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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 立體幾何試題 理 xx xx xx xx 2 3 3 【xx新課標(biāo)I版（理）12】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【xx新課標(biāo)I版（理）6】如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(　　)． A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】A 【xx新課標(biāo)I版（理）8】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)． A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 【答案】：A 【xx新課標(biāo)I版（理）7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【xx新課標(biāo)I版（理）11】已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【xx新課標(biāo)I版（理）19】(本小題滿分12分) 如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，. （Ⅰ）證明：; （Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值. 【答案】（I）連接，交，連接AO，因?yàn)閭?cè)面，所以 又 又 （II）因?yàn)? 又因?yàn)? 以因?yàn)? 則 ……12分 【xx新課標(biāo)I版（理）18】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)證明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值． 【答案】 （1）取AB的中點(diǎn)O，連接、、，因?yàn)镃A=CB，所以，由于AB=A A1，∠BA A1=600，故?B為等邊三角形，所以，所以平面，因?yàn)槠矫妫訟B⊥平面A1C； （2）由（I）知OC⊥AB，又平面ABC⊥平面，故OA,OC兩兩相互垂直。 以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 由題設(shè)知，，，則，，，設(shè)為平面的法向量，，則，即所以 所以直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值. 【xx新課標(biāo)I版（理）19】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD． (1)證明：DC1⊥BC； (2)求二面角A1－BD－C1的大?。? 【答案】 （1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角 設(shè)，則， 既二面角的大小為 ．（河北省邯鄲市武安三中xx屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)理試題）正三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球,則當(dāng)該棱柱體積最大時,高 （　　） A． B． C． D． 【答案】D ．（河北省邯鄲市武安三中xx屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)理試題）一個體積為的正三棱柱的三視圖,如圖所示,則此正三棱柱的側(cè)視圖面積為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】A ．（河北省保定市八校聯(lián)合體xx屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理科）試題）設(shè)m,n是空間兩條不同直線,是空間兩個不同平面,當(dāng)時,下列命題正確的是 （　　） A．若,則 B．若,則 C若,則 D．若,則 【答案】C ．（河北省唐山市xx屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）某幾何體的三視圖如圖所示,則它的側(cè)面積為 （　?。? A． B． C．24 D． 【答案】A ．（河北省張家口市蔚縣一中xx屆高三一輪測試數(shù)學(xué)試題）在正方體中與異面直線,均垂直的棱有( )條. 1. 2. 3. 4. 【答案】D ．（河北省邯鄲市xx屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）一個空間幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為 （　　） A． B． C． D． 【答案】D ．（河北省唐山市xx屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）直三棱柱ABC-A1B1 C1的六個頂點(diǎn)都在球O的球面上.若AB=BC=1, ∠ABC=120o,AA1=2,則球O的表面積為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】C ．（河北省保定市八校聯(lián)合體xx屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理科）試題）右圖是一個幾何體的三視圖,其中正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4,腰長為4的等腰梯形,則該幾何體的側(cè)面積是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B （河南省安陽市xx屆高三第一次調(diào)研）如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是 A．27 B．36 C．33 D．30 答案：D ．