成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修2-1,常用邏輯用語(yǔ),第一章,章 末 歸 納 總 結(jié),第一章,1學(xué)習(xí)命題，首先根據(jù)能否判斷語(yǔ)句的真假看是否是命題，掌握四種命題的組成及互為逆否命題的等價(jià)性 2由于原命題和它的逆否命題是等價(jià)的，所以當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，往往可以轉(zhuǎn)而判斷它的逆否命題的真假；有的命題不易直接證明時(shí)，就可以改證它的逆否命題成立，反證法的實(shí)質(zhì)就是證明“原命題的逆否命題成立”，所以教材在闡述了四種命題后安排了用反證法的例題，可以加深對(duì)命題等價(jià)性理解,3充要條件的判斷是通過(guò)判斷命題“若p則q”的真假來(lái)判斷的因此，充要條件與命題的四種形式之間的關(guān)系密切，可相互轉(zhuǎn)化 充分、必要條件問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，要深刻理解充分、必要條件的概念，而且要熟知問(wèn)題中所涉及到的知識(shí) 4準(zhǔn)確區(qū)分全稱命題和特稱命題的差異，能用簡(jiǎn)潔、自然的語(yǔ)言表述含有一個(gè)量詞的命題的否定 5準(zhǔn)確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，熟練判斷“p且q”、“p或q”、“¬p”形式的命題的真假,6要注意：否命題與命題的否定是不同的，如果原命題是“若p則q”，那么這個(gè)原命題的否命題是“若非p，則非q”，而這個(gè)命題的否定是“若p，則非q”，可見(jiàn)：否命題既否定條件又否定結(jié)論，而命題的否定只否定結(jié)論，例如，原命題“若AB，則ab”的否命題是“若AB，則ab”，而原命題的否定是“若AB，則ab”,在空間，下列命題正確的是( ) A平行直線的平行投影重合 B平行于同一直線的兩個(gè)平面平行 C垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行 D垂直于同一平面的兩條直線平行,解析 對(duì)于選項(xiàng)A，平行直線的平行投影也可能平行，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)B，平行于同一直線的兩個(gè)平面也可能相交，故B錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)C，垂直于同一平面的兩個(gè)平面也可能相交，故C錯(cuò)誤；而選項(xiàng)D正確 答案 D,已知兩個(gè)不同的平面、和兩條不重合的直線m、n，有下列四個(gè)命題： 若mn，m，則n； 若m，m，則； 若m，mn，n，則； 若m，n，則mn. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A0 B1 C2 D3,答案 D 解析 由線面垂直的判定知正確；由面面平行的判定知正確；由面面垂直的判定知正確；因?yàn)閙不一定在內(nèi)，故不一定正確，正確命題個(gè)數(shù)為3.,證明：對(duì)任意非正數(shù)c，若有abc成立，則aB 分析 將“對(duì)任意非正數(shù)c，若有abc成立，則ab”視為原命題要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“對(duì)任意非正數(shù)c，若ab，則有abc成立”為真命題 證明 若ab，由c0，bbc，abC 即“若ab對(duì)于任意非正數(shù)c，則abc”是真命題 對(duì)任意非正數(shù)c，若有abc成立，則aB (互為逆否命題具有相同的真假性),總結(jié)反思 當(dāng)一個(gè)命題的真假性不便于證明時(shí)，可證明其逆否命題的真假性一定要正確寫出原命題的逆否命題,判斷下列命題的逆命題、否命題、逆否命題的真假 若ab0，則a0或b0. 分析 要判斷一個(gè)命題的其他三種命題的真假，可以分別寫出其逆命題、否命題、逆否命題，再判斷其真假；也可以利用它們之間的等價(jià)關(guān)系，由一個(gè)命題的真假推斷出另一個(gè)命題的真假 解析 逆命題“若a0或b0，則ab0”為假命題，否命題與逆命題等價(jià)；逆否命題“若a0且b0，則ab0”為真命題所以逆命題與否命題為假，而逆否命題為真,(1)設(shè)集合M1,2，Na2，則“a1”是“NM”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分又不必要條件,(2)對(duì)于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱”是“yf(x)的奇函數(shù)”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 (3)(2015·四川理，8)設(shè)a、b都是不等于1的正數(shù)，則“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的( ) A充要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件,(1)a0是方程ax22x10至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的( ) A必要不充分條件 