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3.5.2簡單線性規(guī)劃,1：畫出不等式（組）表示的平面區(qū)域： ⑴ y≥2x+1 ⑵ 4x-3y9 x+2y4,,說明：直線定界、特殊點定域 劃分區(qū)域時，找好特殊點，注意不等號。,,,y=2x+1,x+2y=4,,,,3x+5y≤25,x-4y≤-3,x≥1,問題２：ｙ有無最大(小)值？,,x,y,o,,,,,問題３：2ｘ+ｙ有無最大(小)值？,,引例,,,設z = 2x + y，式中變量x、 y滿足下列條件 ． 求z的最大值和最小值．,,,,,分析：不等式組表示的區(qū)域是圖中的?ABC．,z = 2x + y,,,,,,,,l2,l1,,,求最值的方法1. 截距法,在經過不等式組表示的公共區(qū)域內的點且平行于l0的直線中，以經 過點A(5，2)的直線 l2 所對應的截距最大故 zmax= 2 × 5 + 2 = 12， 以經過點B(1，1)的直線l1所對應的z最小故 zmin = 2 × 1 + 1= 3．,,,,,,思考: 2x + y -z= 0(z ? R)可看作什么? 一組平行直線,都與直線l0：2x + y = 0平行.,求最值的方法2. 距離法,,,,,,,,,作一組與直線l0平行的直線(或平行移動直線l0)l：2x + y = z，z ? R．,求最值的方法2. 距離法,,,,,,,,,在經過不等式組所表示的公共區(qū)域內的點且平行于l的直線中，以經過點A(5，2)的直線l2所對應的d最大，,l2,求最值的方法2. 距離法,以經過點B(1，1)的直線l1所對應的d最小．所以：zmax = 2 × 5 + 2 = 12，zmin = 2 × 1 + 1= 3．,,,,,,,,,l2,l1,求最值的方法2. 距離法,在上述問題中，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z = 2x + y是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數．由于z = 2x + y又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數．,線性規(guī)劃的有關概念：,線性規(guī)劃的概念：,問題：設z=2x+y，式中變量滿足下列條件： 求z的最大值與最小值。,,,,目標函數 （線性目標函數）,線性約 束條件,注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． 一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如： 我們剛才研究的就是求線性目標函數z = 2x + y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題．,線性規(guī)劃的有關概念：,滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域．其中可行解(5，2)和(1，1)分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解．,線性規(guī)劃的有關概念：,解線性規(guī)劃問題的基本步驟： 第一步在平面直角坐標系中畫出可行域. 第二步：平移直線 在可行域內找出最優(yōu)解所對應的點(找使縱截距取得最值時的點). 第三步：解方程組，從而求出目標函數的最大值或最小值．,簡記為: 畫….移….求,例1已知x、y滿足 ， 試求z = 300x + 900y的最大值．,典型例題：,分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內尋找使z = 300x + 900y取最大值時的點．,例1已知x、y滿足 ， 試求z = 300x + 900y的最大值．,典型例題：,解：作出可行域，見圖中四邊形AOBC表示的平面區(qū)域．,典型例題：,作出直線l0：300x + 900y = 0，即x + 3y = 0， 將它平移至點A， 顯然，點A的坐標是可 行域中的最優(yōu)解，它使 z = 300x + 900y達到最大值． 易得點A(0，125)，所以 z max = 300×0 + 900×125 = 112500．,,l0：x + 3y = 0,,2x + y = 300,,,典型例題：,變題1：在例1中，若目標函數設為z = 400x + 300y，約束條件不變，則z的最大值在點C處取得．,,l0：4x + 3y = 0,,2x + y = 300,,變題2：若目標函數設為z = 300x + 600y，約束條件不變，則z的最大值?,可在線段AC上任一點處取得．,事實上，可行域內最優(yōu)解對應的點在何處，與目標函數z = ax + by(a ? 0，b ? 0)所確定的直線l0：ax + by = 0的斜率(? )有關． 就本例而言，若? = ? (直線x + 2y = 250的斜率)，則線段AC上所有點都使z取得最大值(如：z = 300x + 600y時)；,當? ? 0時，點A處使z取得最大值(比如：例1)；當? 2 ? ?時，點C處使z取得最大值(比如：z = 400x + 300y時)， 其它情況請同學們課外思考．,例2：設z＝2x－y,式中變量x、y滿足下列條件 求ｚ的最大值和最小值。,解：作出可行域如圖：,當ｚ＝0時，設直線 l0：2x－y＝0,當l0經過可行域上點A時， －z 最小，即ｚ最大。,當l0經過可行域上點C時， －ｚ最大，即ｚ最小。,∴ zmax＝2×5－2＝8 zmin＝2×1－4.4＝ －2.4,(5,2),(1,4.4),平移l0，,平移l0 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2x－y＝0,三個轉化,圖解法,想一想(結論):,線性約束條件,可行域,線性目標函數 Z=Ax+By,最優(yōu)解,尋找平行線組的 最大（?。┛v截距,求最值的方法: 1,距離法; 2,截距法.,1 ．（2012年高考（遼寧文理））設變量x,y滿足 則2x+3y的最大值為（ ） A．20 B．35 C．45 D．55,1. 【答案】D 【解析】畫出可行域,根據圖形可知當x=5,y=15時2x+3y最大,最大值為55,故選D,,,,D,2 ．（2012年高考（天津文））設變量滿足約束條件 則目標函數的最小值 （ ） A．-5 B．-4 C．-2 D．3,,【解析】做出不等式對應的 可行域如圖,由圖象可 知當直線經過點 時,直線的 截距最大,而此時最小為,選B.,,,B,3．（2012年高考（浙江文））設z=x+2y, 其中實數x,y滿足, 則z的取值范圍是 _______________.,,【解析】利用不等式組,作出可行域,可知區(qū)域表示的四邊形, 但目標函數過點(0,0)時,目標函數最小,當目標函數過點 時最大值為 .,,,[0 , ],1. 求z = 600x + 300y的最大值，使式 中的x，y滿足約束條件 ．,附加練習,分析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域即可行域再解．,,,2x + y = 0,,z max = 600×70 + 300×90 = 69000．,,2. 已知x、y滿足不等式組 求z = 3x + y的最小值．,附加練習,分析：可先找出可行域,平行移動直線l0：3x + y = 0，找出可行解，進而求出目標函數的最小值.,z min = 1．,,,l0：3x + y = 0,,3．滿足線性約束條件 的可行域內共有_______個整數點．,4,4．設z = x ? y，式中變量x，y滿足 求z的最大值和最小值．,z max = 1， z min = ? 3．,附加練習：,(1) 求z = 2x + y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件,附加練習5,小結,z max = 3．,(2) 求z = 3x + 5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件,小結,z max = 14， z min = ? 11.,1. 閱讀教材P90—94的內容． 2.教材P94習題第1題 (作業(yè)本上)．,作業(yè),,