成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),第三章,本章歸納總結(jié),第三章,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的主體內(nèi)容，是歷屆高考的重點(diǎn)本章是在初中學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，引入了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，然后將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)而研究指數(shù)運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)的概念及圖像性質(zhì)；對數(shù)運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)的概念及其圖像和性質(zhì)另外，函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是新課標(biāo)增添的內(nèi)容但它的研究思想方法，一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)及難點(diǎn)之一，也是高考中常見題型,(2)yax(a0，a1)的圖像,3對數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì) (1)對數(shù)的定義 如果a(a0，a1)的b次冪等于N，就是abN，那么數(shù)b叫作以a為底N的對數(shù)，記作logaNb，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù) (2)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系,(7)對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì),在學(xué)習(xí)本章時(shí)，要注意運(yùn)用由特殊到一般，運(yùn)用對比的方法，搞清幾個(gè)意義相近概念的內(nèi)涵，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來說明比較抽象的概念及性質(zhì)在知識的發(fā)生、發(fā)展過程中提高運(yùn)用知識解決問題的能力,1.有關(guān)指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算問題 指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算是兩個(gè)重要的知識點(diǎn)，不僅是本章考查的重要問題類型，也是高考的必考內(nèi)容 指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡順序，一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù)，根式化為指數(shù)運(yùn)算，其次，若出現(xiàn)分式，則要注意分子、分母因式分解，以達(dá)到約分的目的，對數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化，前后要等價(jià)熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式，換底公式是對數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧,基本題型歸納,2函數(shù)圖像的應(yīng)用 指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)，它們的圖像和性質(zhì)是考查的重點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握圖像的畫法及形狀，記熟性質(zhì)，特別要注意指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的底數(shù)在取不同值時(shí)，對圖像和性質(zhì)的影響,例2 已知f(x)是函數(shù)ylog2x的反函數(shù)，則yf(1x)的圖像是( ) 解析因?yàn)楹瘮?shù)ylog2x的反函數(shù)是y2x，所以f(x)2x.故f(1x)21x，因?yàn)榇撕瘮?shù)在R上是減函數(shù)，且過點(diǎn)(0,2)因此選C. 答案C,3數(shù)的大小比較問題 比較幾個(gè)數(shù)的大小問題是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的重要應(yīng)用，最基本的方法是將需要比較大小的實(shí)數(shù)看成某類函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該類函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較,4考查函數(shù)的定義域 函數(shù)的定義域是歷年高考中均考查的知識點(diǎn)，其難度不大，屬中低檔題，但在求解時(shí)易漏掉部分約束條件造成錯(cuò)解，因而也是易錯(cuò)題,5考查函數(shù)的值域 函數(shù)的值域或最值問題往往與單調(diào)性相關(guān)，而對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是歷年高考的重點(diǎn),點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)較多，如求f(x)，g(x)的解析式，求函數(shù)定義域和函數(shù)值，求反函數(shù)等在解題過程中還要用到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，解方程和不等式等只要掌握好每一個(gè)知識點(diǎn)，按題目要求一步一步地進(jìn)行求解，就可以順利完成.,1.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 函數(shù)的解析式與函數(shù)圖像是函數(shù)的兩種不同表現(xiàn)形式，因此在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化達(dá)到“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的目的，數(shù)形結(jié)合的思想可以將復(fù)雜問題簡單化，抽象問題直觀化，此類問題通常是解的個(gè)數(shù)的判斷和解的范圍的確定等,數(shù)學(xué)思想方法歸納,例7 求不等式x1log6(x3)的所有整數(shù)解,2分類討論思想在解不等式中的應(yīng)用 解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式是本章常見題型，其解法主要是“同底法”，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，將指數(shù)、對數(shù)不等式(或方程)轉(zhuǎn)化為一次或二次不等式(或方程)，若是含有參數(shù)的不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，一般需利用分類討論的思想方法判斷,例8 若1loga1，求a的取值范圍,3換元思想 換元法的作用是利用整體代換，將問題轉(zhuǎn)化為常見問題本章中，常設(shè)ulogax或uax，然后將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程、二次函數(shù)等問題，特別要注意換元后u的取值范圍,4轉(zhuǎn)化與化歸思想 所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段，將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為在已有的知識范圍內(nèi)可以解決的一種方法一般總是將復(fù)雜的問題通過變換，轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將較難的問題通過變換，轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題變換，轉(zhuǎn)化為已解決的問題可以說數(shù)學(xué)解題就是轉(zhuǎn)化問題，每一個(gè)數(shù)學(xué)問題無一不是在不斷轉(zhuǎn)化中獲得解決的，即使是數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想也都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的表現(xiàn)形式,例10 解方程2(4x4x)7(2x2x)100. 分析 通過換元，將方程化為關(guān)于t的二次方程并求解,答案 C 解析 解法一：當(dāng)x2時(shí)，log2x1110，函數(shù)f(x)無意義，排除B、D；當(dāng)x1時(shí)，log2x1011，函數(shù)f(x)無意義，排除A，故選C. 解法二：要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿足log2x10， log2x1，x2，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2，),2函數(shù)yloga(x2)1的圖像過定點(diǎn)( ) A(1,2) B(2,1) C(2,1) D(1,1) 答案 D 解析 令x21，即x1，得yloga111，故函數(shù)yloga(x2)1的圖像過定點(diǎn)(1,1),4已知0a1，b0，則函數(shù)yaxb(xN)的圖像一定經(jīng)過( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 yaxb的圖像，可看成yax(0a1，xN)的圖像向下移|b|個(gè)單位得到，而yax(0a1)過第一象限，yaxb的圖像一定過第四象限,5設(shè)alog36，blog510，clog714，則( ) Acba Bbca Cacb Dabc 答案 D 解析 alog361log32；blog5101log52； clog7141log72. log32log52log72，abc.,答案 (1,2 解析 當(dāng)x2，故x64，要使得函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)，只需f1(x)3logax(x2)的值域包含于4，)，故a1，所以f1(x)3loga2，所以3loga24，解得1a2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2,