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數字信號處理,習題解答,第1章 時域離散信號與時域離散系統,2． 給定信號： 2n+5 －4≤n≤－1 6 0≤n≤4 0 其它 (1) 畫出x(n)序列的波形， 標上各序列值；  (2) 試用延遲的單位脈沖序列及其加權和表示x(n)序列； （3） 令x1(n)=2x(n－2)， 試畫出x1(n)波形；  （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形；  （5） 令x3(n)=x(2－n)， 試畫出x3(n)波形。  解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4),x(n)=,,第1章 時域離散信號與時域離散系統,（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。  (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。  (5) 畫x3(n)時， 先畫x(－n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉180°)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。,題2解圖（一）,題2解圖（二）,第1章 時域離散信號與時域離散系統,題2解圖（三）,題2解圖（四）,3． 判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。,(1),解： （1） 因為ω= π, 所以 , 這是有理數， 因此是周期序列， 周期T=14,第1章 時域離散信號與時域離散系統,5． 設系統分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統輸入和輸出， 判斷系統是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n－1)+3x(n－2) 解： （1） 令輸入為 x(n－n0) 輸出為 y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2) =y′(n) 故該系統是非時變系統,第1章 時域離散信號與時域離散系統,因為 y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］ =ax1(n)+bx2(n)+2［ax1(n－1)+bx2(n－1)］+3［ax1(n－2)+bx2(n－2)］ a T［x1(n)］=ax1(n)+2ax1(n－1)+3ax1(n－2) bT［x2(n)］=bx2(n)+2bx2(n－1)+3bx2(n－2) 所以 T［ax1(n)+bx2(n)］=aT［x1(n)］+bT［x2(n)］ 故該系統是線性系統。,第1章 時域離散信號與時域離散系統,6． 給定下述系統的差分方程， 試判定系統是否是因果穩(wěn)定系統， 并說明理由。 （2） y(n)=x(n)+x(n+1) 解： 該系統是非因果系統， 因為n時間的輸出還和n時間以后（（n+1）時間）的輸入有關。如果|x(n)|≤M, 則|y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M, 因此系統是穩(wěn)定系統。,7． 設線性時不變系統的單位脈沖響應h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。,題7圖,第1章 時域離散信號與時域離散系統,解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n) = x(m)h(n－m),第1章 時域離散信號與時域離散系統,y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},解法（二） 采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為 x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3) h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 由于 x(n)*δ(n)=x(n) x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k) 故 y(n)=x(n)*h(n)  =x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)］ =2x(n)+x(n－1)+x(n－2) 將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(n)+2δ(n－1)+δ(n－2) +4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5),第1章 時域離散信號與時域離散系統,8. 設線性時不變系統的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。  （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n) （2） h(n)=2R4(n), x(n)=δ(n)－δ(n－2) （3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n) 解： （1） y(n)=x(n)*h(n)= R4(m)R5(n－m) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(n－m)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下: 0≤m≤3 n－4≤m≤n 根據非零區(qū)間， 將n分成四種情況求解： ,第1章 時域離散信號與時域離散系統,① n7時， y(n)=0,最后結果為 0 n7 n+1 0≤n≤3 8－n 4≤n≤7 y(n)的波形如題8解圖（1）所示。  (2) y(n) =2R4(n)*［δ(n)－δ(n－2)］=2R4(n)－2R4(n－2) = 2［δ(n)+δ(n－1)－δ(n+4)－δ(n+5)］ y(n)的波形如題8解圖（2）所示,y(n)=,,題8解圖（1）,題8解圖（2）,第1章 時域離散信號與時域離散系統,(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5n－mu(n－m) =0.5n R5(m)0.5－mu(n－m) y（n）對于m 的非零區(qū)間為 0≤m≤4, m≤n ① n0時， y(n)=0 ② 0≤n≤4時， =－(1－0.5－n－1)0.5n=2－0.5n,第1章 時域離散信號與時域離散系統,③ n≥5時,最后寫成統一表達式： y(n)=(2－0.5n)R5(n)+31×0.5nu(n－5),13． 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2πft+j)， 式中， f=20 Hz, j=π/2。 （1） 求出xa(t)的周期； （2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進行采樣， 試寫出采樣信號 的表達式； （3） 畫出對應 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。  