成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函 數(shù),第二章,本章歸納總結(jié),第二章,函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴(lài)關(guān)系，同時(shí)還用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)，函數(shù)的思想方法貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終，配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本方法，特殊化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想在本章中有較大應(yīng)用，通過(guò)學(xué)習(xí)冪函數(shù)、二次函數(shù)，體會(huì)函數(shù)思想在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性，因此說(shuō)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他知識(shí)和分支的基礎(chǔ),1函數(shù)的概念 函數(shù)的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一種特殊映射 學(xué)習(xí)時(shí)要注意體會(huì)用函數(shù)的思想解方程、不等式，要善于總結(jié)歸納求函數(shù)的定義域、值域的常見(jiàn)題型及相應(yīng)的求解思路 2函數(shù)的圖像 函數(shù)的圖像可以形象地揭示函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)在考試題中主要考查基本初等函數(shù)的圖像特征及函數(shù)的圖像變換要學(xué)會(huì)利用函數(shù)的圖像來(lái)解題，若題目中已給出圖像，應(yīng)注意深入挖掘圖像中所反映出的有助于解題的明顯信息和隱含信息；若題目中未給出圖像，應(yīng)有意識(shí)地畫(huà)出函數(shù)的草圖,3函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的性質(zhì)主要包括函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，這是考試考查的重點(diǎn)中的重點(diǎn)，與此相關(guān)的綜合題，不僅局限于函數(shù)本身的綜合，還可以是與不等式的交叉綜合，但歸根結(jié)底都要利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行解題,4二次函數(shù) 熟練掌握二次函數(shù)的三種表示方式： (1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xk)2h(a0)； (3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 二次函數(shù)與二次方程密切聯(lián)系，在解決二次函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，特別是含參數(shù)的二次方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，通常借助于二次函數(shù)的圖像特征(如單調(diào)區(qū)間、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的位置、最值等),函數(shù)是描述變量之間依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，它是兩個(gè)非空數(shù)集間的映射，它要求任給一個(gè)自變量的值，都有唯一的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，由此可判斷在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的對(duì)應(yīng)是否是函數(shù)函數(shù)的表示方法主要有列表法、圖像法、解析法在解決問(wèn)題時(shí)，面對(duì)不同的需要，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)是非常重要的函數(shù)的圖像是變量間關(guān)系的直觀反映，能較形象地分析出變量間的變化趨勢(shì)函數(shù)圖像廣泛地應(yīng)用于解題過(guò)程當(dāng)中，利用數(shù)形結(jié)合解題直觀、明了、易懂，在歷屆高考中，常出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)圖像和利用圖像解題的試題,函數(shù)的概念及表示法,例1 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3，在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)yf(x)的圖像與直線x1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) A0 B1 C2 D0或1 解析 f(x)的定義域?yàn)?,3，而11,3，點(diǎn)(1，f(1)在函數(shù)yf(x)的圖像上，又在直線x1上 由于函數(shù)的定義知，函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，即對(duì)于定義域1,3中的任意一個(gè)元素，在其值域中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，故直線x1與yf(x)的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn) 答案 B,例2 客車(chē)從甲地以60km/h的速度行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80km/h的速度行駛1小時(shí)到達(dá)丙地，下列描述客車(chē)從甲地出發(fā)，經(jīng)過(guò)乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過(guò)的路程s與時(shí)間t之間的關(guān)系圖像中，正確的是( ),1.