2019-2020年高三數(shù)學(xué) 考點(diǎn)總動(dòng)員05 函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性） 文（含解析）【考點(diǎn)分類(lèi)】熱點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性1【xx高考安徽卷文第5題】設(shè)則（ ）A B C D2【xx高考北京卷文第2題】下列函數(shù)中，定義域是且為增函數(shù)的是（ ） A B C D3【xx高考福建卷文第8題】若函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列函數(shù)正確的是（ ）4【xx高考陜西卷文第7題】下了函數(shù)中，滿(mǎn)足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（A） （B） （C） （D）5【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）文】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）（A） (B) （C） (D) 6【xx高考天津卷卷文第12題】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_【方法規(guī)律】1對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：(1)可以結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)求解(2)可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之但是，對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，一般采用定義法進(jìn)行2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定單調(diào)性的方法一致(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，求單調(diào)區(qū)間(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義確定單調(diào)區(qū)間(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：f(x)在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則f(x1)<f(x2) f(x1)f(x2)<0，若函數(shù)是增函數(shù)，則f(x1)< f(x2)x1<x2，函數(shù)不等式(或方程)的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式(或方程)求解，但無(wú)論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行【易錯(cuò)點(diǎn)睛】誤區(qū)1 用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，錯(cuò)用“自己證明自己”而致錯(cuò)（循環(huán)論證）【例1】（xx廣州綜合測(cè)試）證明：函數(shù)f(x)在0，)上是增函數(shù)【錯(cuò)證】設(shè)0x1x2，則f(x1)f(x2)，所以，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函數(shù)f(x)在0，)上是增函數(shù)【剖析】該證法犯了邏輯上的循環(huán)論證的錯(cuò)誤，本來(lái)要證明f(x)在0，)上是增函數(shù)，可在由x1x2得到時(shí)，就用到了f(x)在0，)上是增函數(shù)的結(jié)論，犯下了“自己證明自己”的錯(cuò)誤誤區(qū)2求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，忽視函數(shù)的定義域而致錯(cuò)【例2】（xx浙江寧波十校聯(lián)考）求y的單調(diào)區(qū)間【錯(cuò)解】令tx24x12，則tx24x12在(，2上遞減，在2，)上遞增，又y是增函數(shù)，所以y的單調(diào)區(qū)間是(，2與2，)，其中在(，2上遞減，在2，)上遞增【剖析】上述解答錯(cuò)誤的原因是忽視了函數(shù)的定義域x|x2或x6【正解】由x24x120，得x2或x6，令tx24x12，則t(x2)216在(，2上是減函數(shù)，在2，)上是增函數(shù)又y是增函數(shù)，所以y的單調(diào)區(qū)間是(，2與6，)，其中在(，2上遞減，在6，)上遞增【點(diǎn)撥】求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，必須考慮函數(shù)的定義域，建立“定義域優(yōu)先”意識(shí)誤區(qū)3 忽視隱含條件致誤【例3】已知f(x)是(，)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是()A(0，1) B(0，) C，) D，1)【錯(cuò)解】誤選B項(xiàng)的原因只是考慮到了使得各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為減函數(shù)的條件，要知道函數(shù)在R上為減函數(shù)，還需使得f(x)(3a1)x4a在x1上的最小值不小于f(x)logax在x1上的最大值，多數(shù)考生易漏掉這一限制條件而造成失誤【正解】據(jù)題意使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，只需滿(mǎn)足：a故選C【點(diǎn)評(píng)】一般地，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b)上為增函數(shù)，在區(qū)間b，c上為增函數(shù)，則不一定說(shuō)明函數(shù)f(x)在a，c為增函數(shù)，如圖（1），由圖像可知函數(shù)f(x)在a，c上整體不呈上升趨勢(shì)，故此時(shí)不能說(shuō)f(x)在a，c上為增函數(shù)，若圖象滿(mǎn)足如圖（2），即可說(shuō)明函數(shù)在a，c上為增函數(shù)，即只需f(x)在a，b)上的最大值不大于f(x)在b，c上的最小值即可，同理減函數(shù)的情況依據(jù)上述思路也可推得相應(yīng)結(jié)論需注意以下兩點(diǎn)：(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集，如果一個(gè)函數(shù)在其定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)(或減函數(shù))，不能認(rèn)為這個(gè)函數(shù)在其定義域上就是增函數(shù)(或減函數(shù))，例如函數(shù)f(x)在(，0)上是減函數(shù)，在(0，)上也是減函數(shù)，但不能說(shuō)f(x)在(，0)(0，)上是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x11，x21時(shí)，有f(x1)1f(x2)1不滿(mǎn)足減函數(shù)的定義(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間)有多個(gè)時(shí)，一般不能直接用“”將它們連接起來(lái)，例如：函數(shù)yx33x的單調(diào)增區(qū)間有兩個(gè)：(，1)和(1，)不能寫(xiě)成(，1)(1，)熱點(diǎn)二 函數(shù)的奇偶性1【xx高考廣東卷文第5題】下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）A B C D【答案】A2【xx高考全國(guó)1卷文第5題】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A是偶函數(shù) B 是奇函數(shù) C 是奇函數(shù) D 是奇函數(shù)3【xx高考重慶卷文第4題】下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（ ） 4【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）文科】定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù)，中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A B C D【答案】C【解析】奇函數(shù)的為與，和為非奇非偶函數(shù)，故選C5【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）文科】已知f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，則g（1）等于（ ）A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】因?yàn)椋瑑墒较嗉涌傻?