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成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修3,概 率,第三章,§2 古典概型,第三章,2.1 古典概型的特征和概率計(jì)算公式 2.2 建立概率模型,齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)各出上等、中等、下等三匹馬分別進(jìn)行一場(chǎng)比賽，勝兩場(chǎng)以上(含兩場(chǎng))即為獲勝．如齊王知道田忌的馬的出場(chǎng)順序，他獲勝的概率是多大？如田忌知道齊王的馬的出場(chǎng)順序，他能獲勝嗎？如雙方均不知對(duì)方馬的出場(chǎng)順序，你能探求田忌獲勝的概率嗎？,1．古典概型 (1)定義：如果一個(gè)試驗(yàn)滿足如下兩個(gè)特征： ①有限性：試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有________個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)________________； ②等可能性：每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的____________． 我們把具有這樣兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概型(古典的概率模型)．,有限,其中的一個(gè)結(jié)果,可能性相同,(2)計(jì)算公式 對(duì)于古典概型，通常試驗(yàn)中的某一事件A是由幾個(gè)__________組成．如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(基本事件)數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為：P(A)＝________.,基本事件,2．建立概率模型 (1)一般來(lái)說(shuō)，在建立概率模型時(shí)，把什么看成一個(gè)基本事件(即一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果)是人為規(guī)定的．我們只要求：每次試驗(yàn)有一個(gè)并且只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)．只要基本事件的個(gè)數(shù)是________，并且它們的發(fā)生是________的，那么這種概率模型就是古典概型．,有限的,等可能,(2)對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以根據(jù)需要，建立滿足我們要求的__________． (3)我們從不同的角度去考慮一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同的古典概型來(lái)解決，而所得到的古典概型的所有可能結(jié)果數(shù)________，問(wèn)題的解決就變得越簡(jiǎn)單．,概率模型,越少,1．下列事件屬于古典概型的是( ) A．任意拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件 B．籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，觀察他是否投中 C．測(cè)量某天12時(shí)教室內(nèi)的溫度 D．一先一后拋擲兩枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況 [答案] D,2．一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則基本事件空間Ω是( ) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) [答案] C [解析] 由于兩個(gè)小孩有先后出生之分，應(yīng)有4種結(jié)果，故選C.,[答案] A,4．將一粒骰子拋擲一次，得到奇數(shù)的概率是________．,5．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________．,[思路分析] 由題目可獲取以下主要信息：口袋內(nèi)4個(gè)球是有區(qū)別的，摸出其中任意兩個(gè)球都是一種結(jié)果，然后把各種情況一一列舉出來(lái)．,基本事件的個(gè)數(shù)判斷,[規(guī)范解答] (1)共有6種不同結(jié)果，分別為{黑1，黑2}、{黑1，黑3}、{黑2，黑3}、{白，黑1}、{白，黑2}、{白，黑3}． (2)從上面所有結(jié)果可看出摸出2個(gè)黑球的結(jié)果有3種． [規(guī)律總結(jié)] 基本事件數(shù)的探求方法：①列舉法，此法適合于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)．②樹(shù)形圖法：樹(shù)形圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的探求．,袋中有大小、形狀相同的紅球、黑球各一個(gè)，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球． (1)寫(xiě)出該試驗(yàn)的基本事件及基本事件總數(shù)； (2)寫(xiě)出“取出的三球是二紅一黑”這一事件包含的基本事件．