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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（含解析） 【試卷綜評(píng)】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生，有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，突出應(yīng)用，同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 一．選擇題(每小題5分，共60分) 【題文】1．設(shè)集合，，則的子集的個(gè)數(shù)是（ ） A．4 B．3 C ．2 D．1 【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算. A1 【答案解析】A 解析：由圖可知中有兩個(gè)元素，所以的子集的個(gè)數(shù)是4故選A. 【思路點(diǎn)撥】由集合中方程的圖像得中有兩個(gè)元素，所以的子集的個(gè)數(shù)4. 【題文】2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算. L4 【答案解析】B 解析：=，其共軛復(fù)數(shù)為：，所以選B. 【思路點(diǎn)撥】將已知復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化得 ，所以其共軛復(fù)數(shù)為： 【題文】3．下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若命題都是真命題，則命題“”為真命題 B．命題“若，則或”的否命題為“若則或” C．命題“”的否定是“” D．“”是“”的必要不充分條件 【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件；基本邏輯聯(lián)結(jié)詞及量詞. A2 A3 【答案解析】C 解析：若命題都是真命題，則命題“”是假命題，故A錯(cuò)；命題“若，則或”的否命題為“若則且”，故B錯(cuò)；“”是“”的充分不必要條件，故D錯(cuò)；所以選C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件；基本邏輯聯(lián)結(jié)詞及含量詞的命題的否定，確定個(gè)選項(xiàng)的正誤. 【題文】4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，已知這個(gè)幾何體的體積為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖. G2 【答案解析】B 解析：此幾何體是四棱錐，其底面為橫邊長(zhǎng)5 縱邊長(zhǎng)6的矩形，高為.由棱錐體積公式得： 解得：，故選B. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖得：此幾何體是四棱錐，由棱錐體積公式求得值. 【題文】5．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】解不等式. E8 【答案解析】A 解析：由得：；由得： 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A. 【思路點(diǎn)撥】在分段函數(shù)的每一段上解不等式，最后取各段解集的并集. 【題文】6．若，則向量與的夾角為（ ） A． B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算. F1 【答案解析】C 解析：因?yàn)?，所以以向量為鄰? 的平行四邊形是矩形，且向量與夾角，由圖易知向量與的夾角為 ，故選C. 【思路點(diǎn)撥】由已知等式得：以向量為鄰邊的平行四邊形是矩形，且向量與夾角，由圖易知向量與的夾角為. 【題文】7．已知，，，，則 （ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)值大小的比較. E1 【答案解析】D 解析： 且，，故選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件把分成正數(shù)和負(fù)數(shù)兩類，得，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，所以. 【題文】8．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列. D3 【答案解析】D 解析：由得， 所以，故選D. 【思路點(diǎn)撥】先由等比數(shù)列通項(xiàng)公式及已知條件求得公比q,再由求得. 【題文】9．右邊程序運(yùn)行后，輸出的結(jié)果為 （ ） i=1 s=0 p=0 WHILE i＜＝xx p=i*（i+1） s=s+1/p i=i+1 WEND PRINT s END A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖. L1 【答案解析】C 解析：程序執(zhí)行的結(jié)果為： 因?yàn)椋? 所以 ，故選C. 【思路點(diǎn)撥】程序執(zhí)行的結(jié)果是可以用列項(xiàng)求和的式子，故用列項(xiàng)求和法求得結(jié)果. 【題文】10．設(shè)變量滿足，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃. E5 【答案解析】B 解析：目標(biāo)函數(shù)的最小值為，即直線的縱截距最大值為1.由圖可知最優(yōu)解是方程組的解，即，代入 得：，故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意確定目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解，進(jìn)而得到值. 【題文】_ D _ C _ B _ A _ 11．如圖，四面體中，，，平面平面，若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（） A． B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】多面體與球；球的體積. G8 【答案解析】C 解析：因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以平面, 所以,因?yàn)?所以,所以平面ACD,所以 ,易得，設(shè)BC中點(diǎn)為O,則：OA=OB=OC=OD= ,即點(diǎn)O是四面體外接球的球心，所以該球的體積為：，故選C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件確定線段的中點(diǎn)為球心，球半徑為,進(jìn)而得到球的體積. 【題文】12．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為,則當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，雙曲線的離心率為 （ ） A. B. C. D.2 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線及其幾何性質(zhì). H6 【答案解析】A 解析：設(shè)：則，解的 故選A. