成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,指數函數和對數函數,第三章,本章歸納總結,第三章,指數函數、對數函數是重要的基本初等函數，是高中數學函數部分的主體內容，是歷屆高考的重點本章是在初中學習了整數指數冪及運算性質的基礎上，引入了分數指數冪的概念，然后將分數指數冪推廣到實數指數冪，進而研究指數運算、指數函數的概念及圖像性質；對數運算、對數函數的概念及其圖像和性質另外，函數的實際應用是新課標增添的內容但它的研究思想方法，一直是高中數學的重點及難點之一，也是高考中常見題型,(2)yax(a0，a1)的圖像,3對數的概念及相關性質 (1)對數的定義 如果a(a0，a1)的b次冪等于N，就是abN，那么數b叫作以a為底N的對數，記作logaNb，其中a叫作對數的底數，N叫作真數 (2)指數式與對數式的關系,(7)對數函數的圖像及性質,在學習本章時，要注意運用由特殊到一般，運用對比的方法，搞清幾個意義相近概念的內涵，利用數形結合的思想方法來說明比較抽象的概念及性質在知識的發(fā)生、發(fā)展過程中提高運用知識解決問題的能力,1.有關指數、對數的運算問題 指數與指數運算、對數與對數運算是兩個重要的知識點，不僅是本章考查的重要問題類型，也是高考的必考內容 指數式的運算首先注意化簡順序，一般負指數先轉化成正指數，根式化為指數運算，其次，若出現(xiàn)分式，則要注意分子、分母因式分解，以達到約分的目的，對數運算首先注意公式應用過程中范圍的變化，前后要等價熟練地運用對數的三個運算性質并結合對數恒等式，換底公式是對數計算、化簡、證明常用的技巧,基本題型歸納,2函數圖像的應用 指數函數、 對數函數、冪函數是中學數學中重要的函數，它們的圖像和性質是考查的重點，應熟練掌握圖像的畫法及形狀，記熟性質，特別要注意指數函數與對數函數的底數在取不同值時，對圖像和性質的影響,例2 已知f(x)是函數ylog2x的反函數，則yf(1x)的圖像是( ) 解析因為函數ylog2x的反函數是y2x，所以f(x)2x.故f(1x)21x，因為此函數在R上是減函數，且過點(0,2)因此選C. 答案C,3數的大小比較問題 比較幾個數的大小問題是指數函數、對數函數和冪函數的重要應用，最基本的方法是將需要比較大小的實數看成某類函數的函數值，然后利用該類函數的單調性進行比較,4考查函數的定義域 函數的定義域是歷年高考中均考查的知識點，其難度不大，屬中低檔題，但在求解時易漏掉部分約束條件造成錯解，因而也是易錯題,5考查函數的值域 函數的值域或最值問題往往與單調性相關，而對數函數的單調性及應用是歷年高考的重點,點評 本題考查的知識點較多，如求f(x)，g(x)的解析式，求函數定義域和函數值，求反函數等在解題過程中還要用到指數函數與對數函數的性質，解方程和不等式等只要掌握好每一個知識點，按題目要求一步一步地進行求解，就可以順利完成.,1.數形結合思想的應用 函數的解析式與函數圖像是函數的兩種不同表現(xiàn)形式，因此在解決數學問題時，可以通過數與形的相互轉化達到“以形助數，以數解形”的目的，數形結合的思想可以將復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，此類問題通常是解的個數的判斷和解的范圍的確定等,數學思想方法歸納,例7 求不等式x1log6(x3)的所有整數解,2分類討論思想在解不等式中的應用 解指數不等式與對數不等式是本章常見題型，其解法主要是“同底法”，通過等價轉化，將指數、對數不等式(或方程)轉化為一次或二次不等式(或方程)，若是含有參數的不等式，結合函數的單調性，一般需利用分類討論的思想方法判斷,例8 若1loga1，求a的取值范圍,3換元思想 換元法的作用是利用整體代換，將問題轉化為常見問題本章中，常設ulogax或uax，然后將問題轉化為一元二次方程、二次函數等問題，特別要注意換元后u的取值范圍,4轉化與化歸思想 所謂轉化與化歸思想，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段，將問題通過變換使之轉化，歸結為在已有的知識范圍內可以解決的一種方法一般總是將復雜的問題通過變換，轉化為簡單的問題，將較難的問題通過變換，轉化為容易求解的問題，將未解決的問題變換，轉化為已解決的問題可以說數學解題就是轉化問題，每一個數學問題無一不是在不斷轉化中獲得解決的，即使是數形結合思想、函數方程思想、分類討論思想也都是轉化與化歸思想的表現(xiàn)形式,例10 解方程2(4x4x)7(2x2x)100. 分析 通過換元，將方程化為關于t的二次方程并求解,答案 C 解析 解法一：當x2時，log2x1110，函數f(x)無意義，排除B、D；當x1時，log2x1011，函數f(x)無意義，排除A，故選C. 解法二：要使函數f(x)有意義，應滿足log2x10， log2x1，x2，故函數f(x)的定義域為(2，),2函數yloga(x2)1的圖像過定點( ) A(1,2) B(2,1) C(2,1) D(1,1) 答案 D 解析 令x21，即x1，得yloga111，故函數yloga(x2)1的圖像過定點(1,1),4已知0a1，b0，則函數yaxb(xN)的圖像一定經過( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 yaxb的圖像，可看成yax(0a1，xN)的圖像向下移|b|個單位得到，而yax(0a1)過第一象限，yaxb的圖像一定過第四象限,5設alog36，blog510，clog714，則( ) Acba Bbca Cacb Dabc 答案 D 解析 alog361log32；blog5101log52； clog7141log72. log32log52log72，abc.,答案 (1,2 解析 當x2，故x64，要使得函數f(x)的值域為4，)，只需f1(x)3logax(x2)的值域包含于4，)，故a1，所以f1(x)3loga2，所以3loga24，解得1a2，所以實數a的取值范圍是(1,2,