成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,圓錐曲線與方程,第三章,3.4 曲線與方程 第1課時 曲線與方程、圓錐曲線的共同特征,第三章,一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)_； (2) _ 那么，這條曲線叫作_，這個方程叫作_,曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解,以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上,方程的曲線,曲線的方程,1圓錐曲線的共同特征 圓錐曲線上的點到一個定點的距離與它到一條定直線的距離之比為定值e. 當(dāng)_時，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)_時，圓錐曲線是雙曲線；當(dāng)_時，圓錐曲線是拋物線 2圓錐曲線的統(tǒng)一定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不過F)的距離的比等于常數(shù)e的點的集合叫作圓錐曲線 這個定點F叫作圓錐曲線的焦點，這條定直線l叫作圓錐曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫作圓錐曲線的離心率,0e1,e1,e1,1平面直角坐標(biāo)系的選取原則 (1)以已知定點為原點 (2)以已知定直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸) (3)以已知線段所在直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)，以已知線段的中點為原點 (4)以已知互相垂直的兩定直線為坐標(biāo)軸 (5)如果曲線(或軌跡)有對稱中心，通常以對稱中心為原點,(6)如果曲線(或軌跡)有對稱軸，通常以對稱軸為坐標(biāo)軸(x軸或y軸) (7)盡可能使曲線上的關(guān)鍵點在坐標(biāo)軸上，或者讓盡量多的點在坐標(biāo)軸上,2對求曲線方程的五個步驟的四點說明 (1)在第一步中，如果原題中沒有確定坐標(biāo)系，首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，坐標(biāo)系建立得當(dāng)，可使運算過程簡單，所得的方程也較簡單 (2)第二步是求方程的重要一環(huán)要仔細(xì)分析曲線的特征，注意揭示隱含條件，抓住與曲線上任意一點M有關(guān)的等量關(guān)系，列出幾何等式此步驟也可以省略，而直接將幾何條件用動點的坐標(biāo)表示,(3)在化簡的過程中，注意運算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“失解”或“增解” (4)第五步的說明可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當(dāng)說明如某些點雖然其坐標(biāo)滿足方程，但不在曲線上，可以通過限定方程中x(或y)的取值范圍予以剔除,3對求曲線方程的三點說明 (1)求曲線方程時，由于建系的方法不同，求得的方程也不同 (2)一般地，求哪個點的運動軌跡方程，就設(shè)哪個點的坐標(biāo)是(x，y)，而不設(shè)成(x0，y0)或(x1，y1) (3)化簡方程時，一般將方程f(x，y)0化成關(guān)于x、y的整式形式，并且要保證化簡過程的恒等性 4通過方程研究曲線性質(zhì)的方法 借助于曲線方程研究曲線的性質(zhì)時，首先應(yīng)把方程通過配方、因式分解、分離變量等方法化為我們熟悉的形式，然后結(jié)合圖形，研究其性質(zhì),5過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)，當(dāng)橢圓的焦點落在y軸上時，焦半徑公式為：|PF1|aey1，|PF2|aey1. 6如果遇到有動點到兩定點距離的問題，應(yīng)自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線的定義,3下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是( ) 答案 D,4已知方程ya|x|和yxa(a0)所確定的兩條曲線有兩個交點，則a的取值范圍是( ) Aa1 B0a1 C0a1或a1 Da 答案 A 5動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x20的距離相等，則點P的軌跡方程為_ 答案 y28x 解析 本題考查了拋物線的定義及p的幾何意義 由拋物線的定義知p4，方程為：y28x.,如果曲線l上的點的坐標(biāo)滿足方程F(x，y)0，則以下說法正確的是( ) A曲線l的方程是F(x，y)0 B方程F(x，y)0的曲線是l C坐標(biāo)不滿足方程F(x，y)0的點不在曲線l上 