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，消去得的等量關(guān)系，從而求得離心率. 二．填空題(每小題5分，共20分) 【題文】13．曲線與直線及軸所圍成的圖形的面積是 ． 【知識(shí)點(diǎn)】定積分與微積分基本定理. B13 【答案解析】 解析：所求. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定積分的幾何意義及微積分基本定理求得結(jié)論. 【題文】14．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ． 【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)的定義及性質(zhì). B4 【答案解析】－2 解析： 為定義在上的奇函數(shù)，得， . 【思路點(diǎn)撥】由處有意義的奇函數(shù)的性質(zhì)：得，在由奇函數(shù)的定義求得-2. 【題文】15．已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為5，則 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用. J3 【答案解析】－1 解析：因?yàn)榈恼归_(kāi)式中，含的項(xiàng)為: ,所以,解得：. 【思路點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)式定理及多項(xiàng)式乘法的意義，得到的展開(kāi)式中的系數(shù)的表達(dá)式，從而求得. 【題文】16．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則= . 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的前項(xiàng)和. D4 【答案解析】3019 解析：當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 而， ， 又 . 【思路點(diǎn)撥】先按n的奇偶性將通項(xiàng)公式變形，得所有奇數(shù)項(xiàng)為1，所有偶數(shù)項(xiàng)從開(kāi)始每?jī)身?xiàng)的和為零，由此規(guī)律求得結(jié)論. 三．解答題(共70分，解答須寫出解題過(guò)程和推演步驟) 【題文】17．（本題滿分12分） 在△中，角的對(duì)邊分別為.已知，， 且 (1) 求角的大小； （2）求△的面積. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)單元綜合. C9 【答案解析】（1）C=60°（2） 解析：(1) ∵A+B+C=180° 由 ∴ 整理，得 …4分 解 得： ……5分 ∵ ∴C=60° ………6分 （2）解由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab ∴ ， 由條件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分 ……10分 ∴ …………12分 【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式將化為 求得，因?yàn)椋訡=60°. （2）由（1）及和余弦定理得：7=a2+b2－ab，又a+b=5，所以， ∴. 【題文】18. （本題滿分12分） 在一次數(shù)學(xué)考試中，第22題和第23題為選做題. 規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題. 設(shè)某4名考生選做每一道題的概率均為 . （1）求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率； （2）設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望. 【知識(shí)點(diǎn)】概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列. K5 K6 【答案解析】（1） ；（2）變量的分布列為： 0 1 2 3 4 解析：（1）設(shè)事件表示“甲選做第21題”，事件表示“乙選做第21題”，則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”，且事件、相互獨(dú)立. ∴=. （2）隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且～. ∴ ∴變量的分布列為： 0 1 2 3 4 （或） 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得：所求;(2)易知隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且～.由此可求得變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【題文】19.（本題滿分12分） 已知在四棱錐中，底面是矩形， 且，，平面，、分 別是線段、的中點(diǎn)． （1）證明： （2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由. （3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值 【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何單元綜合. G12 【答案解析】（1）略； (2)點(diǎn)G是線段AP上距點(diǎn)A近的四等分點(diǎn)，理由略；（3） 解析：解法一：（1）∵ 平面，，，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．…………2分 不妨令∵，∴， 即．…………………………4分 （Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，由，得，令，解得：．∴． ……………6分 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，要使∥平面，只需，即，得，從而滿足的點(diǎn)即為所求．……………………………8分 （Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，……9分 又∵平面，∴是與平面所成的角， 得，，平面的法向量為 ……10分 ∴， 故所求二面角的余弦值為．………12分 解法二：（Ⅰ）證明：連接，則，， 又，∴ ，∴ ……2分 又，∴ ，又， ∴ ……4分 （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則∥平面，且有…5分 再過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則∥平面且，∴ 平面∥平面 …7分 ∴ ∥平面．