成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,集 合,第一章,本章歸納總結(jié),第一章,本章主要學(xué)習(xí)了集合的概念，元素與集合、集合與集合間的關(guān)系，以及子集的性質(zhì)與集合間的運(yùn)算性質(zhì)等 1集合是“某些指定對(duì)象的全體” 構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)或點(diǎn)等數(shù)字對(duì)象外，還可以是其他對(duì)象 集合的元素具有：確定性；互異性；無(wú)序性 集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法 解答集合問(wèn)題，要明白它所表示的意義，即元素指什么？是什么范圍？緊緊抓住豎線前面的代表元素及它所具有的性質(zhì),判斷給定對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，注意它的“互異性”，“無(wú)序性” 2元素與集合，集合與集合間的關(guān)系 元素與集合之間是個(gè)體與整體的關(guān)系，不存在大小與相等關(guān)系 元素與集合間用“”或“”表示 集合與集合之間有包含關(guān)系，如子集、全集的關(guān)系，相等關(guān)系，真子集關(guān)系 熟練掌握集合的圖形表示，會(huì)借助韋恩圖、數(shù)軸解決集合問(wèn)題，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合解題的意識(shí),3“交、并、補(bǔ)”都是集合的運(yùn)算，對(duì)于兩個(gè)集合而言，交集是指這兩個(gè)集合的公共元素組成的集合，并集是指由這兩個(gè)集合的全部元素組成的集合(要注意集合元素的互異性)補(bǔ)集必須相對(duì)于指定的全集而言，一個(gè)集合的補(bǔ)集是指由不屬于這個(gè)集合的全集中的全部其它元素組成的集合 4求解含參數(shù)的集合運(yùn)算問(wèn)題，先對(duì)集合化簡(jiǎn)，使問(wèn)題明朗化，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，討論時(shí)既不能重復(fù)也不能遺漏,5在集合運(yùn)算過(guò)程中應(yīng)力求做到“三化”： (1)意義化：即首先分清集合的類(lèi)型，是表示數(shù)集、點(diǎn)集，還是某類(lèi)圖形？是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？ (2)具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)形式 (3)直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來(lái)，從而借助“數(shù)形結(jié)合思想”解決問(wèn)題,1.集合中元素的三性 集合中的元素具有確定性，互異性和無(wú)序性判斷所給對(duì)象能否構(gòu)成集合時(shí)，特別要注意它的“確定性”，在表示一個(gè)集合時(shí)，要特別注意它的“互異性”，“無(wú)序性” 例1 已知集合Aa，ab，a2b， Ba，ac，ac2若AB，求c的值 思路分析 根據(jù)集合中的元素對(duì)應(yīng)相等，分情況討論,學(xué)好集合的關(guān)系是把握“五個(gè)三”,解析 AB，須分情況討論 若abac，則a2bac2， 解得aac22ac0. a0時(shí)，集合B中的三個(gè)元素均為零，和元素互異性矛盾，故a0. c22c10，即c1. 但c1時(shí)，B中的三個(gè)元素又相同，故無(wú)解,2集合的三種表示方法 集合的常用表示法有列舉法、描述法和Venn圖法這三種表示方法各有特點(diǎn)，應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題適當(dāng)選用特別要注意的是，在用描述法表示集合時(shí)，一定要弄清代表元素是什么 例2 設(shè)集合Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，則下列關(guān)系中不正確的一個(gè)是( ) AAC BBC CBA DABC,解析 集合A是由二次函數(shù)yx2的自變量x組成的集合，即AR；集合B是由二次函數(shù)yx2的因變量y組成的集合，即By|y0；而集合C是由二次函數(shù)yx2圖像上所有點(diǎn)組成的集合，為點(diǎn)集所以ABRC. 