2019-2020年高三數(shù)學第一次月考試題 文（含解析）【試卷分析】試題中有相當一部分試題是對基本知識、基本技能、基本方法的考查應更多地在知識網(wǎng)絡的交匯點上設計試題，在綜合中考查能力.高中數(shù)學的主干知識在高考命題中的主要綜合有：“函數(shù)、方程、導數(shù)與不等式的綜合”、“函數(shù)與數(shù)列的綜合”、“三角、向量的綜合”等。數(shù)學思想方法是知識綜合的統(tǒng)帥和紐帶，是綜合能力的中心.數(shù)學思想總結提煉為：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、化歸思想、猜證結合思想。因此，自覺地、盡早地領悟數(shù)學思想方法，以綜合能力為重點和難點，強化訓練，使解題策略與方法明確化和系統(tǒng)化.一、選擇題（共12個小題，每小題5分，共60分）【題文】1已知集合A=xR|3x+20 , B=xR|（x+1）(x-3)0 則AB=( )A （-，-1） B （-1，-） C （-,3） D (3,+)【知識點】一元二次不等式的解法；交集及其運算 E3 A1【答案解析】D 解析：因為B=xR|（x+1）（x3）0=x|x1或x3，又集合A=xR|3x+20=x|x，所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3，故選D【思路點撥】求出集合B，然后直接求解AB【題文】2.已知命題，則是( )AB C D【知識點】命題的否定 A3【答案解析】C 解析：命題p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0是一個全稱命題，其否定是一個特稱命題，故¬p：x1，x2R，（f（x2）f（x1）（x2x1）0故選C【思路點撥】由題意，命題p是一個全稱命題，把條件中的全稱量詞改為存在量詞，結論的否定作結論即可得到它的否定，由此規(guī)則寫出其否定，對照選項即可得出正確選項.【題文】3.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為（ ）A y= B. y= C. y=xex D. 【知識點】正弦函數(shù)的定義域和值域；函數(shù)的定義域及其求法 B1【答案解析】D 解析：函數(shù)y=的定義域為xR|x0，對于A，其定義域為x|xk（kZ），故A不滿足；對于B，其定義域為x|x0，故B不滿足；對于C，其定義域為x|xR，故C不滿足；對于D，其定義域為x|x0，故D滿足；綜上所述，與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為：y=故選D【思路點撥】由函數(shù)y=的意義可求得其定義域為xR|x0，于是對A，B，C，D逐一判斷即可得答案【題文】4.下列命題中，真命題是（ ）A BC的充要條件是 D是的充分條件【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；全稱命題；特稱命題；命題的真假判斷與應用. A2 A3 【答案解析】D 解析：因為y=ex0，xR恒成立，所以A不正確；因為x=5時25（5）2，所以xR，2xx2不成立a=b=0時a+b=0，但是沒有意義，所以C不正確；a1，b1是ab1的充分條件，顯然正確故選D【思路點撥】利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷A的正誤；通過特例判斷，全稱命題判斷B的正誤；通過充要條件判斷C、D的正誤；【題文】5.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是( )A60 B54C48 D24【知識點】由三視圖求面積、體積. G2 【答案解析】A 解析：由三視圖知：幾何體是一個側面向下放置的直三棱柱，側棱長為4，底面三角形為直角三角形，直角邊長分別為3，4，斜邊長為5幾何體的表面積S=S棱柱側+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60故選：A【思路點撥】幾何體是一個側面向下放置的直三棱柱，根據(jù)三視圖判斷底面三角形相關幾何量的數(shù)據(jù)及棱柱的高的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱柱的表面積公式計算【題文】6. 如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（ ）A 3 B 4 C 5 D 8【知識點】循環(huán)結構 . L1【答案解析】B 解析：由題意循環(huán)中x，y的對應關系如圖：當x=8時不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出y=4故選B【思路點撥】列出循環(huán)中x，y的對應關系，不滿足判斷框結束循環(huán)，推出結果【題文】7.設，是兩個不同的平面，l是一條直線，給出下列說法：若l，則l；若l，則l；若l，則l；若l，則l.其中說法正確的個數(shù)為( ) A 1 B 2 C 3 D 0【知識點】空間中直線與平面之間的位置關系 G4 G5【答案解析】A 解析：若l，則l，或l，故錯；若l，則l或l，故錯；若l，則過l作兩個平面M，N，使平面M與，分別交于m1，m2，平面N與平面，交于n1，n2，則由得到m1m2，n1n2，由l，得lm1，ln1，故lm2，ln2，故l，故正確；若l，則l 或l，故錯故選：A【思路點撥】可舉反例，l，即可判斷；由線面平行的性質和面面平行的性質，即可判斷；運用線面垂直的判定，和面面平行的性質，即可判斷；由線面平行的性質和面面垂直的性質，即可判斷【題文】8.