從而滿足的點(diǎn)即為所求．……………8分 （Ⅲ）∵平面，∴是與平面所成的角，且． ∴ ……………………………………………9分 取的中點(diǎn)，則，平面， 在平面中，過(guò)作，連接，則， 則即為二面角的平面角………………10分 ∵∽，∴ ，∵，且 ∴ ，，∴ ……12分 【思路點(diǎn)撥】法一：(1)空間向量法.建立空間直角坐標(biāo)系，得到直線PF、DF的方向向量，由方向的積為零得結(jié)論法,(2)先求平面PFD的法向量，再設(shè)出G點(diǎn)坐標(biāo)，由得點(diǎn)G位置.(3)找出二面角兩半平面的法向量，求兩法向量的余弦值； 法二：（1）連接AF,證明平面PAF;（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，此時(shí) ∥平面且. （3）找出二面角的平面角：取的中點(diǎn)、PD中點(diǎn)N,可證得為所求二面角的平面角，再求這個(gè)角的余弦值. 【題文】20.（本小題滿分12分） 已知定點(diǎn)，，滿足的斜率乘積為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線. (1)求曲線的方程; (2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線的交點(diǎn)為，與過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線交于點(diǎn)，又已知點(diǎn),試判斷以為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并證明。 【知識(shí)點(diǎn)】曲線與方程；直線與圓錐曲線；直線與圓的位置關(guān)系. H9 H8 H4 【答案解析】(1) ;(2) 直線PF與BD為輔直徑的圓M相切,證明：略. 解析：(1)設(shè)， 得.………4分 (2)設(shè)代入得 得 ………6分 當(dāng)時(shí),,, ………8分 又得,PD的中點(diǎn)，圓M的半徑. 圓心M到時(shí)直線PF距離，……11分 當(dāng) . 綜上，直線PF與BD為輔直徑的圓M相切?！?2分 【思路點(diǎn)撥】(1) 設(shè)，得 (2)設(shè)出直線AP方程，從而求得點(diǎn)P坐標(biāo)，由圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系得結(jié)論. 【題文】21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù) ，且. （1）若在處取得極值，求的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間； （3）若的最小值為1，求的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. B12 【答案解析】（1）1; (2) 當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為 無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間， 當(dāng)時(shí)， （3） 解析：（1）……2分 ∵在x=1處取得極值，∴解得…3分 （2） ∵ ∴ ①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間 ∴的單調(diào)增區(qū)間為………5分 ②當(dāng)時(shí)，由 ∴………8分 （3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）①知，………10分 當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）②知，在處取得最小值 綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是……12分 【思路點(diǎn)撥】（1）由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值為零得值；（2）由導(dǎo)函數(shù)大于零得單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于零得單調(diào)減區(qū)間. (3)結(jié)合（2）確定函數(shù)取得最小值的點(diǎn)， 通過(guò)此點(diǎn)的函數(shù)值與1比較得a的取值范圍. 選考題：請(qǐng)考生在第（22）、（23）兩題中任選一題作答.注意：如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分. 【題文】22.（本題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. （1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程； （2）設(shè)曲線與直線相交于兩點(diǎn)，以為一條邊作曲線的內(nèi)接矩形，求該矩形的面積。 【知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)與參數(shù)方程. N3 【答案解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：.直線的普通方程為： ；（2）； 解析：（1）對(duì)于：由，得， 進(jìn)而.……2分 對(duì)于：由（為參數(shù)），得， 即.………4分 （2）由（1）可知為圓，圓心為，半徑為2， 弦心距，…6分. 弦長(zhǎng)，……8分. 因此以為邊的圓的內(nèi)接矩形面積……10分 【思路點(diǎn)撥】（1）利用公式，將曲線的極坐標(biāo)方程為 化為直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)t得 直線的普通方程.（2）由點(diǎn)到直線的距離公式求得弦心距d，進(jìn)一步求出弦長(zhǎng)|PQ| 再利用求值. 【題文】23. （本題滿分10分）選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域； （2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，試求的取值范圍? 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域；不等式恒成立；函數(shù)的最值. N4 【答案解析】（1）；（2）. 解析：（1）當(dāng)時(shí)，， 由，得或或， 解得或 即函數(shù)的定義域?yàn)?------（5分） （2）由題可知恒成立，即恒成立， 而，所以， 即的取值范圍為. -----（10分） 【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)時(shí)，，由分段討論得原函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則恒成立，即恒成立，所以只需求的最小值，此最小值為1，所以.