（河北省邯鄲市xx屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）正三角形的邊長為2,將它沿高翻折,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為1,此時四面體外接球的表面積為_____________. 【答案】 ．（河北省保定市八校聯(lián)合體xx屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理科）試題）如圖,在底面是直角梯形的四棱錐P—ABCD中,,平面ABCD,PA=AB=BC=3,梯形上底AD=1. (1)求證:平面PAB; (2)求面PCD與面PAB所成銳二面角的正切值; (3)在PC上是否存在一點(diǎn)E,使得DE//平面PAB?若存在,請找出;若不存在,說明理由. 【答案】解:(Ⅰ)證明:由題意 (Ⅱ)(法一)延長BA、CD交于Q點(diǎn),過A作AH⊥PQ,垂足為H,連DH 由(Ⅰ)及AD∥BC知:AD⊥平面PAQ ∴ AD⊥PQ且AH⊥PQ 所以PQ⊥平面HAD,即PQ⊥HD. 所以∠AHD是面PCD與面PBA所成的二面角的平面角 易知,所以 所以面PCD與面PAB所成二面角的正切值為 ．（河北省張家口市蔚縣一中xx屆高三一輪測試數(shù)學(xué)試題）如圖, 在直三棱柱中,,,,點(diǎn)是的中點(diǎn), (1)求證:; (2)求證: 【答案】 (2)設(shè)與的交點(diǎn)為,連結(jié), ．（河北省正定中學(xué)xx屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖,在四棱錐中,底面是正方形,底面,,點(diǎn)是的中點(diǎn),且交于點(diǎn). (1) 求證:平面平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】解析:(1)證明:底面,底面是正方形 平面, 又,是的中點(diǎn),,平面 由已知,平面. 又平面,平面平面 (2) 取的中點(diǎn),則.作于,連結(jié). 底面,底面 , 為二面角的平面角 設(shè)在中 ,, 所以二面角的余弦值為 . 解法2:(1)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,由于,可設(shè),則 , , , 又且 平面.又平面 所以,平面平面 (2)底面是平面的一個法向量, 設(shè)平面的一個法向量為,, 則 得 二面角的余弦值是 . ．（河北省高陽中學(xué)xx屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知斜三棱柱的底面是直角三角形, ,側(cè)棱與底面所成角為,點(diǎn)在底面上的射影落在上. (1)求證:平面; (2)若,且當(dāng)時,求二面角的大小. 【答案】解:(1)∵點(diǎn)在底面上的射影落在上,∴平面, 平面,∴又∵∴,, ∴平面 (2)∵平面 ∴ 即 以為原點(diǎn),為x軸,為軸,過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸, 建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,, .顯然,平面的法向量 設(shè)平面的法向量為, 由,即, ∴, ∴二面角的大小是 ．（河北省邯鄲市xx屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知四棱錐中,底面為菱形,底面,為的中點(diǎn). (1)證明:平面; (2)若,求面與面所成二面角的余弦值. 【答案】 . ．（河北省邯鄲市武安三中xx屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)理試題）如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中, 側(cè)棱與底面垂直,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,M是BC中點(diǎn). (Ⅰ)求證:A1B∥平面AMC1; (Ⅱ)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值; (Ⅲ)試問:在棱A1B1上是否存在點(diǎn)N,使AN與MC1成角60°?若存在,確定點(diǎn)N的位置;若不存在,請說明理由. 【答案】證明:(Ⅰ)連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OM. ∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱, ∴四邊形ACC1A1為矩形,O為A1C的中點(diǎn). 又∵M(jìn)為BC中點(diǎn), ∴OM為△A1BC中位線, ∴A1B∥OM, ∵OM?平面AMC1,A1B?平面AMC1, 所以 A1B∥平面AMC1. 解:(Ⅱ)由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 故BA,BC,BB1兩兩垂直.可建立如圖空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz. 設(shè)BA=2,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),M(1,0,0). 則=(1,﹣2,0),=(2,﹣2,1), 設(shè)平面AMC1的法向量為=(x,y,z),則有 ,即 所以取y=1,得=(2,1,﹣2). 又∵=(0,0,1) ∴直線CC1與平面AMC1所成角θ滿足 sinθ== 故直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值為 解:(Ⅲ)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N. ∵N在線段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1), 故可設(shè)N(0,λ,1),其中0≤λ≤2. ∴=(0,λ﹣2,1),=(1,0,1). ∵AN與MC1成60°角, ∴==. 即,解得λ=1,或λ=3(舍去). 