答案 D,3集合的三類(lèi) 按照集合中元素個(gè)數(shù)的多少，集合可分為有限集、無(wú)限集和空集三類(lèi)其中，空集是一個(gè)特殊的集合，它不含有任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解決集合之間關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，它往往易被忽視而導(dǎo)致解題出現(xiàn)失誤 例3 設(shè)UR，Ax|x23x100，Bx|a1x2a1，且B(UA)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,5集合的三種運(yùn)算 集合的運(yùn)算有交()、并()、補(bǔ)(UA)，要正確理解并會(huì)進(jìn)行這三種運(yùn)算設(shè)全集為U，已知集合A、B，則ABx|xA且xB，ABx|xA或xB，UAx|xU且xA 例5 已知全集Ux|4x4，xZ，A1，a21，a23，Ba3，a1，a1，且AB2，求U(AB) 分析 要求U(AB)，應(yīng)先求出AB，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求參數(shù)a的值觀察集合A，B中元素的特點(diǎn)，若AB2，則只能a232成立,解析 AB2，2A. 又a210，a232，解得a±1. 當(dāng)a1時(shí)，A1,2，2，B2,0,2， 則AB2,2與AB2矛盾a1. 當(dāng)a1時(shí)，A1,2，2，B4，2,0， 則AB2符合題意 此時(shí)AB4，2，1,0,2 又U4，3，2，1,0,1,2,3,4， U(AB)3,1,3,4.,數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁在日常學(xué)習(xí)中，要注意數(shù)學(xué)思想方法在解題中的運(yùn)用，要增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)，這樣能在求解過(guò)程中迅速找到解題思路或簡(jiǎn)化解題過(guò)程,集合中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法,1數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合通過(guò)對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化，可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性，使問(wèn)題化難為易，化抽象為具體通過(guò)“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問(wèn)題集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法 (1)數(shù)軸法 對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)，在進(jìn)行集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，往往由于運(yùn)算力差或考慮不全面而極易出錯(cuò)此時(shí)，數(shù)軸分析法是個(gè)好幫手，它能將復(fù)雜問(wèn)題直觀化在具體應(yīng)用時(shí)，要注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，以免增解或漏解,例6 已知集合Ax|1x3，Bx|xm2 (1)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,(2)Venn圖法 Venn圖是集合語(yǔ)言中的圖像語(yǔ)言，它易引起清晰的視覺(jué)形象，能直觀地表達(dá)概念，問(wèn)題的本質(zhì)以及相互之間的關(guān)系加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，對(duì)鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，夯實(shí)基礎(chǔ)，提高能力具有重要意義 例7 已知I為全集，集合M，NI，若MNN，則( ) AIMIN BMIN CIMIN DMIN,解析 根據(jù)條件畫(huà)出Venn圖，由補(bǔ)集的定義及集合間的關(guān)系可迅速作出選擇 答案 C,2分類(lèi)討論思想 分類(lèi)討論思想是數(shù)學(xué)思想中比較重要的一種思想，利用分類(lèi)討論思想解決分類(lèi)討論問(wèn)題，已成為高考考查學(xué)生知識(shí)和能力的熱點(diǎn)問(wèn)題首先，分類(lèi)討論問(wèn)題一般都覆蓋較多知識(shí)點(diǎn)，有利于對(duì)知識(shí)面的考查；其次，解分類(lèi)討論問(wèn)題需要有一定的分析能力，一定的分類(lèi)思想和技巧，運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到“不重不漏”,3轉(zhuǎn)化與化歸思想 