命題和充要條件,選修2-1簡易邏輯第一節(jié),第一節(jié) 命題及其關系、充分條件與必要條件,1命題的概念 用語言、符號或式子表達的，可以_的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做_，判斷為假的語句叫做_,判斷真假,真命題,假命題,2四種命題及其關系 (1)四種命題間的相互關系：,(2)四種命題的真假關系 兩個命題互為逆否命題，它們有_的真假性； 兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性 _ 3充分條件與必要條件 (1)如果pq，則p是q的_條件，q是p的_條件 (2)如果pq，那么p與q互為_ (3)如果pD/q，且qD/p，則p是q的 _,相同,沒有關系,充分,必要,充要條件,既不充分又不必要條件,1“命題的否定”就是“否命題”這種判斷是否正確？為什么？ 【提示】 不正確，概念不同，命題的否定是直接對命題的結論否定；否命題是對原命題的條件和結論分別否定構成不同，對于“若p，則q”形式的命題，命題的否定為“若p，則綈q”；其否命題是“若綈p，則綈q”，真值不同，命題的否定與原命題真假相反；而否命題與原命題真假無關,【提示】 由逆命題為真，知qp；逆否命題為假，知pD/q；故p是q的必要不充分條件,2命題“若p，則q”的逆命題為真，逆否命題為假，則p是q的什么條件？,1(人教A版教材習題改編)下列命題正確的是( ) “ab”是“a2b2”的充分條件； “|a|b|”是“a2b2”的必要條件； “ab”是“acbc”的充要條件； “ab”是“ac2bc2”的充要條件 A B C D,【解析】 由于|a|b|a2b2，abacbc，故正確由于abD/a2b2，且a2b2D/ab，故錯；當c20時，abD/ac2bc2，故錯 【答案】 B,【答案】 C,3命題“若a3，則a6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個數為( ) A1 B2 C3 D4 【解析】 原命題正確，從而其逆否命題正確；其逆命題為“若a6，則a3”是假命題，從而其否命題也是假命題，故選B. 【答案】 B,4(2012·天津高考)設R，則“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件 【解析】 若0，則f(x)cos x是偶函數，但是若f(x)cos(x)是偶函數，則也成立故“0”是“f(x)cos(x)(xR)為偶函數”的充分而不必要條件 【答案】 A,(1)命題p：“若ab，則ab2 012且ab”的逆否命題是( ) A若ab2 012且ab，則ab B若ab2 012且ab，則ab C若ab2 012或ab，則ab D若ab2 012或ab，則ab,(2)下列命題中為真命題的是( ) A命題“若xy，則x|y|”的逆命題 B命題“x1，則x21”的否命題 C命題“若x1，則x2x20”的否命題 D命題“若x20，則x1”的逆否命題 【思路點撥】 (1)直接根據逆否命題的定義寫出，但應注意“且”的否定是“或” (2)分清命題的條件與結論，寫出原命題的逆命題、否命題后再判斷真假,【嘗試解答】 (1)“且”的否定是“或”，根據逆否命題的定義知，逆否命題為“若ab2 012或ab，則ab”，故選C. (2)A中逆命題為“若x|y|，則xy”是真命題； B中否命題為“若x1，則x21”是假命題； C中否命題為“若x1，則x2x20”是假命題； D中原命題是假命題，從而其逆否命題為假命題 【答案】 (1)C (2)A,1本例(1)中應注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命題與逆否命題同真假來判斷 2(1)在判斷四種命題之間的關系時，首先要分清命題的條件與結論，再考查每個命題的條件與結論之間的關系(2)當一個命題有大前提而需寫出其他三種命題時，必須保留大前提不變 3判定命題為真，必須推理證明；若說明為假，只需舉出一個反例互為逆否命題是等價命題，根據需要，可相互轉化,(1)命題“若x、y都是偶數，則xy也是偶數”的逆否命題是( ) A若xy是偶數，則x與y不都是偶數 B若xy是偶數，則x與y都不是偶數 C若xy不是偶數，則x與y不都是偶數 D若xy不是偶數，則x與y都不是偶數 (2)(2013·河源模擬)已知命題p：若a0，則方程ax22x0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個數為_,【解析】 (1)“xy是偶數”的否定為“xy不是偶數”，“x，y都是偶數”的否定為“x，y不都是偶數”因此其逆否命題為“若xy不是偶數，則x，y不都是偶數” (2)命題p是真命題，從而其逆否命題也是真命題； 命題p的逆命題是“若方程ax22x0有解，則a0”是假命題，從而命題p的否命題也是假命題. 故真命題的個數為2. 