【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（遼寧卷）文科】已知函數(shù)（ ）A B C D 7【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， ，則 ( )A B C D 【答案】A【解析】8【xx高考湖南卷文第15題】若是偶函數(shù)，則_【答案】9【xx年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試江蘇數(shù)學(xué)試題】已知是定義在上的奇函數(shù) 當(dāng)時(shí)，則不等式的解集用區(qū)間表示為 10【xx高考上海文第20題】設(shè)常數(shù)，函數(shù)（1） 若=4，求函數(shù)的反函數(shù)；（2） 根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由性的定義可知函數(shù)具有奇偶性，在時(shí)，函數(shù)的定義域是，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【方法規(guī)律】1判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法一般地，對(duì)于較簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式，可通過(guò)定義直接作出判斷；對(duì)于較復(fù)雜的解析式，可先對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用定義進(jìn)行判斷利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(2)圖象法奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)因此要證函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，只需證明此函數(shù)是奇函數(shù)即可；要證函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，只需證明此函數(shù)是偶函數(shù)即可反之，也可利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性去判斷函數(shù)的奇偶性(3)組合函數(shù)奇偶性的判定方法兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和、差還是奇(偶)函數(shù)，一奇一偶之和為非奇非偶函數(shù)奇偶性相同的兩函數(shù)之積(商)為偶函數(shù)，奇偶性不同的兩函數(shù)之積(商)(分母不為0)為奇函數(shù)復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶”(4)分段函數(shù)的奇偶性判定分段函數(shù)應(yīng)分段討論，注意奇偶函數(shù)的整體性質(zhì)，要避免分段下結(jié)論，如典例1(3)只有得到當(dāng)x0時(shí)都有f(x)f(x)才能給出偶函數(shù)的結(jié)論2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用技巧(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)常常采用待定系數(shù)法，利用f(x)±f(x)0得到關(guān)于x的恒等式，由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得字母的值(3)奇偶性與單調(diào)性的綜合問(wèn)題要注意奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反【易錯(cuò)點(diǎn)睛】函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)，其定義中要求f(x)和f(x)必須同時(shí)存在，所以函數(shù)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這是函數(shù)具有奇偶性的前提如果某一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它一定是非奇非偶函數(shù)誤區(qū)不明分段函數(shù)奇偶性概念致錯(cuò)【例1】（xx北京東城期末）判斷f(x)的奇偶性【錯(cuò)解】當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)所以f(x)是奇函數(shù)【剖析】漏x0情況【正解】盡管對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)不為零的x，都有f(x)f(x)成立，但當(dāng)x0時(shí)，f(0)3f(0)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)熱點(diǎn)三 函數(shù)的周期性1【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）文科】x為實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則函數(shù)在上為（ ）A奇函數(shù) B偶函數(shù) C增函數(shù) D 周期函數(shù)2【xx高考四川卷文第13題】設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則 3【xx年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題大綱全國(guó)文科】設(shè)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 【方法規(guī)律】1 (1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫f(x)的周期如果所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫f(x)的最小正周期(2)周期函數(shù)不一定有最小正周期，若T0是f(x)的周期，則kT(kZ)(k0)也一定是f(x)的周期，周期函數(shù)的定義域無(wú)上、下界2 函數(shù)周期性的相關(guān)結(jié)論設(shè)a是非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域內(nèi)的任意x，恒有下列條件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)；f(xa)；f(xa)f(xa)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期(以上各式中分母均不為零)【解題技巧】求函數(shù)周期的方法求一般函數(shù)周期常用遞推法和換元法，形如yAsin(x)，用公式T計(jì)算遞推法：若f(xa)f(x)，則f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a換元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，則f(t)f(t2a)，所以周期T2a熱點(diǎn)四 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1【xx高考湖南卷文第4題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ） 2【xx高考大綱卷文第12題】奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)=1，則f(8)+f(9)= （ ）A 2 B1 C 0 D 13【xx年全國(guó)高考統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（文）卷】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)， 且在區(qū)間單調(diào)遞增 若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足， 則a的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 4【xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）理科】設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）若曲線上存在點(diǎn)使，則的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）5【xx高考安徽卷文第14題】若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則6【xx高考全國(guó)2卷文第15題】偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則=_【方法規(guī)律】1解這類(lèi)綜合題的一般方法在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，根據(jù)簡(jiǎn)圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，就可以把抽象問(wèn)題變的直觀形象、復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，對(duì)問(wèn)題的解決有很大的幫助（1）一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號(hào)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。