直接法 求基本初等函數(shù)(正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù))的最值，應(yīng)用基本初等函數(shù)的最值結(jié)論，直接寫(xiě)出其最值 例3 函數(shù)f(x)x24x3在0,3上的值域是 ( ) A0,3 B1,0 C0,2 D1,3,求函數(shù)最值(值域)的方法,解析 f(x)(x2)21，0x3， f(x)minf(2)1， f(x)maxf(0)3. 1f(x)3. 答案 D,例4 求下列函數(shù)的值域 (1)y3x1，x1,2,3,4；(2)y|x|1. 解析 (1)y3x1，x1,2,3,4， y2,5,8,11 函數(shù)的值域?yàn)?,5,8,11 (2)|x|0，|x|11. 函數(shù)的值域?yàn)?，),3配方法 當(dāng)函數(shù)的解析式中出現(xiàn)二次式的結(jié)構(gòu)時(shí)，常用配方法求值域,5圖像法 畫(huà)出函數(shù)圖像，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值 例7 函數(shù)y|x1|x1|的最大值是_,6單調(diào)性法 先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性求最值常用到下面的結(jié)論：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是增加的，在區(qū)間b，c)上是減少的，則函數(shù)yf(x)在xb處有最大值f(b)；如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是減少的，在區(qū)間b，c)上是增加的，則函數(shù)yf(x)在xb處有最小值f(b),7分離常數(shù)法 注意到分子、分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分離出一個(gè)常數(shù)后，再通過(guò)觀察或配方等其他方法求出值域,研究函數(shù)的基本性質(zhì)不僅是解決實(shí)際問(wèn)題的需要，也是數(shù)學(xué)本身的自然要求其中，單調(diào)性是在某個(gè)區(qū)間上刻畫(huà)函數(shù)值隨自變量的變化而變化的趨勢(shì)；奇偶性是從整個(gè)定義域內(nèi)反映函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)對(duì)函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)，不僅會(huì)從圖像上直觀感知，還要能利用它們解決有關(guān)函數(shù)問(wèn)題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)，它是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，高考中經(jīng)常出現(xiàn)關(guān)于抽象函數(shù)的試題因?yàn)槌橄?，解題時(shí)思維常常受阻，思路難以展開(kāi)抽象函數(shù)問(wèn)題一般是由所給的性質(zhì)，討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖像的對(duì)稱(chēng)性，或是求函數(shù)值、解析式等主要處理方法是“賦值法”，通常是抓住函數(shù)特性，特別是定義域上的恒等式，利用變量代換解題,抽象函數(shù)問(wèn)題,分析 令xy1，得f(1)，將抽象不等式f(x)f(2x)2轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式組 解析 (1)令xy1，則f(1)f(1)f(1)， f(1)0.,1.數(shù)形結(jié)合思想 函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想是變量間的直觀反映，能較形象地分析出變量間的變化趨勢(shì)，更是研究函數(shù)性質(zhì)(最值、單調(diào)性)的有力工具，尤其是在新課標(biāo)“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的指導(dǎo)下，數(shù)形結(jié)合將成為考查學(xué)生理性思維的一個(gè)切入口,函數(shù)中的思想方法,2分類(lèi)討論思想 當(dāng)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題含有參數(shù)時(shí)，常常運(yùn)用分類(lèi)討論的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為小問(wèn)題一一解決 分類(lèi)討論相當(dāng)于增加了具體的條件，使思路更加開(kāi)闊分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)視具體情形確定，但要遵循“不重復(fù)、不遺漏”的原則,答案 B,答案 A,3二次函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(2x)，又f(x)在0,2上是增函數(shù)，且f(a)f(0)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A0，) B(，0 C0,4 D(，04，) 答案 C,答案 A,5已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于( ) A4 B3 C2 D1 答案 B,二、填空題 6函數(shù)y|x22x3|的單調(diào)增區(qū)間是_ 答案 1,1，3，) 解析 y|x22x3|的圖像如圖所示，由圖像法直接得出增區(qū)間,8函數(shù)f(x)是定義域R上的偶函數(shù)，且f(x)在(，0上為減函數(shù)，則f(1.5)，f()，f(2)的大小順序?yàn)?用號(hào)連接起來(lái))_ 答案 f(1.5)f(2)f() 解析 由f(x)是偶函數(shù)，且在(，0上為單調(diào)減函數(shù)，可得f(x)在0，)上為單調(diào)增函數(shù)，f(1.5)f(2)f()，而f(2)f(2)， f(1.5)f(2)f(),三、解答題 9奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且在0，)上為增函數(shù)，是否存在m使f(2t24)f(4m2t)f(0)對(duì)tR均成立？若存在，求出m的范圍；若不存在，說(shuō)明理由,