D坐標(biāo)滿足方程F(x，y)0的點在曲線l上 答案C 分析 從“曲線的方程”和“方程的曲線”兩方面判斷,曲線與方程的概念,解析 直接法：原說法寫成命題形式即“若點M(x，y)是曲線l上的點，則M點的坐標(biāo)適合方程F(x，y)0”，其逆否命題即“若M點的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)0，則M點不在曲線l上”，此即說法C 特值方法：作如圖所示的曲線l，考查l與方程F(x，y)x210的關(guān)系，顯然A、B、D中的說法全不正確 選C,總結(jié)反思 本例給出了判定方程和曲線對應(yīng)關(guān)系的兩種方法等價轉(zhuǎn)換和特值方法其中特值方法應(yīng)引起重視，它的使用依據(jù)即“方程的曲線上的點的純粹性和完備性”，簡言之，即“多一點不行，少一點不可”,判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由 (1)過點A(3,0)且垂直于x軸的直線的方程為x0； (2)到x軸距離為2的點的直線方程為y2； (3)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程為xy1； (4)ABC的頂點A(0，3)、B(1,0)、C(1,0)，D為BC中點，則中線AD的方程為x0.,解析 (1)過點A(3,0)且垂直于x軸的直線方程為x3. 結(jié)論錯誤 (2)因到x軸距離為2的點的直線方程還有一個y2，即不具備完備性 結(jié)論錯誤 (3)到兩坐標(biāo)軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應(yīng)為|x|·|y|1，即xy±1. 所給問題不具備完備性結(jié)論錯誤 (4)中線AD是一條線段，而不是直線，應(yīng)為x0(3y0)， 所給問題不具備純粹性結(jié)論錯誤,已知RtABC，|AB|2a(a0)，求直角頂點C滿足的方程 解析 以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則有A(a,0)，B(a,0)，設(shè)頂點C(x，y),求曲線的方程,總結(jié)反思 坐標(biāo)系的選取，一般將定點或定直線選在坐標(biāo)軸上，原點有時選在定點處較為方便，有時也要考慮“對稱”性(如此例),過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程,直譯法求曲線的方程,分析 設(shè)動點坐標(biāo)尋求幾何條件將幾何條件坐標(biāo)化(解析法)求軌跡方程,總結(jié)反思 求曲線方程的基本方法是：建系設(shè)點、列等式、代換、化簡、證明“五步法”在解題時，根據(jù)題意，正確列出方程是關(guān)鍵，還要注意最后一步，如果有不符合題意的特殊點要加以說明一般情況下，求出曲線方程后的證明可以省去,已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與圓C1與圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程,定義法求曲線方程,總結(jié)反思 (1)本題是用定義法求動點的軌跡方程，當(dāng)判斷出動點的軌跡是雙曲線的一支，且可求出a、b時，直接根據(jù)定義寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程，而無需用距離公式寫出方程，再通過復(fù)雜的運算進(jìn)行化簡 (2)由于動點M到兩定點C2、C1的距離的差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，因此，其軌跡只能是雙曲線的一支這一點要特別注意！,已知動圓M與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程,設(shè)圓C：(x1)2y21，過原點O作圓的任意弦，求所作弦的中點的軌跡方程,參數(shù)法求曲線方程,過拋物線y22px(p0)的頂點O作兩條互相垂直的弦OA、OB，再以O(shè)A、OB為鄰邊作矩形AOBM，求點M的軌跡方程,等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊的一個端點是B(3,5)，求另一端點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么,迷津點撥 上述求得的軌跡方程忽視了A，B，C不共線這個隱含條件，因為A，B，C為三角形的頂點，所以A，B，C三點不共線，即B，C不能重合，且B，C不能為圓A的一直徑的兩個端點,點M與已知點P(2,2)連線的斜率是它與點Q(2,0)連線的斜率的2倍，求點M的軌跡方程,迷津點撥 因為直線PM和直線MQ的斜率都存在，所以在中，x±2，但在中卻有x±2，此時點P(2,2)和Q(2,0)在方程的曲線上，其原因是從到是非等價變形，使x的范圍擴大了,