在解決一些集合問(wèn)題時(shí)，如果一種集合的表達(dá)形式不好入手，那么就將其轉(zhuǎn)化為另一種形式，使問(wèn)題明朗化，如“A是B的子集”、“ABA”、“ABB”、“AB”等都是同一含義另外，集合中數(shù)學(xué)語(yǔ)言的常見(jiàn)形式主要有三種，即文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，通過(guò)合理的相互轉(zhuǎn)化，往往能簡(jiǎn)捷迅速地得到解題思路,例9 某校高一(5)班有50人，其中參加航模小組的有25人，參加電腦小組的有32人，求既參加航模小組又參加電腦小組的人數(shù)的最大值與最小值 解析 設(shè)U高一(5)班學(xué)生，A參加航模小組的學(xué)生，B參加電腦小組的學(xué)生 設(shè)既參加航模小組又參加電腦小組的學(xué)生有x人如圖所示，從圖中可得至少參加一組的有(25x)x(32x)57x.,4補(bǔ)集思想 對(duì)于比較復(fù)雜，難于從正面入手的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題時(shí)，可調(diào)整思路，從問(wèn)題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這樣往往能化難為易，從而將問(wèn)題解決，這就是補(bǔ)集思想，補(bǔ)集思想具有轉(zhuǎn)換研究對(duì)象的功能，是轉(zhuǎn)化思想的又一體現(xiàn)集合中的補(bǔ)集運(yùn)算常常與方程、不等式等相聯(lián)系，特別是否定性的條件，如aA，可轉(zhuǎn)化為aRA，有時(shí)求解將會(huì)十分方便，省去一些復(fù)雜的討論,例10 若三個(gè)方程x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍,集合中的創(chuàng)新題主要是指題目中引入了新概念、新術(shù)語(yǔ)、新符號(hào)或定義新的運(yùn)算的問(wèn)題，處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要準(zhǔn)確地理解相關(guān)“新內(nèi)容”的含義，依據(jù)其含義尋找解題的切入點(diǎn) 例11 設(shè)M，P是兩個(gè)非空集合，定義M與P的差集為MPx|xM，且xP，則M(MP)等于( ) AP BMP CMP DM,集合中的創(chuàng)新題,解析 本題是差集問(wèn)題，可以從所給的定義入手轉(zhuǎn)化為集合的交、并運(yùn)算式進(jìn)行推理，也可直接從M(MP)的意義上去考慮 當(dāng)MP時(shí)，由Venn圖知，MP為圖形中的陰影部分，則M(MP)顯然為MP. 當(dāng)MP時(shí)，MPM，則M(MP)MMx|xM且xM. 答案 B,一、選擇題 1(2015·山東高考)已知集合Ax|2x4，Bx|(x1)(x3)0，則AB( ) A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4) 答案 C 解析 因?yàn)锽x|1x3，所以AB(2,3)，故選C.,2已知全集U1,0,1,2，集合A1,2，B0,2，則(UA)B( ) A0 B2 C0,1,2 D 答案 A 解析 UA0,1，(UA)B0，故選A.,3設(shè)Px|x4，Qx|2x2，則( ) APQ BQP CPRQ DQRP 答案 D 解析 Qx|2x2， 而RPx|x4， QRP.,4如果Ax|x1，那么正確的結(jié)論是( ) A0A B0A C0A DA 答案 B 解析 由于01，所以0A.而選項(xiàng)A，C，D對(duì)于元素與集合、集合與集合的關(guān)系使用符號(hào)不對(duì)，故都是錯(cuò)誤的,5集合A1,2,3,4，BA，且1(AB)，4(AB)，則滿足上述條件的集合B的個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C4 D8 答案 C 解析 由1(AB)，且4(AB)，得1B， 但4B，又BA， 集合B中至少含有一個(gè)元素1，至多含有3個(gè)元素1,2,3，故集合B可以為1，1,2，1,3，1,2,3,二、填空題 6已知集合AxR|x1|2，Z為整數(shù)集，則集合AZ中所有元素的和等于_ 答案 3 解析 用列舉法將AZ中的元素列舉出來(lái)相加即可 AxR|x1|2xR|1x3 AZ0,1,2 AZ的元素的和為3.,7設(shè)集合AxZ|x3，BxZ|x2，全集UZ，則(UA)B_. 答案 2，1,0,1,2 解析 UZ，AxZ|x3， BxZ|x2， UAxZ|x3， (UA)BxZ|3x22，1,0,1,2,8已知集合A1,5，Bx|ax50，且ABA，則由a的取值組成的集合為_(kāi) 答案 0,1,5 解析 ABA，BA. 當(dāng)B時(shí)，a0；當(dāng)B1時(shí)，a5； 當(dāng)B5時(shí)，a1， 由a的取值組成的集合為0,1,5,三、解答題 9已知集合Ax|1x6，Bx|m1x2m1 (1)若BA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)若xN，求集合A的子集的個(gè)數(shù),