解： （1） xa(t)的周期為,第1章 時域離散信號與時域離散系統,（2）,（3） x(n)的數字頻率ω=0.8π， 故 ， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8πn+π/2) 畫出其波形如題13解圖所示。,第1章 時域離散信號與時域離散系統,題13解圖,14. 已知滑動平均濾波器的差分方程為,（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應； （2） 如果輸入信號波形如題14圖所示，試求出y(n)并畫出它的波形。 解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用δ(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應， 即,第1章 時域離散信號與時域離散系統,（2） 已知輸入信號， 用卷積法求輸出。 輸出信號y(n)為,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉后變成h(－k)， h(n－k)則隨著n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(n－k)和x(k)對應相乘， 再相加和平均， 得到相應的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。,題14圖,第1章 時域離散信號與時域離散系統,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,5. 設題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ejω)表示， 不直接求出X(ejω)， 完成下列運算或工作： （1),(4) 確定并畫出傅里葉變換實部Re［X(ejω)］的時間序列xa(n)；,解 (1),（4） 因為傅里葉變換的實部對應序列的共軛對稱部分， 即,題15圖,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題15解圖,6． 試求如下序列的傅里葉變換：,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,解：(2),8． 設x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)， 并分別用圖表示。 ,解：,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,題8解圖,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,13． 已知xa(t)=2 cos(2πf0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進行采樣， 得到采樣信號 和時域離散信號x(n)， 試完成下面各題：  （1） 寫出 的傅里葉變換表示式Xa(jΩ)；  （2） 寫出 和x(n)的表達式；  （3） 分別求出 的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。  解:(1),上式中指數函數的傅里葉變換不存在，引入奇異函數δ函數，它的傅里葉變換可以表示成：,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,（2）,（3）,式中,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,式中 ω0=Ω0T=0.5π rad 上式推導過程中， 指數序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數δ函數才能寫出它的傅里葉變換表示式。,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,14． 求出以下序列的Z變換及收斂域: (1) 2－n u(n) (2) －2－nu(－n－1) (3) 2－n u(n) (4) δ(n) (5) δ(n－1) (6) 2－n［u(n)－u(n－10)］,解 (1),(2),第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,(3),(4) ZT［δ(n)］=1 0 ≤|z|≤∞ (5) ZT［δ(n－1)］=z－1 0|z|≤∞ (6),≤,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,15． 求以下序列的Z變換及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點分布圖。  (1) x(n)=RN(n) N=4 (2) x(n)=Arn cos(ω0n+j)u(n)r=0.9, ω0=0.5π rad, j=0.25 π rad,解 (1),由z4－1=0， 得零點為,由z3(z－1)=0， 得極點為 z1, 2=0, 1,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點相互對消。,題15解圖,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,(2),零點為,極點為,極零點分布圖如題15解圖(b)所示,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,16． 已知,求出對應X(z)的各種可能的序列表達式。  解： X(z)有兩個極點： z1=0.5, z2=2， 因為收斂域總是以極點為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域對應三種不同的原序列。  （1）收斂域|z|0.5：,令,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,n≥0時， 因為c內無極點，x(n)=0; n≤－1時， c內有極點 0 ， 但z=0是一個n階極點， 改為求圓外極點留數， 圓外極點有z1=0.5, z2=2， 那么,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,(2) 收斂域0.5|z|2:,n≥0時， c內有極點0.5，,n0時， c內有極點 0.5、 0 ， 但 0 是一個n階極點， 改成求c外極點留數， c外極點只有一個， 即2， x(n)=－Res［F(z), 2］=－2 · 2nu(－n－1) 最后得到,第2章 時域離散信號和系統的頻域分析,(3) 收斂域z2:,n≥0時， c內有極點 0.5、 2，,n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣分析， c內有極點0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數，c外無極點， 所以x(n)=0。,最后得到,第3章 離散傅里葉變換,3． 已知長度為N=10的兩個有限長序列：,做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長度L=10。  解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。,題3解圖,第3章 離散傅里葉變換,14． 兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為 x(n)=0 n0, 8≤n y(n)=0 n0, 20≤n 對每個序列作20點DFT， 即 X(k)=DFT［x(n)］ k=0, 1, …, 19 Y(k)=DFT［y(n)］ k=0, 1, …, 19 試問在哪些點上f(n)與x(n)*y(n)值相等, 為什么？