唬?）畫(huà)函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置，然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對(duì)稱(chēng)區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象2 函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性之間內(nèi)在聯(lián)系若函數(shù)有兩條對(duì)稱(chēng)軸(或兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，或一對(duì)稱(chēng)軸一對(duì)稱(chēng)中心)，則該函數(shù)必是周期函數(shù)特別地，有以下結(jié)論(其中a0)：若f(x)有對(duì)稱(chēng)軸xa，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為2a；若f(x)有對(duì)稱(chēng)軸xa，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為4a；若f(x)有對(duì)稱(chēng)中心(a，0)，且是偶函數(shù)，則f(x)的周期為4a；若f(x)有對(duì)稱(chēng)中心(a，0)，且是奇函數(shù)，則f(x)的周期為2a【易錯(cuò)點(diǎn)睛】誤區(qū)1函數(shù)的性質(zhì)挖掘不全致誤【例1】奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對(duì)常數(shù)T0，恒有f(xT)f(x)，則在區(qū)間0，2T上，方程f(x)0根的個(gè)數(shù)至少有 ()A3個(gè) B4個(gè) C5個(gè) D6個(gè)【錯(cuò)解】由f(x)是R上的奇函數(shù)，得f(0)0x10再由f(xT)f(x)得f(2T)f(T)f(0)0x2T，x32T即在區(qū)間0，2T上，方程f(x)0根的個(gè)數(shù)最小值為3個(gè)【剖析】本題的抽象函數(shù)是奇函數(shù)與周期函數(shù)的交匯即解時(shí)要把抽象性質(zhì)用足，不僅要充分利用各個(gè)函數(shù)方程，還要注意方程和互動(dòng)【正解】由方程得f(0)0x10再由方程得f(2T)f(T)f(0)0x2T，x32T又f(x)f(x)，令x0得f()f()又f()f()，f()0，x4再由得f(T)0x5，故方程f(x)0至少有5個(gè)實(shí)數(shù)根故選C誤區(qū)2忽視隱含條件的挖掘致誤【例2】（xx江蘇模擬）設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1上，f(x)其中a，bR若f()f()，則a3b的值為_(kāi)【錯(cuò)解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以f()f(2)f()，即f()f()又因?yàn)閒()a1，f()，所以a1，3a2b2【剖析】(1)轉(zhuǎn)化能力差，不能把所給區(qū)間和周期聯(lián)系起來(lái)；(2)挖掘不出f(1)f(1)，從而無(wú)法求出a、b的值【正解】因?yàn)閒(x)的周期為2，所以f()f(2)f()，即f()f()又因?yàn)閒()a1，f()，所以a1整理，得a(b1)又因?yàn)閒(1)f(1)，所以a1，即b2a 將代入，得a2，b4所以a3b23×(4)10【考點(diǎn)剖析】一最新考試說(shuō)明：1理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明函數(shù)的單調(diào)性2理解函數(shù)的奇偶性，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性3利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值二命題方向預(yù)測(cè)：1利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性是高考考查的熱點(diǎn)3函數(shù)奇偶性的判斷、利用奇偶函數(shù)圖象特點(diǎn)解決相關(guān)問(wèn)題、利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值等問(wèn)題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)3題型以選擇題和填空題為主，函數(shù)性質(zhì)其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題三課本結(jié)論總結(jié)：1奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反 注意：確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法、性質(zhì)法等2若奇函數(shù)定義域中有0，則必有即的定義域時(shí)，是為奇函數(shù)的必要非充分條件 對(duì)于偶函數(shù)而言有：3確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等4若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則可以表示為，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和5既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)（，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意一個(gè)數(shù)集）6復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同增異減”；復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化（即復(fù)合有意義）7函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱(chēng)推廣一：如果函數(shù)對(duì)于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對(duì)稱(chēng)推廣二：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對(duì)稱(chēng)8函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對(duì)稱(chēng)推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)（由“和的一半確定”）9函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)推廣：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)10函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)推廣：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線是；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)曲線是11曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（逆時(shí)針橫變?cè)俳粨Q）特別：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得曲線是（順時(shí)針縱變?cè)俳粨Q）特別：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，若有反函數(shù)，則得12類(lèi)比“三角函數(shù)圖像”得：若圖像有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為若圖像有