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2019-2020年高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理 含答案 說明： 一、本試卷分為第I卷和第II卷．第I卷為選擇題；第II卷為非選擇題，分為必考和選考兩部 分． 二、答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀答題卡上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題． 三、做選擇題時(shí)，每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用 橡皮將原選涂答案擦干凈后，再選涂其他答案． 四、考試結(jié)束后，將本試卷與原答題卡一并交回， 第I卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求． (1)函數(shù)的定義域?yàn)? (A)[0，3] (B)[1，3] (C)[1，+∞) (D)[3，+∞) (2)某品牌空調(diào)在元旦期間舉行促銷活動(dòng)，下面的莖葉圖表示某專賣店記錄的每天銷售量情況（單位：臺(tái)），則銷售量的中位數(shù)是 (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (3)"k<9’’是“方程表示雙曲線”的 (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 (4)設(shè)變量x、y滿足則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為 (A)7 (B) 8 (C) 22 (D) 23 (5)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若,則 (A)2 (B) (C) (D)l或2 (6)己知的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是 (A)(一∞，一1] (B)(一l，) (C)[－1，) (D)（0，） (7)執(zhí)行如圖所示的算法，則輸出的結(jié)果是 (A)1 (B) (C) (D)2 (8)右上圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積等于 (A) (B) (C)1 (D) (9)己知函數(shù),且在區(qū)間，上遞減，則＝ (A)3 (B)2 (C)6 (D)5 (10)4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘，每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用，則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有 (A) 24種 (B) 36種 (C) 48種 (D) 60種 (11)橢圓的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為 (A) (B) (C)， (D)一l 2 (12)設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意x[一1，1]都有≥0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (A)(-, 2] (B)[0+) (C)[0,2] (D)[1,2] 第II卷 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題中橫線上． (13)若復(fù)數(shù)z滿足z=i(2+z)（i為虛數(shù)單位），則z= 。 (14)過點(diǎn)A(3,1)的直線與圓C:相切于點(diǎn)B，則 ． (15)在三棱錐P-ABC中，PB=6，AC=3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為 ． (16)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2Sn –nan=n（n∈N*），若S20= -360，則a2=____． 三、解答題：本大題共70分，其中(17) - (21)題為必考題，(22)，(23)，(24)題為選考題．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． (17)（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且csinB=bcos C=3. (I)求b； ( II)若△ABC的面積為，求c． (18)（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°， PA =AB=AC． (I)求證：AC⊥CD; ( II)點(diǎn)E在棱PC上，滿足∠DAE＝60°，求二面甬B-AE -D的余弦值． (19)（本小題滿分12分） 某城市有東西南北四個(gè)進(jìn)入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時(shí)間段，時(shí)常發(fā)生交通擁堵現(xiàn)象，交 警部門統(tǒng)計(jì)11月份30天內(nèi)的擁堵天數(shù)．東西南北四個(gè)主干道入口的擁堵天數(shù)分別是18天，15天， 9天，15天．假設(shè)每個(gè)入口發(fā)生擁堵現(xiàn)象互相獨(dú)立，視頻率為概率． (I)求該城市一天中早高峰時(shí)間段恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵的概率； ( II)設(shè)翻乏示一天中早高峰時(shí)間段發(fā)生擁堵的主干道入口個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. (20)（本小題滿分12分） 已知拋物線y2= 2px(p>0)，過點(diǎn)C（一2，0）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，． (I)求拋物線的方程； ( II)當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線的方程． (21)（本小題滿分12分） 己知函數(shù)，直線與曲線切于點(diǎn)且與 曲線y=g（x）切于點(diǎn)(1，g(1))． (I)求a，b的值和直線的方程． ( II)證明： 請(qǐng)考生在第(22)，(23)，(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時(shí) 用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑． (22)（本小題滿分1 0分）選修4-1：幾何證明選講 如圖，四邊形么BDC內(nèi)接于圓，BD= CD，過C點(diǎn)的圓的切線與AB的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)． (I)求證：∠EAC＝2∠DCE； ( II)若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的長(zhǎng)． (23)(本小題滿分10)選修4—4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程 極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，斜率為的直線交y軸于點(diǎn)E(0,1). (I)求C的直角坐標(biāo)方程，的參數(shù)方程； ( II)直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|EA|+|EB |。 (24)（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)的最小值為a． (I)求a； ( II)已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m2+n2=a，求的最小值． 參考答案 一、 選擇題： A卷：BCAAB CAABD DC B卷：ACADB AACBD CD 二、填空題： （13）－1＋i （14）5 （15）8 （16）－1 三、解答題： （17）解： （Ⅰ）由正弦定理得sinCsinB＝sinBcosC， 又sinB≠0，所以sinC＝cosC，C＝45°． 因?yàn)閎cosC＝3，所以b＝3． …6分 （Ⅱ）因?yàn)镾＝acsinB＝，csinB＝3，所以a＝7． 據(jù)余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝25，所以c＝5． …12分 （18）解： P A D E B y z x C （Ⅰ）證明： 因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD， 因?yàn)椤螾CD＝90°，所以PC⊥CD， 所以CD⊥平面PAC， 所以CD⊥AC． …4分 （Ⅱ） 因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP兩兩垂直． 如圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以為x軸正方向，以||為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系． 則B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)． 設(shè)＝λ＝λ(0，1，－1)，則＝＋＝ (0，λ，1－λ)， 又∠DAE＝60°，則cosá，?＝， 即＝，解得λ＝． …8分 則＝(0，，)，＝－＝(－1，，－)， 所以cosá，?＝＝－． 因?yàn)椤ぃ?，所以⊥．又⊥， 故二面角B-AE-D的余弦值為－． …12分 （19）解： （Ⅰ）設(shè)東西南北四個(gè)主干道入口發(fā)生擁堵分別為事件A，B，C，D． 則P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝． 設(shè)一天恰有三個(gè)入口發(fā)生擁堵為事件M，則 M＝BCD＋ACD＋ABD＋ABC． 則P(M)＝×××＋×××＋×××＋××× ＝＝． …5分 （Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，4． P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝． ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 4 p E(x)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝． …12分 （20）解： （Ⅰ）設(shè)l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（*） 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則x1x2＝＝4． 因?yàn)椤ぃ?2，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12， 得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化為y2－4my＋8＝0． y1＋y2＝4m，y1y2＝8． …6分 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ① 又|AB|＝| y1－y2|＝， ② 由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2， 解得m2＝3，m＝±． 所以，直線l的方程為x＋y+2＝0，或x－y+2＝0． …12分 （21）解： （Ⅰ）f￠(x)＝aex＋2x，g￠(x)＝cos＋b， f(0)＝a，f￠(0)＝a，g(1)＝1＋b，g￠(1)＝b， 曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線為y＝ax＋a， 曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線為 y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1． 依題意，有a＝b＝1，直線l方程為y＝x＋1． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝ex＋x2，g(x)＝sin＋x． …5分 設(shè)F(x)＝f(x)－(x＋1)＝ex＋x2－x－1，則F￠(x)＝ex＋2x－1， 當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，F(xiàn)￠(x)＜F￠(0)＝0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，F(xiàn)￠(x)＞F￠(0)＝0． F(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增， 故F(x)≥F(0)＝0． …8分 設(shè)G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin， 則G(x)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝4k＋1（k∈Z）時(shí)等號(hào)成立． …10分 由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立， 因此f(x)＞g(x)． …12分 （22）解： （Ⅰ）證明：因?yàn)锽D＝CD，所以∠BCD＝∠CBD． 因?yàn)镃E是圓的切線，所以∠ECD＝∠CBD． 所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD． 因?yàn)椤螮AC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD． …5分 （Ⅱ）解：因?yàn)锽D⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB． 因?yàn)锽C＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC． 由切割線定理得EC2＝AE?BE，即AB2＝AE?( AE－AB)，即 AB2＋2 AB－4＝0，解得AB＝－1． …10分 （23）解： （Ⅰ）由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)， 即x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1) 2＋(y－1) 2＝2． l的參數(shù)方程為（t為參數(shù), t∈R） …5分 （Ⅱ）將代入(x－1) 2＋(y－1) 2＝2得t2－t－1＝0， 解得，t1＝，t2＝，則 |EA|＋|EB|＝| t1|＋| t2|＝|t1－t2|＝． …10分 （24）解： （Ⅰ）f(x)＝ 當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)的最小值a＝1． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知m2＋n2＝1，由m2＋n2≥2mn，得mn≤， 則＋≥2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝時(shí)取等號(hào)． 所以＋的最小值為2． …10分 注：如有其他答案，請(qǐng)參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分．