)(2014·濟南高一檢測)函數(shù)f(x)=(1+ tan x)·cos x的 最小正周期為( ),【解題探究】1.如何將asin +bcos 轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€角的三角 函數(shù)式？ 2.求f(x)的最小正周期的關(guān)鍵是什么？ 【解題提示】1.方法是提取 ，增設(shè)輔助角，逆用 S±與C±公式，特別注意角的范圍對三角函數(shù)值的影響， 如acos +bsin = sin(+)，其中tan = 2.關(guān)鍵是利用三角變換公式將f(x)化成Asin(x+)的形式.,【自主解答】(1)選A. = (2)選A.f(x)= = = 所以最小正周期T= =2.,【延伸探究】若題(2)中函數(shù)f(x)變?yōu)椤癴(x)= ”，則最小正周期如何？ 【解析】f(x)= = = 所以最小正周期,【方法技巧】asin x+bcos x的化簡步驟 (1)提常數(shù)，即把asin x+bcos x提出 得到 (2)定角度，由 我們不妨設(shè)cos = 則得到 (cos sin x+ sin cos x). (3)化簡，逆用兩角和的正弦公式可得asin x+bcos x= sin(x+).,【變式訓(xùn)練】化簡：(tan 10° )· _. 【解題指南】把 化成tan 60°，同時化切為弦.,【解析】(tan 10° )· (tan 10°tan 60°)· 答案：-2,【補償訓(xùn)練】(2013·蚌埠高一檢測)已知函數(shù)f(x)= +1- (xR). (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期. (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.,【解析】(1)由f(x)= = = 所以最小正周期T= =.,(2)當(dāng)f(x)取最大值時， 有2x- =2k+ ，即 x=k+ (kZ). 故當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合為 x|x=k+ (kZ).,【易錯誤區(qū)】求角過程中因選擇三角函數(shù)不當(dāng)或用錯公式而致 誤 【典例】(2014·西安高一檢測)設(shè)，為鈍角，且sin = 則+的值為( ),【解析】選C.由，為鈍角，即， 且 得 所以 cos(+)=cos cos -sin sin = 又， 所以+(，2), 因此+=,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.準(zhǔn)確選擇三角函數(shù) 求角的題目往往先求角的一個三角函數(shù)值，選擇求哪個三角函 數(shù)值非常重要，要先根據(jù)已知條件確定角的范圍，選擇不當(dāng)會 產(chǎn)生增根,如本例如果選擇正弦就會出現(xiàn)增根 2.正確利用公式準(zhǔn)確進行運算 確定好三角函數(shù)后，要正確利用公式進行化簡和計算，如本例 要正確利用兩角和的余弦公式求得cos(+)的值.,【類題試解】(2013·新余高一檢測)已知0 ，sin = cos(-)= 則的值為_. 【解析】因為0 ,sin = 所以cos = 因為cos(-)= 又 ,所以- , -(-，0)， 所以sin(-)= 所以cos =cos-(-)=cos cos(-)+ sin sin(-)= 所以 答案：,