,[解析] (1)由題意所有可能的基本事件有：(紅、紅、紅)、(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(紅、黑、黑)、(黑、紅、紅)、(黑、紅、黑)、(黑、黑、紅)、(黑、黑、黑)．共有8個(gè)基本事件． (2)“取出的三球是二紅一黑”這一事件包括(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(黑、紅、紅)共3個(gè)基本事件.,古典概型的判斷,[思路分析] 由題目可獲取以下主要信息：①袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球．②每球有一個(gè)區(qū)別于其他球的編號(hào)，現(xiàn)從中摸一球．解答本題可先確立概率模型以及它是由哪些基本事件所構(gòu)成，然后再判斷該模型是否滿足古典概型的特點(diǎn)，進(jìn)而確定是否為古典概型． [規(guī)范解答] (1)由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)．故共有11種不同的摸法，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本事件的概率模型為古典概型．,[規(guī)律總結(jié)] 針對(duì)這個(gè)類(lèi)型的題目，首先看這個(gè)概率模型是由哪些基本事件所構(gòu)成的，然后再研究這些基本事件的個(gè)數(shù)是否有限，出現(xiàn)的可能性是否相等．另外需注意的是基本事件的選擇不同，結(jié)果可能有所不同．,一個(gè)袋子中裝有12個(gè)大小相同的球，其中4個(gè)黑球，8個(gè)白球，從中隨機(jī)取一個(gè)球，求這個(gè)球是黑球的概率．這樣的問(wèn)題可以用古典概型來(lái)處理嗎？給出你的理由． [解析] 可以． 根據(jù)古典概型的兩個(gè)基本特征； (1)可能摸出的球的結(jié)果只有12個(gè)，即12個(gè)球中的任意一個(gè)； (2)每個(gè)球被摸到的可能性是相同的．所以可以用古典概型來(lái)處理.,古典概型的概率求法,[規(guī)律總結(jié)] (1)列舉法可以使我們明確基本事件的構(gòu)成，該法適合于基本事件的個(gè)數(shù)比較少的情況． (2)列舉時(shí)要按規(guī)律進(jìn)行，通常采用分類(lèi)方法列舉，這樣可以避免重復(fù)或遺漏．,把一粒骰子拋6次，設(shè)正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x. (1)求出x的可能取值情況(即全體基本事件)． (2)下列事件由哪些基本事件組成(用x的取值回答)． ①x的取值為2的倍數(shù)(記為事件A)； ②x的取值大于3(記為事件B)； ③x的取值不超過(guò)2(記為事件C)； ④x的取值是質(zhì)數(shù)(記為事件D)． (3)判斷上述事件是否為古典概型，并求出其概率．,[思路分析] 可以用列表法列出所有可能的結(jié)果，再用古典概型概率計(jì)算公式求解．,[規(guī)范解答] 把兩枚骰子分別記為A，B，則點(diǎn)數(shù)和的可能的情況如下表所示：,(3)先后拋擲兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)情況如下表所示：,[規(guī)律總結(jié)] 在求概率時(shí)，通常把全體基本事件用列表或直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，以方便我們更直接、更準(zhǔn)確地找出某個(gè)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，然后再根據(jù)古典概型的概率公式求相應(yīng)的概率．,甲、乙兩人用如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)做游戲，轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)各一次． (1)若兩次數(shù)字之差的絕對(duì)值為0,1或2，則甲勝，否則乙勝； (2)若兩次數(shù)字之和是2的倍數(shù)，則甲勝，而若兩次數(shù)字之和是3的倍數(shù)或5的倍數(shù)，則乙勝．分別求出兩個(gè)游戲中甲、乙獲勝的概率．,,[思路分析] 讀懂題意，研究是否為古典概型，列出所有可能情況．,[規(guī)范解答] 甲同學(xué)的勝負(fù)情況畫(huà)樹(shù)狀圖如下：,,[規(guī)律總結(jié)] 畫(huà)出樹(shù)狀圖，用列舉法表示等可能的有限個(gè)試驗(yàn)結(jié)果，可以直觀地理解題意，尋找解題思路．,[辨析] 錯(cuò)誤的原因是重復(fù)計(jì)算了試驗(yàn)所在結(jié)果總數(shù)．其實(shí)，從5臺(tái)中任取2臺(tái)，按順序(x，y)記錄結(jié)果，x有5種可能，y有4種可能，但(x，y)和(y，x)是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果應(yīng)是5×4÷2＝10(種)．,[規(guī)律總結(jié)] 在應(yīng)用概率計(jì)算公式時(shí)，m，n求法應(yīng)注意，要做到不重不漏，分類(lèi)恰當(dāng)，最有效方法是列舉法．,