成才之路 · 數(shù)學(xué),路漫漫其修遠(yuǎn)兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修1-1,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,第四章,章末歸納總結(jié),第四章,1函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系： 如果f(x)0，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間內(nèi)為增(減)函數(shù)的充分不必要條件，如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使得f(x)0，不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含這些特殊點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性所以在已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意等號(hào)是否可以取到，也就是導(dǎo)數(shù)值為零的點(diǎn)需要單獨(dú)驗(yàn)證，以免出錯(cuò),注意：當(dāng)一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，這些單調(diào)區(qū)間一般不能用“”連接，而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開 3(1)一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較陡峭(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就平緩一些 (2)f(x0)的幾何意義為曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率在區(qū)間(a，b)上，如果f(x)0，則切線傾斜角為銳角，曲線呈向上增加狀態(tài)，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f(x)0，則切線傾斜角為鈍角，曲線呈向下減少狀態(tài)，即函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減,4(1)根據(jù)極值的定義可知，在可導(dǎo)函數(shù)中，若x0為極值點(diǎn)，則必有f(x0)0(此結(jié)論常用來求參數(shù))，但f(x0)0時(shí)，x0不一定為極值點(diǎn)，還要滿足在此點(diǎn)附近左右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性相反，單調(diào)性一致時(shí)，不能作為極值點(diǎn)如函數(shù)f(x)x3可導(dǎo)，且在x0處滿足f(0)0，但x0卻不是極值點(diǎn) (2)求函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的最值時(shí)，將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值,(3)如果函數(shù)yf(x)的圖像是區(qū)間a，b上一條連續(xù)不斷的曲線，且在(a，b)上可導(dǎo)，則 f(x)在a，b上必有最值點(diǎn) 若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)，且在這一點(diǎn)處取得極值，則該點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn) (4)有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),5(1)已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，求f(x)中參數(shù)的取值范圍的方法為分離參數(shù)法通常將f(x)0(或f(x)0)的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而求出參數(shù)的取值范圍 (2)對于證明f(x)(或)m恒成立的問題，可以轉(zhuǎn)化為證明相應(yīng)函數(shù)yf(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,(2)由(1)知f(x)x33x29x1， 則f(x)3x26x93(x3)(x1) 令f(x)0，解得x11，x23. 當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，1)上為增函數(shù)； 當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(3，)上為增函數(shù) 由此可見，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，1)和(3，)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值,1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟： (1)確定函數(shù)f(x)的定義域； (2)求方程f (x)0的根； (3)檢驗(yàn)f (x)0的根的兩側(cè)f (x)的符號(hào) 若左正、右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負(fù)、右正，則f(x)在此根處取得極小值 否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn),2求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟： (1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)將(1)中求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值 特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(，),解析 (1)因?yàn)閒 (x)3x(xa)，所以有： 當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(a，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a)； 當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)，(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,0)； 當(dāng)a0時(shí)，f (x)3x20，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)上遞增；,求參數(shù)的取值范圍問題,已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以有兩種方法，一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導(dǎo)數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)法更為簡捷在解決問題的過程中主要處理好等號(hào)的問題，因?yàn)閒 (x)0(或f (x)0)僅是一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充分不必要條件，而其充要條件是：f (x)0或(f (x)0)，且使f (x)0的點(diǎn)僅有有限個(gè)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題時(shí)可以有兩個(gè)基本思路：,導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,1.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值的一般方法： (1)分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大或最小值的變量y與自變量x，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即列出函數(shù)關(guān)系yf(x)，根據(jù)實(shí)際問題確定yf(x)的定義域 (2)求方程f (x)0的所有實(shí)數(shù)根 (3)比較導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)根和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實(shí)際問題的意義確定函數(shù)的最大值或最小值,2利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問題： (1)求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要從問題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去 (2)在實(shí)際問題中，由f (x)0常常僅得到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值,答案 B 解析 f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)lnx1， 由f(x0)2，得lnx012，解得x0e.,2函數(shù)f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分別是( ) A5，15 B5，4 C4，15 D5，16 答案 A 解析 由f(x)6x26x126(x1)(x2)0得x1或x2.因?yàn)閒(0)5，f(2)15，f(3)4， 所以f(2)f(3)f(0)， 所以f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)15.,5函數(shù)yax31在(，)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_ 答案 (，0) 解析 y3ax20恒成立， a0. 當(dāng)a0時(shí)，y1不是減函數(shù)， a0. 故a的取值范圍是(，0),7已知f(x)ax3bx22xc，在x2時(shí)有極大值6，在x1時(shí)有極小值 (1)求a、b、c的值； (2)求出f(x)在區(qū)間3,3上的最大值和最小值,