,解: 記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFT［F(k)］=x(n) 20 y(n)。 fl(n)長度為27， f(n)長度為20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關系為,第3章 離散傅里葉變換,只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上， 才滿足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7≤n≤19,18． 用微處理機對實數序列作譜分析， 要求譜分辨率F≤50 Hz， 信號最高頻率為 1 kHz， 試確定以下各參數： (1) 最小記錄時間Tp min；  (2) 最大取樣間隔Tmax；  (3) 最少采樣點數Nmin；  (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 ,第3章 離散傅里葉變換,解: （1） 已知F=50 Hz， 因而,（2）,（3）,,（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應該使記錄時間擴大1倍， 即為0.04 s， 實現頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。,第4章 快速傅里葉變換,,1． 如果某通用單片計算機的速度為平均每次復數乘需要4 μs， 每次復數加需要1 μs， 用來計算N=1024點DFT， 問直接計算需要多少時間。 用FFT計算呢？照這樣計算， 用FFT進行快速卷積對信號進行處理時， 估計可實現實時處理的信號最高頻率。,解: 當N=1024=210時， 直接計算DFT的復數乘法運算次數為 N2=1024×1024=1 048 576次 復數加法運算次數為 N（N－1）=1024×1023=1 047 552次 直接計算所用計算時間TD為 TD=4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s 用FFT計算1024點DFT所需計算時間TF為,第4章 快速傅里葉變換,,快速卷積時， 需要計算一次N點FFT（考慮到H(k)=DFT［h(n)］已計算好存入內存）、 N次頻域復數乘法和一次N點IFFT。 所以， 計算1024點快速卷積的計算時間Tc約為,所以， 每秒鐘處理的采樣點數（即采樣速率）,第4章 快速傅里葉變換,,應當說明， 實際實現時， fmax還要小一些。 這是由于實際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時， 重疊部分要計算兩次。 重疊部分長度與h(n)長度有關， 而且還有存取數據和指令周期等消耗的時間。,第5章 時域離散系統的網絡結構,,1. 已知系統用下面差分方程描述:,試分別畫出系統的直接型、 級聯型和并聯型結構。 式中x(n)和y(n)分別表示系統的輸入和輸出信號。 ,解： 將原式移項得,將上式進行Z變換， 得到,第5章 時域離散系統的網絡結構,,(1) 按照系統函數H(z)， 畫出直接型結構如題1解圖（1）所示。,題1解圖（1）,(2) 將H(z)的分母進行因式分解：,第5章 時域離散系統的網絡結構,,按照上式可以有兩種級聯型結構: ① ②,畫出級聯型結構如題1解圖（2）所示。,題1解圖（2）,第5章 時域離散系統的網絡結構圖,,(3) 將H(z)進行部分分式展開：,第5章 時域離散系統的網絡結構圖,根據上式畫出并聯型結構如題1解圖（3）所示。,題1解圖（3）,第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,5． 已知模擬濾波器的系統函數如下：,(1),(2),試采用脈沖響應不變法和雙線性變換法將其轉換為數字濾波器。 設T=2 s。  解: Ⅰ. 用脈沖響應不變法,(1),按脈沖響應不變法設計公式， Ha(s)的極點為,第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,將T=2代入上式， 得,(2),第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,或通分合并兩項得,Ⅱ． 用雙線性變換法 （1）,第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,(2),第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,8． 題8圖是由RC組成的模擬濾波器， 寫出其系統函數Ha(s)， 并選用一種合適的轉換方法， 將Ha(s)轉換成數字濾波器H(z)， 最后畫出網絡結構圖。,解: 模擬RC濾波網絡的頻率響應函數為,顯然， Ha(jΩ)具有高通特性， 用脈沖響應 不變法必然會產生嚴重的頻率混疊失真。 所以應選用雙線性變換法。 將Ha(jΩ)中的jΩ用s代替， 可得到 RC濾波網絡的系統函數：,題8圖,第6章 無限脈沖響應數字濾波器的設計,用雙線性變換法設計公式, 可得,H(z)的結構圖如題8解圖所示。,題8解圖,第7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計,3． 設FIR濾波器的系統函數為,求出該濾波器的單位脈沖響應h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數和相位特性函數。 解: 對FIR數字濾波器， 其系統函數為,所以其單位脈沖響應為,第7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計,由h(n)的取值可知h(n)滿足： h(n)=h(N－1－n) N=5 所以， 該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。 頻率響應函數H(ejω)為,第7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計,幅度特性函數為,相位特性函數為,5． 用矩形窗設計一線性相位高通濾波器， 要求過渡帶寬度不超過π/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應函數Hd(ejω)為,（1） 求出該理想高通的單位脈沖響應hd(n)；  （2） 求出加矩形窗設計的高通FIR濾波器的單位脈沖響應h(n)表達式， 確定α與N的關系；  （3） N的取值有什么限制？為什么？,第7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計,解: （1） 直接用IFT［Hd(ejω)］計算：,≤,第7章 有限脈沖響應數字濾波器的設計,hd(n)表達式中第2項 正好是截止頻率為ωc的理想低通濾波器的單位脈沖響應。 而δ(n－α)對應于一個線性相位全通濾波器： Hdap(ejω)=e－jωα 即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實現。  （2） 用N表示h(n)的長度， 則,h(n)=hd(n)RN(n)=,為了滿足線性相位條件： h(n)=h(N－1－n) 要求滿足,（3） N必須取奇數。 因為N為偶數時（情況2）， H(ejπ)=0， 不能實現高通。 根據題中對過渡帶寬度的要求， N應滿足： , 即N≥40。 取N=41。,