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，則是周期函數(shù)，且一周期為如果函數(shù)的圖像有下一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心和一條對(duì)稱(chēng)軸，則函數(shù)必是周期函數(shù)，且一周期為如果是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為，那么特別：若恒成立，則若恒成立，則若恒成立，則如果是周期函數(shù)，那么的定義域“無(wú)界”四、名師二級(jí)結(jié)論：一個(gè)防范函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制例如函數(shù)y分別在(，0)，(0，)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說(shuō)它在整個(gè)定義域即(，0)(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開(kāi)寫(xiě)，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)和(0，)，不能用“”連接一條規(guī)律函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件注意：分段函數(shù)判斷奇偶性應(yīng)分段分別證明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱(chēng)的兩段上都滿(mǎn)足相同的關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性?xún)蓚€(gè)應(yīng)用1已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式抓住奇偶性討論函數(shù)在各個(gè)分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性產(chǎn)生關(guān)于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式2已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(x)0產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式，由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值三種方法判斷函數(shù)單調(diào)性的三種方法方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的奇偶性的三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法在判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，為了便于判斷，有時(shí)需要將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，或應(yīng)用定義的變通形式：f(x)±f(x)f(x)±f(x)0±1，f(x)0四條性質(zhì)1若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)02設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇3奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性4若f(x)是偶函數(shù)，則有f(-x)f(x)f(|x|)五、課本經(jīng)典習(xí)題：(1)新課標(biāo)人教A版必修一第36頁(yè)練習(xí)第1（3）題判斷下列函數(shù)的奇偶性：【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行多角度變式變式題：關(guān)于函數(shù)，有下列命題：其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；的最小值是；在區(qū)間上是增函數(shù)；無(wú)最大值，也無(wú)最小值其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 解： 為偶函數(shù)，故正確；令，則當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，錯(cuò)誤，正確，故選(2)新課標(biāo)人教A版必修一第44頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第八題設(shè)，求證：（1）；（2）【經(jīng)典理由】典型的鞏固定義題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展改編：設(shè)定在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：，則解：由得 由所求式子特征考查：(3)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第3題對(duì)于函數(shù)（1）探索函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使為奇函數(shù)？【經(jīng)典理由】典型的函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展改編 對(duì)于函數(shù)（1）用定義證明：在R上是單調(diào)減函數(shù)；（2）若是奇函數(shù)，求a值；（3）在（2）的條件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）0證明：（1）設(shè)，則f（）-f（）=-=-0，0，0即f（）-f（）0f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)（2）是奇函數(shù)，f（0）=0a=-1（3）由（1）（2）可得在R上是單調(diào)減函數(shù)且是奇函數(shù)，f（2t+1）+f（t-5）0轉(zhuǎn)化為f（2t+1）-f（t-5）=f（-t+5），2t+1-t+5t，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）0的解集為：t|t(4)新課標(biāo)人教A版必修一第83頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第4題設(shè)，求證：（1）；（2）；（3）【經(jīng)典理由】典型的證明函數(shù)性質(zhì)題，可以進(jìn)行改編、變式或拓展改編1：設(shè)，給出如下結(jié)論：對(duì)任意，有；存在實(shí)數(shù)，使得；不存在實(shí)數(shù)，使得；對(duì)任意，有；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是解：對(duì)于：對(duì)于：，即恒有；對(duì)于：，故不存在，使對(duì)于：，故正確的有改編2：已知函數(shù)滿(mǎn)足，且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是解：，得，即，解得，即得，參數(shù)分離得，因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的解滿(mǎn)足），所以六考點(diǎn)交匯展示：(1)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯例1【xx高考湖北卷文第9題】已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)的集合為（ ）A B C D (2) 函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點(diǎn)交匯例2【xx高考江蘇卷第13題】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (3) 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性的交點(diǎn)問(wèn)題例3【穩(wěn)派xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】已知函數(shù)和都是定義在R上的偶函數(shù)，若時(shí)，則為（ ）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C零 D不能確定【答案】A【解析】試題分析：函數(shù)是偶函數(shù)，又函數(shù)也是偶函數(shù)，函數(shù)既關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，故有，又當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)為增函數(shù)又，則，故選A考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性【考點(diǎn)特訓(xùn)】1【山東省濟(jì)南市xx屆高三高考第一次模擬考試】“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件2 