成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 必修1,函數(shù)應(yīng)用,第四章,本章歸納總結(jié),第四章,1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 對(duì)于函數(shù)yf(x)，我們把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)yf(x)的零點(diǎn) 方程f(x)0有實(shí)數(shù)解函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn) 零點(diǎn)性質(zhì)：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是方程f(x)0的根,2二分法 對(duì)于區(qū)間a，b上圖像連續(xù)不斷，且f(a)f(b)0的函數(shù)yf(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法 3用二分法求零點(diǎn)的近似值的步驟： 第1步：確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證f(a)·f(b)0，給定精確度； 第2步：求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1；,第3步：計(jì)算f(x1)； (1)若f(x1)0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)； (2)若f(a)·f(x1)0，則令bx1此時(shí)零點(diǎn)x0(a，x1)； (3)若f(x1)·f(b)0，則令ax1此時(shí)零點(diǎn)x0(x1，b)； (4)若滿足精度時(shí)，a，b近似值相等，則其值為所求，否則重復(fù)(2)(4),4函數(shù)應(yīng)用題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面上非數(shù)學(xué)問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)函數(shù)問題 求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：,5解函數(shù)應(yīng)用問題，一般地可按以下四步進(jìn)行 第1步：閱讀理解、認(rèn)真審題 就是讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息 在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知識(shí)，確定自變量與函數(shù)值的意義，嘗試找出問題的函數(shù)關(guān)系審題時(shí)要抓住題目中關(guān)鍵的量，要勇于嘗試、探索，敢于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化,第2步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型 一般地設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型 第3步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果 第4步：再轉(zhuǎn)譯成具體問題作出回答,1.函數(shù)零點(diǎn)的判斷 由于函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)之間有著內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系，所以函數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為方程問題，方程問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和方程根的存在條件，我們常借助不等式來求解相關(guān)的問題，其間，要善于結(jié)合函數(shù)圖像，從中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的作用,基本題型歸納,點(diǎn)評(píng) 確定函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間時(shí)，可以從形與數(shù)兩個(gè)方面共同考慮先根據(jù)函數(shù)的圖像，得到函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，再驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值是否反號(hào)，這需要函數(shù)的圖像要較準(zhǔn)確,2方程根的區(qū)間分布 例2 求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使關(guān)于x的方程x22(m1)x2m60. (1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2?。?(2)有兩個(gè)實(shí)根，且都大于1； (3)有兩實(shí)數(shù)根、，且滿足014； (4)至少有一個(gè)正根 分析 利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)和根的判別式求解,點(diǎn)評(píng) 解決本題要注意與二次函數(shù)圖像的結(jié)合，可以作出各種情況的草圖幫助解題，另外對(duì)于(4)的分類，要特別注意一根為正、一根為零的情況,用二分法逐步計(jì)算，列表如下：,點(diǎn)評(píng) 1.求根式的近似值，實(shí)質(zhì)上就是將根式轉(zhuǎn)化為方程的無理根，利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，通過二分法求解 2二分法思想實(shí)質(zhì)上是一種逼近思想，所求值與近似值間的差異程度取決于精確值,4函數(shù)建模應(yīng)用問題 例4 點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿周長為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)O、P的距離y與點(diǎn)P所走的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則點(diǎn)P所走的圖形是( ),1.函數(shù)與方程思想 在數(shù)學(xué)上，解方程是很重要的內(nèi)容，但是能夠?qū)⒕_解求出來的方程不是很多，五次以上的一般代數(shù)方程，一般的超越方程，以及實(shí)際生活和物理研究中的方程，我們只能求它的有理近似解而將解方程的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問題，利用函數(shù)的整體性質(zhì)來認(rèn)識(shí)局部性質(zhì)是求方程近似解的一般方法解方程實(shí)際是求函數(shù)的零點(diǎn)，這樣指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次代數(shù)方程就可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的求解問題,數(shù)學(xué)思想方法,2數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法，它把數(shù)學(xué)關(guān)系的精確刻畫與幾何圖形的直觀形象有機(jī)地結(jié)合起來，充分暴露問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決數(shù)形結(jié)合常用于解方程、不等式和求函數(shù)值域等問題中,3分類討論思想 有些實(shí)際問題，在建立函數(shù)模型的過程中，可能會(huì)涉及多種說不清楚的情況，此時(shí)，應(yīng)運(yùn)用分類討論的思想，對(duì)它進(jìn)行分類討論，從而順利地建模分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)視具體情況而定，但要遵循“不重不漏”的原則 例7 我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的某市用水收費(fèi)的方法是：水費(fèi)基本費(fèi)超額費(fèi)損耗費(fèi),若每月用水量不超過最低限量am3，只付基本費(fèi)8元和每戶每月定額損耗費(fèi)c元；若用水量超過am3時(shí)，除了付以上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分按b元/m3支付超額費(fèi)已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過5元 該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求a，b，c.,分析 易知2月份，3月份的用水量已超過了最低限量am3，但1月份的用水量是否已超過最低限量，需要進(jìn)行分類討論,一、選擇題 1若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，定義域?yàn)閤R|x0且f(x)在(0，)上是減函數(shù)，f(2)0，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有( ) A唯一一個(gè) B兩個(gè) C至少兩個(gè) D無法判斷 答案 B,解析 由已知條件得f(2)f(2)0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖像如下圖所示，可知f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),3某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每30分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成兩個(gè))，這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成1024個(gè)需經(jīng)過( ) A5小時(shí) B6小時(shí) C7小時(shí) D8小時(shí) 答案 A 解析 因?yàn)榧?xì)菌每30分鐘分裂一次，一小時(shí)分裂兩次，所以細(xì)菌個(gè)數(shù)y與分裂時(shí)間t小時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y22t，把y1024代入得102422t,102422×522t， 所以t5(小時(shí))，故選A.,5若方程2ax2x10在(0,1)內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是( ) Aa1 C1a1 D0a1 答案 B,二、填空題 6已知二次函數(shù)f(x)x2xa(a0)有兩個(gè)零點(diǎn)，若f(m)0，則在(m，m1)上函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_ 答案 1,7現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200g，要將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水，設(shè)需加入4%的食鹽水xg，則x的取值范圍是_ 答案 (100,400),答案 A、B、E或B、D、E、F 解析 當(dāng)投資為13億元時(shí)，有以下兩種投資選擇方案：f(A，B，E)0.550.40.91.85(投資13億元)； f(B，D，E，F(xiàn))0.40.50.90.11.9(投資13億元),三、解答題 9某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%. (1)寫出水中雜質(zhì)含量y與過濾的次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式 (2)要使水中雜質(zhì)減少到原來的5%以下，則至少需要過濾幾次？(lg20.3010) 分析 (1)利用歸納猜想的方法得函數(shù)關(guān)系式； (2)利用(1)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為解不等式,