所以當(dāng)點(diǎn)N為線段A1B1中點(diǎn)時,AN與MC1成60°角. ．（河北省唐山市xx屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（理）試題）在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形,且BC∥AD,AB=AD=2BC. (I)求證:CE∥平面ABGF; (II)求二面角G-CE-D的余弦值. 【答案】解：（Ⅰ）連結(jié)BF，由題意，可知BCEF， 故四邊形BCEF是平行四邊形，所以CE∥BF． 又CE平面ABGF，BF平面ABGF， 所以CE∥平面ABGF． …5分 A B C D E F G x y z ．（河北省張家口市蔚縣一中xx屆高三一輪測試數(shù)學(xué)試題）如圖,四棱錐中,,,,. (1)證明:; (2)若為中點(diǎn),求二面角的余弦值. 【答案】 ．（河南省商丘市xx屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,三棱錐中,底面為邊長為的正三角形,平面平面, 為上一點(diǎn),為底面三角形的中心. (1)求證:平面; (2)求證:; (3)設(shè)為的中點(diǎn),求二面角的余弦值. 【答案】證明:(Ⅰ)連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié). 為正三角形的中心,∴,且為中點(diǎn). 又,∴, ∴∥, 平面,平面, ∴∥面 (Ⅱ),且為中點(diǎn),∴, 又平面平面, ∴平面, 由(Ⅰ)知,∥, ∴平面, ∴ 連結(jié),則,又, ∴平面,∴ (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,兩兩互相垂直,且為中點(diǎn), 分別以所在直線為軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 則 ∴, 設(shè)平面的法向量為,則, 令,則 由(Ⅱ)知平面,∴為平面的法向量,又,∴, 由圖可知,二面角的余弦值為 ．（河北省衡水中學(xué)xx屆高三第八次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題 ）平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=,且,以BD為折線,把折起,使平面,連AC. (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)求二面角B-AC-D的大小; (Ⅲ)求四面體ABCD外接球的體積. 【答案】解:(Ⅰ)在中, , 易得, 面面 面 (Ⅱ)在四面體ABCD中,以D為原點(diǎn),DB為軸,DC為軸,過D垂直于平面BDC的射線為軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系. z A B C D y x 則D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2) 設(shè)平面ABC的法向量為,而, 由得:,取 . 再設(shè)平面DAC的法向量為,而, 由得:,取, 所以,所以二面角B-AC-D的大小是 (Ⅲ)由于均為直角三角形,故四面體ABCD的外接球球心在AD中點(diǎn), 又,所以球半徑,得 ．（山西省臨汾一中、忻州一中、康杰中學(xué)、長治二中xx屆高三第四次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,已知長方形中,,為的中點(diǎn). 將沿折起,使得平面平面. (1)求證: ; (2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),求二面角的余弦值. A 【答案】解:取AM的中點(diǎn)O,AB的中點(diǎn)N,則兩兩垂直,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.根據(jù)已知條件,得 ,,, (1)由于,故 (2)依題意 ∵平面AMD的一個法向量 設(shè)平面AME的一個法向量為,而, ∴. x=0,取z=2,則y=1 ∴ ∴ 二面角的余弦值為 ．（河南省鄭州市xx屆高三第三次測驗(yàn)預(yù)測數(shù)學(xué)（理）試題）如圖所示的幾何體中,四邊形PDCE為矩形,ABCD為直 角梯形,且 = 90°,平面PDCE丄平面ABCD,AB=AD=CD=1,PD= (I)若M為PA的中點(diǎn),求證:AC//平面MDE; (II)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小 【答案】(Ⅰ)證明:連結(jié),交與,連結(jié), 中,分別為兩腰的中點(diǎn) , ∴ 因?yàn)槊?又面,所以平面 (Ⅱ)解:設(shè)平面與所成銳二面角的大小為,以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 ,. 設(shè)平面的單位法向量為則可設(shè) 設(shè)面的法向量,應(yīng)有 即: 解得:,所以 ,. ．（河南省中原名校xx屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）如圖所示,四面體ABCD中,AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3.BD=CD=2. (1)求證:AD⊥BC; (2)求二面角B—AC—D的余弦值. 【答案】(1)證明 作AH⊥平面BCD于H,連接BH、CH、DH, 易知四邊形BHCD是正方形,且AH=1,以D為原 點(diǎn),以DB所在直線為x軸,DC所在直線為y軸, 以垂直于DB,的直線為z軸,建立空間直角坐 標(biāo)系,如圖所示,則B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,2,1), 所以=,=,4分 因此·=,所以AD⊥BC.6分 (2)解:設(shè)平面ABC的法向量為n1=(x,y,z),則由n1⊥知:n1·= 同理由n1⊥知:n1·=, 可取n1=, 同理,可求得平面ACD的一個法向量為10分 ∴cos== 即二面角B—AC—D的余弦值為12分