下列不等式一定成立的是（ ）A BC D【知識點】不等式比較大小 E1【答案解析】C 解析：A選項不成立，當x=時，不等式兩邊相等；B選項不成立，這是因為正弦值可以是負的，故不一定能得出sinx+2；C選項是正確的，這是因為x2+12|x|（xR）（|x|1）20，D選項不正確，令x=0，則不等式左右兩邊都為1，不等式不成立綜上，C選項是正確的.故選C【思路點撥】由題意，可對四個選項逐一驗證，其中C選項用配方法驗證，A，B，D三個選項代入特殊值排除即可.【題文】9.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3x-1時，f（x）=-（x+2）2，當-1x3時，f（x）=x. . 則f（1）+f（2）+f（3）+f（xx）=（ ）A. 335 B. 338 C. 1678 D. xx【知識點】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值B1 B4菁【答案解析】B 解析：f（x+6）=f（x），f（x）是以6為周期的函數(shù)，又當1x3時，f（x）=x，f（1）+f（2）=1+2=3，f（1）=1=f（5），f（0）=0=f（6）；當3x1時，f（x）=（x+2）2，f（3）=f（3）=（3+2）2=1，f（4）=f（2）=（2+2）2=0，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+21+0+（1）+0=1，f（1）+f（2）+f（3）+f（xx）=f（1）+f（2）+f（3）+f（xx）+f（2011）+f（xx）=335×1+f（1）+f（2）=338故選B【思路點撥】由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6為周期的函數(shù)，可根據(jù)題目信息分別求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案【題文】10正四棱錐的頂點都在同一球面上若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A. B 16 C 9 D. 【知識點】球內接多面體；球的體積和表面積. G8【答案解析】A 解析：設球的半徑為R，則棱錐的高為4，底面邊長為2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面積為4（）2=故選：A【思路點撥】正四棱錐PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積【題文】11.函數(shù)的圖象大致為【知識點】余弦函數(shù)的圖象；奇偶函數(shù)圖象的對稱性C3 B4【答案解析】D 解析：令y=f（x）=，f（x）=f（x），函數(shù)y=為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，可排除A；又當x0+，y+，故可排除B；當x+，y0，故可排除C；而D均滿足以上分析故選D【思路點撥】由于函數(shù)y=為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，可排除A，利用極限思想（如x0+，y+）可排除B，C，從而得到答案D【題文】12已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，則()Ac3 B3c6 C6c9 Dc9【知識點】函數(shù)值的意義；解不等式. B1 E1【答案解析】C 解析：由f（1）=f（2）=f（3）得，解得，f（x）=x3+6x2+11x+c，由0f（1）3，得01+611+c3，即6c9，故選C【思路點撥】由f（1）=f（2）=f（3）列出方程組求出a，b代入0f（1）3求出c的范圍二、填空題(共4個小題，每小題5分，共20分)【題文】13.某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高二年級抽取 名學生【知識點】分層抽樣方法 I1【答案解析】15 解析：高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3：3：4，高二在總體中所占的比例是=，用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，要從高二抽取，故答案為：15【思路點撥】根據(jù)三個年級的人數(shù)比，做出高二所占的比例，用要抽取得樣本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人數(shù).【題文】14函數(shù)f(x)lg x2的單調遞減區(qū)間是_【知識點】復合函數(shù)的單調性 B3【答案解析】（，0） 解析：方法一：y=lgx2=2lg|x|，當x0時，f（x）=2lgx在（0，+）上是增函數(shù)；當x0時，f（x）=2lg（x）在（，0）上是減函數(shù)函數(shù)f（x）=lgx2的單調遞減區(qū)間是（，0）故填（，0）方法二：原函數(shù)是由復合而成，t=x2在（，0）上是減函數(shù)，在（0，+）為增函數(shù)；又y=lgt在其定義域上為增函數(shù)，f（x）=lgx2在（，0）上是減函數(shù)，在（0，+）為增函數(shù)，函數(shù)f（x）=lgx2的單調遞減區(qū)間是（，0）故填（，0）【思路點撥】先將f（x）化簡，注意到x0，即f（x）=2lg|x|，再討論其單調性，從而確定其減區(qū)間；也可以函數(shù)看成由復合而成，再分別討論內層函數(shù)和外層函數(shù)的單調性，根據(jù)“同増異減”再來判斷【題文】15已知是奇函數(shù)，且，若，則 .