2019-2020年高三上學(xué)期12月月考試題 數(shù)學(xué) 含答案 第I卷(必做題 共160分)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分把答案填在題中橫線上1已知復(fù)數(shù)，則z的實(shí)部為2如圖是一次青年歌手大獎(jiǎng)賽上七位評(píng)委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字09中的一個(gè))，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為，則的大小關(guān)系是_(填，)3命題是 命題 （選填“真”或“假”）4若長方體相鄰三個(gè)側(cè)面的面積分別是，則該長方體的體積是 5已知圓：，若直線與圓相切，且切點(diǎn)在第四象限，則6已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則曲線在處的切 線斜率為 7函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移_個(gè)單位長度得到8已知直線平面且，給出下列命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確的命題是_9已知點(diǎn)滿足則點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為10以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 _ 11已知ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)，使得，則的值為 12對(duì)任意，函數(shù)滿足，設(shè) ，數(shù)列的前15項(xiàng)的和為，則13若實(shí)數(shù)，滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為 14已知等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，其中都是大于1的正整數(shù)，且，對(duì)于任意的，總存在，使得成立，則_. 二、解答題：(本大題6小題，共90分)15(本題滿分14分)在銳角中,角、所對(duì)的邊長分別為、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面積為,求的值.16(本題滿分14分)在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn) (1)求證：平面； (2)若在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由17(本題滿分14分) 如圖所示，把一些長度均為4米（PAPB4米）的鐵管折彎后當(dāng)作骨架制作“人字形”帳蓬，根據(jù)人們的生活體驗(yàn)知道：人在帳蓬里“舒適感”k與三角形的底邊長和底邊上的高度有關(guān)，設(shè)AB為，AB邊上的高PH為y，則，若k越大，則“舒適感”越好。（1）求“舒適感” k的取值范圍；（2）已知M是線段AB的中點(diǎn)，H在線段AB上，設(shè)MHt，當(dāng)人在帳蓬里的“舒適感”k達(dá)到最大值時(shí)，求y關(guān)于自變量t的函數(shù)解析式；并求出y的最大值（請(qǐng)說明詳細(xì)理由）。18(本題滿分16分) 平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、且，以為圓心以為半徑的圓與以為圓心為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上(1)求橢圓的方程；(2) 若為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線 交橢圓：于 ，兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)(i)若，求的值；(ii)求四邊形面積的最大值19(本題滿分16分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對(duì)于任意,總有. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列,當(dāng)公差滿足時(shí),求的值并求這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和;(3)記,如果(),問是否存在正實(shí)數(shù),使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.20(本小題滿分16分) 設(shè)函數(shù).（1）對(duì)于任意，使得恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍第卷(附加題 共40分)21 已知矩陣，點(diǎn)，求線段在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到線段的長度22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系的點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正方向?yàn)闃O軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得直線的極坐標(biāo)方程為求直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)23. 如圖，在三棱錐中，平面， ，.點(diǎn)D在線段AB上，AD2DB. 求異面直線與PD所成角的余弦值； 求直線與平面所成角的余弦值24設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時(shí)間為，只與道路暢通狀況有關(guān)，對(duì)其容量為200的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：（分鐘）25303540頻數(shù)（次）40608020（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個(gè)50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時(shí)間不超過120分鐘的概率 12月考參考答案：第I卷(必做題)一、10 23真 4 5 6 7 892. 10 11 12 13 14102二、15解：(1) 為銳角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由題設(shè),得 聯(lián)立, 解得或 16(本題滿分14分)解：(I)連接 由是正方形可知，點(diǎn)為中點(diǎn) 又為的中點(diǎn)，所以 又， 所以平面 6分 (2)在線段上存在點(diǎn)，使 理由如下： 如圖，取中點(diǎn)，連接 在四棱錐中， 所以 由 所以由是正方形可知， 又 所以 而 所以，且 因?yàn)椋?所以 故在線段上存在點(diǎn)，使由為中點(diǎn)，得14分17解析：(1) 6分(2) ，14分18. 解：(I)由題意知，即，又因?yàn)椋?，所以橢圓的方程為 4分(2)(i)設(shè)，由題意知由，知，又因?yàn)?，所?8分(ii)設(shè)，將代入橢圓的方程，可得，由可得 又，所以因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以將代入橢圓的方程可得，由可得 令，則由及知，因此，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)由( i )知，16分19解：(1)當(dāng)時(shí),由已知,得. 當(dāng)時(shí),由,兩式相減得, 即,所以是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列所以() . 4分(2)由題意,故,即, .6分因?yàn)?故,令，所以單調(diào)增，又，故, 所以.所以所得等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為,共有項(xiàng)，所以這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和 ，所以, .10分(3)由(1)知,所以 .12分由題意,即對(duì)任意成立, 所以對(duì)任意成立 因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的,所以的最小值為. 所以.由得的取值范圍是. 所以,當(dāng)時(shí),數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列. .16分20（） 因?yàn)椋?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)，所以6分所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，8分由題意知，在上恒成立，所以8分（2）由得對(duì)恒成立， 時(shí)，不等式顯然成立9分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋匀?，則有，從而此時(shí)不等式不恒成立11分當(dāng)時(shí)，由()可知在上單調(diào)遞減，而， 成立13分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，不成立，15分綜上所述，當(dāng)或時(shí)，有對(duì)恒成立。16分第卷21 解析：設(shè)，則，所以，解得，即 由，知點(diǎn)，所以 22.解析：直線的直角坐標(biāo)方程為，故直線的傾斜角為曲線的普通方程為 ,由 , 解得. 所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為. 23證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，D(1,2,0) ，設(shè)BC與PD所成的角為，則,異面直線與PD所成角的余弦值為 5分 ，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得可取，則設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的余弦值為 10分 24（I）由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可得T的頻率分步為（分鐘）25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計(jì)概率得T的分布列為253035400.20.30.40.1從而 （分鐘）4分 (II)設(shè)分別表示往、返所需時(shí)間，的取值相互獨(dú)立，且與T的分布列相同.設(shè)事件A表示“唐教授共用時(shí)間不超過120分鐘”，由于講座時(shí)間為50分鐘，所以事件A對(duì)應(yīng)于“唐教授在途中的時(shí)間不超過70分鐘”.解法一：.解法二：故. 答：略。10分