2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第7章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時作業(yè) 理一、選擇題1平面的一個法向量為n(1,2,0)，平面的一個法向量為m(2，1,0)，則平面和平面的位置關(guān)系是()A平行B相交但不垂直C垂直D重合答案：C解析：n(1,2,0)，m(2，1,0)，m·n2200，即mn，.2設(shè)平面的法向量為(1,2，2)，平面的法向量為(2，4，k)，若，則k等于()A2B4C4D2答案：C解析：，k4.3(xx·濟南模擬)已知平面內(nèi)有一個點A(2，1,2)，的一個法向量為n(3,1,2)，則下列點P中，在平面內(nèi)的是()A(1，1,1)BC.D答案：B解析：對于選項A，(1,0,1)，則·n(1,0,1)·(3,1,2)50，故排除A；對于選項B，則·n·(3,1,2)0，B正確；對于選項C，·n·(3,1,2)60，C不正確；對于選項D，·n·(3,1,2)120，D不正確故應(yīng)選B.4如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P為C1D1的中點，M為BC的中點，則AM與PM的位置關(guān)系為( )A平行B異面C垂直D以上都不對答案：C解析：以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，依題意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，·(，1，)·(，2,0)0，即，AMPM.5在正四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PAPBPCa，則點P到平面ABC的距離為()A.BaCDa答案：B解析：根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系Pxyz，則P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)過點P作PH平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離PAPBPC，H為ABC的外心又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得H點的坐標為.PHa.點P到平面ABC的距離為a.6(xx·昆明模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BC平面PAB，PAAB，M為PB的中點，PAAD2.若AB1，則二面角BACM的余弦值為()A.BC.D答案：A解析：BC平面PAB，ADBC，AD平面PAB，PAAD，又PAAB，且ADABA，PA平面ABCD.以點A為坐標原點，分別以AD，AB，AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，(2,1,0)，易求得平面AMC的一個法向量為n(1，2,1)，又平面ABC的一個法向量(0,0,2)，cosn，.二面角BACM的余弦值為.二、填空題7如圖所示，在三棱錐ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E，F(xiàn)分別為棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_答案：60°解析：以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成的角為60°.8如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是_答案：平行解析：正方體棱長為a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，··0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.9設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是_答案：解析：如圖，建立空間直角坐標系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的一個法向量為n(x，y，z)，則令x1，則n(1，1，1)，點D1到平面A1BD的距離d.三、解答題10(xx·濟南一模)如圖，四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DC2，PD，M為棱PB的中點(1)證明：DM平面PBC；(2)求二面角ADMC的余弦值解：(1)證明：連接BD，取DC的中點G，連接BG，由此知DGGCBG1，即DBC為直角三角形，故BCBD.又PD平面ABCD，故BCPD，所以BC平面BDP，BCDM.又PDBD，PDBD，M為PB的中點，DMPB.PBBCB，DM平面PBC.(2)以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0，)，從而M，設(shè)n1(x，y，z)是平面ADM的法向量，則即所以可取n1(0，1)同理，設(shè)n2(x0，y0，z0)是平面DMC的法向量，則即所以可取n2(，0，1)，所以cosn1，n2.顯然二面角ADMC的大小為鈍角，所以二面角ADMC的余弦值為.11(xx·德州模擬)在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，M為線段AB的中點，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得幾何體DABC.(1)求證：BC平面ACD；(2)求二面角ACDM的余弦值解：(1)證明：由條件，知AC2，CAB45°，AB4，由余弦定理，得CB28，CB2，AC2BC2AB2，ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ACD.(2)取AC的中點O，連接DO，MO，DOAC，DO平面ABC，OMBC，ACBC，OMAC.建立如圖所示的空間直角坐標系，M(0，0)，C(，0,0)，D(0,0，)(，0)，(，0，)設(shè)n1(x，y，z)為平面CDM的法向量，則即令x1，得n1(1,1,1)由題意，得n2(0,1,0)為平面ACD的一個法向量，cosn1，n2.二面角ACDM為銳角，二面角ACDM的余弦值為.12(xx·衡水二模)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD底面ABCD，側(cè)棱PAPD，PAPD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O為AD中點(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求點B到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角QACD的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：(1)在PAD中，PAPD，O為AD中點，所以POAD，又側(cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，則PO平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，連接OC，易得OCAD，所以以O(shè)為坐標原點，直線OC為x軸，直線OD為y軸，直線OP為z軸建立空間直角坐標系，則P(0,0,1)，A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，(1，1，1)，易證OA平面POC，(0，1,0)是平面POC的法向量，cos，.直線PB與平面POC所成角的余弦值為.(2)(0,1，1)，(1,0,1)，設(shè)平面PDC的一個法向量為(x，y，z)，則取z1，得(1,1,1)B點到平面PCD的距離d.(3)存在設(shè)(01)，(0,1，1)，(0，)，(0，1)，Q(0，1)設(shè)平面CAQ的一個法向量為m(x，y，z)，則取z1，得m(1，1，1)，又平面CAD的一個法向量為n(0,0,1)，二面角QACD的余弦值為，|cosm，n|，得321030，解得或3(舍)所以存在點Q，使得二面角QACD的余弦值為，此時.