B充分不必要條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件,(2)“a1”是“直線xy0和直線xay0互相垂直”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 答案 (1)B (2)C,(2)本題考查兩條直線垂直的充要條件 當(dāng)a1時(shí)，直線xay0化為直線xy0，直線xy0與直線xy0垂直； 當(dāng)直線xy0和直線xay0互相垂直時(shí)，有1a0， a1，故選C,已知函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使得f(c)0.求實(shí)數(shù)p的取值范圍,總結(jié)反思 通常對(duì)于“至多”、“至少”的命題，應(yīng)采用逆向思維的方法處理，先考慮命題的否定，求出相應(yīng)的集合，再求集合的補(bǔ)集，可避免繁雜的運(yùn)算,若xR，f(x)(a21)x是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是_,答案 D,總結(jié)反思 正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的含義是解題的關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)組成各個(gè)復(fù)合命題的語(yǔ)句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)與真假的判斷，其步驟為：(1)確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式；(2)判斷其中簡(jiǎn)單命題的真假；(3)根據(jù)其真值表判斷復(fù)合命題的真假,已知兩個(gè)命題：r(x)：sinxcosxm，s(x)：x2mx10.如果對(duì)任意xR，r(x)且s(x)為假命題，r(x)或s(x)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,總結(jié)反思 本題主要體現(xiàn)在四種命題間的相互關(guān)系與集合之間關(guān)系的等價(jià)轉(zhuǎn)化、原命題與其逆否命題之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化等，即以充要條件為基礎(chǔ)，把同一種數(shù)學(xué)意義的內(nèi)容從一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式，從而使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化,一、選擇題 1bc0是二次函數(shù)yax2bxc的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 答案 A 解析 若bc0，則二次函數(shù)yax2bxcax2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若二次函數(shù)yax2bxc過(guò)原點(diǎn)，則c0，故選A,2下列命題中錯(cuò)誤的是( ) A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 答案 D,解析 本題主要考查空間中的線面、面面關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí) 對(duì)于A、內(nèi)存在直線平行于與的交線，故內(nèi)必存在直線平行于，正確；對(duì)于B，由于不垂直于，內(nèi)一定不存在直線垂直于，否則，正確；對(duì)于C，由平面與平面垂直的性質(zhì)知正確，故D不正確，選D,3(2014·遼寧師大附中期中)下列命題錯(cuò)誤的是( ) A命題“若x23x20，則x1”的逆否命題為“若x1，則x23x20” B若p且q為假命題，則p、q均為假命題 C命題p：存在x0R，使得xx012”是“x23x20”的充分不必要條件 答案 B,解析 由逆否命題“條件的否定作結(jié)論，結(jié)論的否定為條件”知A為真命題；p且q為假命題時(shí)，p假或q假，故B錯(cuò)誤；由“非”命題的定義知C正確；x2時(shí)，x23x20成立，x23x20時(shí)，x2，D正確,二、填空題 4已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ 答案 3m8,5若數(shù)列an滿足(an1an)2p(p為正常數(shù)，nN*)，則稱an為“等差方數(shù)列”甲：數(shù)列an是等差方數(shù)列；乙：數(shù)列an是等差數(shù)列，則甲是乙的_條件 答案 必要不充分 解析 對(duì)于乙：an是等差數(shù)列，公差為d，即an1and(an1an)2d2. 甲命題成立；反之，數(shù)列an是等差方數(shù)列， 即(an1an)2q2an1an±q，相鄰兩項(xiàng)之差不一定為常數(shù)，則命題乙不成立,