【山東省棗莊市xx屆高三第一次模擬考試】若既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)( )A既是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)B既是周期函數(shù)，又是偶函數(shù)C不是周期函數(shù)，但是奇函數(shù)D不是周期函數(shù)，但是偶函數(shù)3 【山東省威海市xx屆高三上學(xué)期期末考試】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以區(qū)間關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以選B4 【安徽省皖南八校xx屆高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)且滿(mǎn)足，則 的值為( )A0 B 1 C 2 D45 【湖北省黃岡市黃岡中學(xué)xx屆高三五月第二次模擬考試】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，則方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是（ ） A8 B9 C10 D11 6【xx合肥二模數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)，則（ ） Axx B Cxx D【答案】D【解析】由題意，故選D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的求值7【xx年皖北協(xié)作區(qū)高三年級(jí)聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)文】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，若，則 8【xx安徽江南十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)文）】已知函數(shù)，若有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A B C D 9【xx安徽宿州高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)文】已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ）A1 B2 C0 D0或210 【北京市順義區(qū)xx屆高三第一次統(tǒng)考（文）】下列函數(shù)，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是 ( )A B C D 11【浙江省“六市六?！甭?lián)盟xx屆高考模擬考試】已知，定義，其中，則等于（ ）A B C D【答案】B12【xx年浙江省嘉興市xx屆高三3月教學(xué)測(cè)試（一）】若的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則( )A4 B C2 D13 【上海市六校xx屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題】下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為 （ ）（A） （B）（C） （D）考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性14 【河南省安陽(yáng)一中xx屆高三第一次月考4】如果在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍（ ）A B C D （0，）15 【浙江省溫州市十校聯(lián)合體xx屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考2】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 則 （ ）A B C D 16 【廣州市海珠區(qū)xx屆高三綜合測(cè)試（一）試題7】下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是( )ABCD選項(xiàng)C：在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)；選項(xiàng)D：在定義域R上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)；故選D考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性17 【廣東省惠州一中等六校xx屆高三8月聯(lián)考10】定義在R上的奇函數(shù)和定義在上的偶函數(shù)分別滿(mǎn)足，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A B C D 18 【四川省成都市xx屆高中畢業(yè)班摸底測(cè)試10】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為4，且當(dāng)x(1，3時(shí)，f(x)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A、4B、5C、6D、719【四川省廣安市xx屆高三診斷考試15】已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)(其中a為常數(shù))的敘述中:a>0，函數(shù)g(x)至少有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)有5個(gè)不同零點(diǎn)；aR，使得函數(shù)g(x)有6個(gè)不同零點(diǎn)；函數(shù)g(x)有8個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件是0<a<其中真命題有_(把你認(rèn)為的真命題的序號(hào)都填上)【答案】【解析】試題分析：畫(huà)出f(x)的圖象如圖令g（x）0，即f（x）2f（x）a0，20 【江蘇省蘇州市xx屆高三9月調(diào)研測(cè)試4】已知函數(shù)為奇函數(shù)則實(shí)數(shù)的值為 【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1【熱點(diǎn)1預(yù)測(cè)】若f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x)在0，+¥)上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：y=|f(x)|是偶函數(shù)；對(duì)任意的xÎR都有f(-x)+|f(x)|=0；y=f(-x)在(-¥，0上單調(diào)遞增；y=f(x)f(-x)在(-¥，0上單調(diào)遞增其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( ) A1B 2C3D42【熱點(diǎn)2預(yù)測(cè)】下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（ ）A B C D3【熱點(diǎn)3預(yù)測(cè)】已知，方程在0，1內(nèi)有且只有一個(gè)根，則在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為（ ）A2011 B1006 Cxx D1007【答案】C【解析】由，可知，所以函數(shù)的周期是2，由可知函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)在0，1內(nèi)有且只有一個(gè)根，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的個(gè)數(shù)為xx個(gè)，選C4【熱點(diǎn)4預(yù)測(cè)】函數(shù)的定義域?yàn)?，若且時(shí)總有，則稱(chēng)為單函數(shù)例如，函數(shù)是單函數(shù)下列命題:函數(shù)是單函數(shù)；函數(shù)是單函數(shù)；若為單函數(shù)，且，則；函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)其中的真命題是 (寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))5設(shè)為R上的奇函數(shù)，為R上的偶函數(shù)，且，則 （只需寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)解析式即可）