【知識點】函數(shù)奇偶性的性質；函數(shù)的值B4 B1【答案解析】-1 解析：由題意，y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1故答案為1【思路點撥】由題意，可先由函數(shù)是奇函數(shù)求出f（1）=3，再將其代入g（1）求值即可得到答案【題文】16設是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中若，則的值為 【知識點】函數(shù)的周期性；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法 B4 B1【答案解析】-10 解析：f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，f（x）=，f（）=f（）=1a，f（）=；又=，1a= ，又f（1）=f（1），2a+b=0，由解得a=2，b=4；a+3b=10故答案為：10【思路點撥】由于f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，由f（x）的表達式可得f（）=f（）=1a=f（）=；再由f（1）=f（1）得2a+b=0，解關于a，b的方程組可得到a，b的值，從而得到答案 三、解答題（共6道大題，共70分）【題文】17設函數(shù)f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.記f(x)1的解集為M，g(x)4的解集為N.(1)求M；(2)當xMN時，證明：x2f(x)xf(x)2.【知識點】不等式的解法；交集及其運算 E1 A1【答案解析】（1）x|0x；（2）證明：略. 解析：(1)f(x)當x1時，由f(x)3x31得x，故1x；當x1時，由f(x)1x1得x0，故0x1.所以f(x)1的解集M=x|0x(2)由g(x)16x28x14得,x，因此N=x|x，故MN=x|0x當xMN時，f(x)1x，于是x2f(x)x·f(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x).【思路點撥】（）由所給的不等式可得 ，或 ，分別求得、的解集，再取并集，即得所求（）由g（x）4，求得N，可得MN=0，當xMN時，f（x）=1x，不等式的左邊化為，顯然它小于或等于 ，要證的不等式得證【題文】18某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生602080北方學生101020合計7030100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；(2)已知在被調查的北方學生中有5名數(shù)學系的學生，其中2名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率附：K2P(2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【知識點】獨立性檢驗的應用；古典概型及其概率計算公式I4 K2【答案解析】(1) 有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”(2) . 解析：(1)將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得24.762.由于4.7623.841，所以有95%的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”(2)從5名數(shù)學系學生中任取3人的一切可能結果所組成的基本事件空間(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，其中ai表示喜歡甜品的學生，i1，2，bj表示不喜歡甜品的學生，j1，2，3.由10個基本事件組成，且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的用A表示“3人中至多有1人喜歡甜品”這一事件，則A(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)事件A由7個基本事件組成，因而P(A).【思路點撥】（）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用公式，即可得出結論；（）利用古典概型概率公式，即可求解【題文】19如圖1­5，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，側棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(1)求證：平面ABE平面B1BCC1； (2)求證：C1F平面ABE；(3)求三棱錐E ­ ABC的體積 【知識點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定 G4 G5 G1【答案解析】(1)證明：略；（2）證明：略；（3） . 解析：(1)證明：在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因為ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.(2)證明：取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)，G分別是A1C1，BC，AB的中點，所以FGAC，且FGAC，EC1A1C1.因為ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因為EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(3)因為AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱錐E ­ ABC的體積VSABC·AA1×××1×2.