成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數,第二章,本章歸納總結,第二章,函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，函數的思想方法貫穿于高中數學課程的始終，配方法、換元法、待定系數法等基本方法，特殊化思想、分類討論思想、數形結合等數學思想在本章中有較大應用，通過學習冪函數、二次函數，體會函數思想在數學和其他學科中的重要性，因此說函數是中學數學的一條主線，是中學數學的重要內容，是學習數學其他知識和分支的基礎,1函數的概念 函數的實質是兩個非空數集之間的一種特殊映射 學習時要注意體會用函數的思想解方程、不等式，要善于總結歸納求函數的定義域、值域的常見題型及相應的求解思路 2函數的圖像 函數的圖像可以形象地揭示函數的有關性質在考試題中主要考查基本初等函數的圖像特征及函數的圖像變換要學會利用函數的圖像來解題，若題目中已給出圖像，應注意深入挖掘圖像中所反映出的有助于解題的明顯信息和隱含信息；若題目中未給出圖像，應有意識地畫出函數的草圖,3函數的性質 函數的性質主要包括函數的單調性、奇偶性，這是考試考查的重點中的重點，與此相關的綜合題，不僅局限于函數本身的綜合，還可以是與不等式的交叉綜合，但歸根結底都要利用函數的性質來進行解題,4二次函數 熟練掌握二次函數的三種表示方式： (1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)頂點式：f(x)a(xk)2h(a0)； (3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 二次函數與二次方程密切聯系，在解決二次函數的有關問題，特別是含參數的二次方程的有關問題時，通常借助于二次函數的圖像特征(如單調區(qū)間、與坐標軸的交點、對稱軸的位置、最值等),函數是描述變量之間依賴關系的重要數學模型，它是兩個非空數集間的映射，它要求任給一個自變量的值，都有唯一的函數值與之對應，由此可判斷在某種對應關系f的作用下，從非空數集A到非空數集B的對應是否是函數函數的表示方法主要有列表法、圖像法、解析法在解決問題時，面對不同的需要，選擇恰當的方法表示函數是非常重要的函數的圖像是變量間關系的直觀反映，能較形象地分析出變量間的變化趨勢函數圖像廣泛地應用于解題過程當中，利用數形結合解題直觀、明了、易懂，在歷屆高考中，常出現有關函數圖像和利用圖像解題的試題,函數的概念及表示法,例1 已知函數f(x)的定義域為1,3，在同一坐標系下，函數yf(x)的圖像與直線x1的交點個數為 ( ) A0 B1 C2 D0或1 解析 f(x)的定義域為1,3，而11,3，點(1，f(1)在函數yf(x)的圖像上，又在直線x1上 由于函數的定義知，函數是一種特殊的對應，即對于定義域1,3中的任意一個元素，在其值域中有唯一確定的元素與之對應，故直線x1與yf(x)的圖像有且只有一個交點 答案 B,例2 客車從甲地以60km/h的速度行駛1小時到達乙地，在乙地停留了半小時，然后以80km/h的速度行駛1小時到達丙地，下列描述客車從甲地出發(fā)，經過乙地，最后到達丙地所經過的路程s與時間t之間的關系圖像中，正確的是( ),1.直接法 求基本初等函數(正、反比例函數，一次、二次函數)的最值，應用基本初等函數的最值結論，直接寫出其最值 例3 函數f(x)x24x3在0,3上的值域是 ( ) A0,3 B1,0 C0,2 D1,3,求函數最值(值域)的方法,解析 f(x)(x2)21，0x3， f(x)minf(2)1， f(x)maxf(0)3. 1f(x)3. 答案 D,例4 求下列函數的值域 (1)y3x1，x1,2,3,4；(2)y|x|1. 解析 (1)y3x1，x1,2,3,4， y2,5,8,11 函數的值域為2,5,8,11 (2)|x|0，|x|11. 函數的值域為1，),3配方法 當函數的解析式中出現二次式的結構時，常用配方法求值域,5圖像法 畫出函數圖像，最高點的縱坐標是函數的最大值，最低點的縱坐標是函數的最小值 例7 函數y|x1|x1|的最大值是_,6單調性法 先判斷函數的單調性，再利用其單調性求最值常用到下面的結論：如果函數yf(x)在區(qū)間(a，b上是增加的，在區(qū)間b，c)上是減少的，則函數yf(x)在xb處有最大值f(b)；如果函數yf(x)在區(qū)間(a，b上是減少的，在區(qū)間b，c)上是增加的，則函數yf(x)在xb處有最小值f(b),7分離常數法 注意到分子、分母的結構特點，分離出一個常數后，再通過觀察或配方等其他方法求出值域,研究函數的基本性質不僅是解決實際問題的需要，也是數學本身的自然要求其中，單調性是在某個區(qū)間上刻畫函數值隨自變量的變化而變化的趨勢；奇偶性是從整個定義域內反映函數的對稱性質對函數的這兩個性質，不僅會從圖像上直觀感知，還要能利用它們解決有關函數問題,函數的性質及應用,抽象函數是指沒有明確給出具體的函數表達式，只是給出一些特殊關系式的函數，它是高中數學中的一個難點，高考中經常出現關于抽象函數的試題因為抽象，解題時思維常常受阻，思路難以展開抽象函數問題一般是由所給的性質，討論函數的單調性、奇偶性、圖像的對稱性，或是求函數值、解析式等主要處理方法是“賦值法”，通常是抓住函數特性，特別是定義域上的恒等式，利用變量代換解題,抽象函數問題,分析 令xy1，得f(1)，將抽象不等式f(x)f(2x)2轉化為關于x的不等式組 解析 (1)令xy1，則f(1)f(1)f(1)， f(1)0.,1.數形結合思想 函數的數形結合思想是變量間的直觀反映，能較形象地分析出變量間的變化趨勢，更是研究函數性質(最值、單調性)的有力工具，尤其是在新課標“多考一點想，少考一點算”的指導下，數形結合將成為考查學生理性思維的一個切入口,函數中的思想方法,2分類討論思想 當某些數學問題含有參數時，常常運用分類討論的思想，把問題轉化為小問題一一解決 分類討論相當于增加了具體的條件，使思路更加開闊分類標準視具體情形確定，但要遵循“不重復、不遺漏”的原則,答案 B,答案 A,3二次函數f(x)滿足f(2x)f(2x)，又f(x)在0,2上是增函數，且f(a)f(0)，那么實數a的取值范圍是( ) A0，) B(，0 C0,4 D(，04，) 答案 C,答案 A,5已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 B,二、填空題 6函數y|x22x3|的單調增區(qū)間是_ 答案 1,1，3，) 解析 y|x22x3|的圖像如圖所示，由圖像法直接得出增區(qū)間,8函數f(x)是定義域R上的偶函數，且f(x)在(，0上為減函數，則f(1.5)，f()，f(2)的大小順序為(用號連接起來)_ 答案 f(1.5)f(2)f() 解析 由f(x)是偶函數，且在(，0上為單調減函數，可得f(x)在0，)上為單調增函數，f(1.5)f(2)f()，而f(2)f(2)， f(1.5)f(2)f(),三、解答題 9奇函數f(x)的定義域為R，且在0，)上為增函數，是否存在m使f(2t24)f(4m2t)f(0)對tR均成立？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由,