【答案】 (1)C (2)2,【思路點撥】 把條件和結論轉化為x的取值范圍，通過集合間的關系來判斷,【答案】 B,1判定充要條件應注意：弄清條件p和結論q分別是什么，判斷“pq”及“qp”的真假 2充分、必要條件的判斷常用方法：(1)定義，(2)利用等價的逆否命題關系，(3)運用集合的包含關系若p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，從集合觀點看： 若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 若A B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件 若AB，則p是q的充要條件,【答案】 C,(2013·陽江模擬)設命題p：2x23x10； 命題q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數a的取值范圍是_ 【思路點撥】 先解不等式把命題p、q具體化，再由互為逆否命題的等價性確定p、q之間的關系，最后根據集合的關系列不等式求解,1解答本題時，也可先求出綈p，綈q，再根據綈p、綈q之間的關系，確定集合間的關系求解 2解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式求解 3注意利用轉化的方法理解充分必要條件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)條件，則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件,【答案】 9，),“A是B的充分不必要條件”中，A是條件，B是結論；“A的充分不必要條件是B”中，B是條件，A是結論在進行充分、必要條件的判斷中，要注意這兩種說法的區(qū)別,1.逆命題與否命題互為逆否命題； 2互為逆否命題的兩個命題同真假,充分條件、必要條件的判斷方法 1定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假 2等價法：利用pq與綈q綈p，qp與綈p綈q，pq與綈q綈p的等價關系 3集合法：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件,從近兩年高考命題來看，本節(jié)多是對充要條件的考查，少數涉及到四種命題及其真假判斷，題型以客觀題為主，屬中、低檔題，內容以數學概念、幾何定理、函數或不等式的性質為載體，主要考查邏輯推理能力常見錯誤是充要條件的兩種不同的敘述方式不清致誤,(2012·山東高考)設a0且a1，則“函數f(x)ax在R上是減函數”是“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”的( ) A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件,易錯辨析之一 兩種不同的敘述方式不清致誤,【錯解】 “函數f(x)ax在R上是減函數”的充要條件是p：0a1. 因為g(x)3(2a)x2，而x20，又因為a0且a1，所以“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”的充要條件是0a2且a1. 故“函數f(x)ax在R上是減函數”是“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”的必要不充分條件. 【答案】 B,錯因分析：(1)錯選B，究其原因是將“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”混淆，導致顛倒充分性與必要性 (2)不會運用集合的包含關系判斷充分必要條件 防范措施：(1)在判斷充要條件的問題中，“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”這兩種敘述的含義是不同的，“p的一個充分不必要條件是q”等價于“q是p的充分不必要條件”，解決此類問題時應先將問題轉化為第一種基本的敘述方式，然后再進行判斷,(2)“函數f(x)ax在R上是減函數”，a的取值集合A(0，1)；“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”，a的取值集合B(0，1)(1，2)顯然AB，故p是q的充分不必要條件,【正解】 “函數f(x)ax在R上是減函數”的充要條件是p：0a1. 因為g(x)3(2a)x2，且x20，所以“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”的充要條件是a2. 又因為a0且a1，所以“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”的充要條件是q：0a2且a1. 顯然pq，但qD/p，所以p是q的充分不必要條件，即“函數f(x)ax在R上是減函數”是“函數g(x)(2a)x3在R上是增函數”的充分不必要條件 【答案】 A,1(2012·北京高考)設a，bR.“a0”是“復數abi是純虛數”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件,【解析】 當a0，且b0時，abi不是純虛數；若abi是純虛數，則a0. 故“a0”是“復數abi是純虛數”的必要而不充分條件 【答案】 B,2(2013·西安模擬)設nN，一元二次方程x24xn0有整數根的充要條件是n_ 【答案】 3或4,