【思路點撥】（）證明ABB1BCC1，可得平面ABEB1BCC1；（）證明C1F平面ABE，只需證明四邊形FGEC1為平行四邊形，可得C1FEG；（）利用VEABC=，可求三棱錐EABC的體積【題文】20已知函數(shù)f(x)exex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)(1)證明：f(x)是R上的偶函數(shù)(2)若關于x的不等式mf(x)ex m1在(0，)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【知識點】函數(shù)的奇偶性；不等式恒成立問題 B4 E8【答案解析】(1)證明：略；（2）m . 解析：(1)證明：因為對任意 xR，都有f(x)exe(-x)exexf(x)，所以f(x)是R上的偶函數(shù)(2)由條件知 m(exex1)ex1在(0，)上恒成立令 tex(x>0)，則 t>1，所以 m對任意 t>1成立因為t1 12 13, 所以 ，當且僅當 t2, 即x ln 2時等號成立因此 m 【思路點撥】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數(shù)；（2）利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）ex+m1在（0，+）上恒成立，進行轉化求最值問題即可求實數(shù)m的取值范圍【題文】21如圖在四棱錐A ­ BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90°，ABCD2，DEBE1，AC.(1)證明：AC平面BCDE；(2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值 【知識點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定G12【答案解析】（1）證明：略；（2） . 解析：(1)證明：連接BD，在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，從而AC平面BCDE.(2)在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2，得BDBC.又平面ABC平面BCDE，所以BD平面ABC.作EFBD，與CB的延長線交于點F，連接AF，則EF平面ABC.所以EAF是直線AE與平面ABC所成的角在RtBEF中，由EB1，EBF，得EF，BF；在RtACF中，由AC，CF，得AF.在RtAEF中，由EF，AF，得tanEAF.所以，直線AE與平面ABC所成的角的正切值是.【思路點撥】（）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，可得DF=DC=1=BE，于是四邊形BEDF是矩形，在RtBCF中，利用勾股定理可得BC=在ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得ACBC，再利用面面垂直的性質定理即可得出結論（）過點E作EMCB交CB的延長線于點M，連接AM由平面ABC平面BCDE，利用面面垂直的性質定理可得：EM平面ACB因此EAM是直線AE與平面ABC所成的角再利用勾股定理和直角三角形的邊角關系即可得出【題文】22函數(shù)f(x)ax33x23x(a0) (1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)，求a的取值范圍【知識點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值B12【答案解析】(1) a1時，是R上的增函數(shù)；0a1時，f(x)分別在(，)，(，)是增函數(shù)；f(x)在(，)是減函數(shù)；a0時，f(x)分別在(，)，(，)是增函數(shù)；f(x)在(，)是減函數(shù)（2）a的取值范圍）（0，+） 解析：(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判別式36(1a)(i)若a1，則f(x)0，且f(x)0當且僅當a1，x1時成立故此時f(x)在R上是增函數(shù)(ii)由于a0，故當a1時，f(x)0有兩個根；x1，x2.若0a1，則當x(，x2)或x(x1，)時，f(x)0，故f(x)分別在(，x2)，(x1，)是增函數(shù)；當x(x2，x1)時，f(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是減函數(shù)若a0，則當x(，x1)或(x2，)時，f(x)0，故f(x)分別在(，x1)，(x2，)是減函數(shù)；當x(x1，x2)時f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增函數(shù)(2)當a0，x0時，f(x)3ax26x30，故當a0時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)當a0時，f(x)在區(qū)間(1，2)是增函數(shù)當且僅當f(1)0且f(2)0，解得a0.綜上，a的取值范圍）（0，+）【思路點撥】（）求出函數(shù)的導數(shù)，通過導數(shù)為0，利用二次函數(shù)的根，通過a的范圍討論f（x）的單調性；（）當a0，x0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，當a0時，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，推出f（1）0且f（2）0，即可求a的取值范圍