2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 含答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1函數(shù)的定義域?yàn)?A B C D 2如果點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則 A B C D3命題：；命題：，則下列命題中為真命題的是結(jié)束是 否a<xx?輸出i開始A B C D4在中，則的面積等于A B C或 D或5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出結(jié)果是若，則所有可能的取值為A B C D 6已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，且，設(shè)與交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是 A B C D7已知平面向量，的夾角為，且，則的最小值為A B C D 18已知數(shù)列滿足下面說法正確的是當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列不一定有最大項(xiàng)； 當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng).A. B. C. D. 第二部分（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上頻率/組距0.040.050.12小時(shí)842610120.150.149某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況，抽查并統(tǒng)計(jì)了100名同學(xué)的某一周閱讀時(shí)間，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），那么這100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為_10在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 11直線與圓相交于,兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是_12一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是 ；表面積是 13實(shí)數(shù)滿足若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是 14所有真約數(shù)（除本身之外的正約數(shù)）的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)如：；已經(jīng)證明：若是質(zhì)數(shù)，則是完全數(shù)，.請寫出一個(gè)四位完全數(shù) ；又，所以的所有正約數(shù)之和可表示為；，所以的所有正約數(shù)之和可表示為；按此規(guī)律，的所有正約數(shù)之和可表示為 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15（本題滿分13分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小值；（）若，求的值16（本題滿分13分）甲、乙兩名同學(xué)參加“漢字聽寫大賽”選拔測試，在相同測試條件下，兩人5次測試的成績（單位：分）如下表：第1次第2次第3次第4次第5次甲5855769288乙6582878595（）請畫出甲、乙兩人成績的莖葉圖. 你認(rèn)為選派誰參賽更好？說明理由（不用計(jì)算）；（）若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取一個(gè)成績進(jìn)行分析，設(shè)抽到的兩個(gè)成績中，90分以上的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望17（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面，.（）求證：；BPDOACG（）設(shè)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，求證：面；（）若，求二面角的余弦值18（本題滿分13分）已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍19.已知橢圓兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,，且經(jīng)過點(diǎn)（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，試求直線的方程20（本題滿分13分）已知是正數(shù)， ，（）若成等差數(shù)列，比較與的大??；（）若，則三個(gè)數(shù)中，哪個(gè)數(shù)最大，請說明理由；（）若，（），且，的整數(shù)部分分別是求所有的值北京市朝陽區(qū)xx學(xué)年度高三年級第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)答案（理工類） xx.1一、選擇題題號12345678答案CCBDBAAC二、填空題題號91011121314答案三、解答題15解：（）因?yàn)?， 又，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為. 6分（）由（）得， 所以于是（舍）或 又 13分87569826甲乙557258516解：（）莖葉圖如右圖所示，由圖可知，乙的平均成績大于甲的平均成績，且乙的方差小于甲的方差，因此應(yīng)選派乙參賽更好 6分（）隨機(jī)變量的所有可能取值為，隨機(jī)變量的分布列是： 13分17證明：（）因?yàn)槠矫?，平面?所以 又因?yàn)?，且，所以平面又因?yàn)槠矫?，所?4分（）解法1:因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系DOBAPCGxyz設(shè)，則，又因?yàn)?，所以于是，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有 即 不妨設(shè)，則有，所以因?yàn)?，所以又因?yàn)槠矫?，所以平?9分CPDOAGEFBCPDOAGEF解法2：取中點(diǎn)，連，則.由已知可得,則點(diǎn)在上.連結(jié)并延長交于，連.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以,即為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以.B又平面,平面,所以平面 9分（）由（）可知平面的一個(gè)法向量 又因?yàn)槊?，所以面的一個(gè)法向量是 又，由圖可知，二面角為銳角， 所以二面角的余弦值為 14分18 解：（）定義域當(dāng)時(shí)，令，得當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).所以函數(shù)的極小值是 5分（）由已知得因?yàn)楹瘮?shù)在是增函數(shù)，所以，對恒成立由得，即對恒成立設(shè)，要使“對恒成立”，只要因?yàn)?，令得?dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).所以在上的最小值是故函數(shù)在是增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是 13分19解：（）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意，所以又，所以于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 5分（）依題意，顯然直線斜率存在.設(shè)直線的方程為，則由得因?yàn)?得 設(shè)，線段中點(diǎn)為，則于是因?yàn)?，線段中點(diǎn)為，所以（1）當(dāng)，即且時(shí)，整理得 因?yàn)?，所以，整理得，解得或?dāng)時(shí)，由不合題意舍去.由知，時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，（）若時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程中得.設(shè)，,依題意，若為等腰直角三角形，則.即，解得或.不合題意舍去，即此時(shí)直線的方程為.（）若且時(shí)，即直線過原點(diǎn).依橢圓的對稱性有,則依題意不能有,即此時(shí)不滿足為等腰直角三角形.綜上，直線的方程為或或. 14分20解：（）由已知得=因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，則，因?yàn)?，所以，即，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立 4分（）解法1：令，依題意，且，所以故，即；且，即所以且故三個(gè)數(shù)中，最大解法2：依題意，即因?yàn)?，所以，于是，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以且故三個(gè)數(shù)中，最大 8分（）依題意，的整數(shù)部分分別是，則，所以又，則的整數(shù)部分是或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（1） 當(dāng)時(shí)，的整數(shù)部分分別是，所以，所以，解得又因?yàn)?，所以此時(shí)（2）當(dāng)時(shí)，同理可得，所以，解得又，此時(shí)（3）當(dāng)時(shí)，同理可得，同時(shí)滿足條件的不存在綜上所述 13分