2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系過(guò)關(guān)測(cè)試卷 新人教A版必修2 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1. 已知正方體ABCD－中，O是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) A．、M、O三點(diǎn)共線 B．M、O、、A四點(diǎn)共面 C．A、O、C、M四點(diǎn)共面 D．B、、O、M四點(diǎn)共面 2. 若為一條直線，α，β，γ為三個(gè)互不重合的平面，給出下面三個(gè)命題：①α⊥γ，β⊥γ，α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，α⊥β；③∥α， ⊥β，α⊥β.其中正確的命題有( ) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 3.〈深圳模擬〉已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，則應(yīng)增加的條件是( ) A．m∥n B．n⊥m C．n∥α D．n⊥α 4. 二面角α－α－β的平面角為120°，在平面α內(nèi)，AB⊥α于B，AB=2，在平面β內(nèi)，CD⊥于D，CD=3，BD=1，M是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為（ ） A．6 B． C． D． 5. 如圖1，正方體ABCD－中，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)，在平面內(nèi)且與平面平行的直線( ) A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無(wú)數(shù)條 圖1 6. 〈塘沽模擬〉如圖2，邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，則下列結(jié)論中正確的是( ) ①動(dòng)點(diǎn)在平面ABC上的射影在線段AF上； ②BC∥平面； ③三棱錐的體積有最大值． A．① B．①② C．①②③ D．②③ 圖2 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 7.〈汕頭質(zhì)檢〉若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中真命題的序號(hào)是 ． ①若m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線； ②若m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線； ③已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，則n∥β； ④若m，n在平面α內(nèi)的射影互相平行，則m，n互相平行． 8. 平面α、β相交，在α、β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定_______個(gè)平面． 9.〈唐山模擬〉已知正三棱柱ABC－中，＝2AB，M為的中點(diǎn)，則直線BM與平面所成角的正弦值是 ． 10. 如圖3所示，在正四棱柱ABCD－中，E、F、G、H分別是棱、、、DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足條件 時(shí)， 圖3 有MN∥面. 三、解答題（11題14分，12、13題每題15分，共44分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 11. 如圖4，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分別是線段BC，PD的中點(diǎn). （1）若AP=AB=AC=2，BC=，求三棱錐P－ABC的體積； （2）若點(diǎn)F在線段AB上，且AF=AB，證明：直線EF∥平面PAC． 圖4 12. 如圖5所示，在直四棱柱ABCD－中，DB＝BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱上一點(diǎn)． (1)求證：∥平面； (2)求證：MD⊥AC； (3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面⊥平面，并說(shuō)明理由. 圖5 13.〈西城模擬〉如圖6，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)． (1)求證：AF∥平面PEC； (2)求PC與平面ABCD所成的角的正切值； (3)求二面角的正切值． 圖6 參考答案及點(diǎn)撥 一、1. D 點(diǎn)撥：因?yàn)镺是的中點(diǎn)．由正方體的性質(zhì)知，O也是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O在直線上，又直線交平面于點(diǎn)M，則、M、O三點(diǎn)共線，又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以B、C正確． 2. C 點(diǎn)撥：①中兩平面都與第三個(gè)平面垂直，這兩個(gè)平面還可能是平行，也可能是一般的相交，①錯(cuò)；②中兩平行平面中的一個(gè)與第三個(gè)平面垂直，則另一個(gè)也與第三個(gè)平面垂直，②正確；③中∥α，可在α內(nèi)找到與平行的直線，由⊥β，得此直線必與β垂直，從而α⊥β，③正確，即正確命題的個(gè)數(shù)為2. 3. B 點(diǎn)撥：已知直線m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，增加條件n⊥m，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得n⊥β，B正確，故選B. 4. C 點(diǎn)撥：將二面角α－－β展開成一個(gè)平面，當(dāng)AM+CM變成矩形的一條對(duì)角線時(shí)，AM+CM最小，最小值為. 5. D 點(diǎn)撥：平面與平面有公共點(diǎn)，由平面的基本性質(zhì)中的公理知必有過(guò)該點(diǎn)的公共線，在平面內(nèi)與平行的直線有無(wú)數(shù)條，且它們都不在平面內(nèi)，由線面平行的判定定理知它們都與平面平行. 6. C 點(diǎn)撥：①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上．②由BC∥DE知BC∥平面A′DE.③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí)，三棱錐A′－FED的體積達(dá)到最大（此時(shí)底面積不變，高最大）． 二、7. ② 點(diǎn)撥：①為假命題，②為真命題，在③中，n可以平行于β，也可以在β內(nèi)，故是假命題，在④中，m，n也可能異面，故為假命題． 8. 1或4 點(diǎn)撥：分類，如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定1個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，那么任意三點(diǎn)可確定1個(gè)平面，所以可確定4個(gè)平面． 答圖1 9. 點(diǎn)撥：如答圖1，取AB，的中點(diǎn)D，，連接，取的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN⊥平面.故∠MBN即為直線BM與平面所成的角．設(shè)＝2AB＝2，則MN＝，BM＝.故sin∠MBN＝＝. 10. M∈線段HF 點(diǎn)撥：由題意知，HN∥面，F(xiàn)H∥面.∵HN∩FH＝H，∴面NHF∥面.∴當(dāng)M在線段HF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有MN∥面. 三、11.（Ⅰ）解：在△ABC中，AB=AC=2，BC=， 點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD=1， ∴， ∵PA⊥底面ABC， ∴． （Ⅱ）證法一：如答圖2，取CD的中點(diǎn)H，連接FH，EH， 答圖2 ∵E為線段PD的中點(diǎn)， ∴△PDC中，EH∥PC， ∵EH平面PAC，PC平面PAC， ∴EH∥平面PAC， ∵AF=AB， ∴△ABC中，F(xiàn)H∥AC， ∵FH平面PAC，AC平面PAC， ∴FH∥平面PAC， ∵FHEH=H，∴平面EHF∥平面PAC， ∵ＥF平面EHF，∴EF∥平面PAC. 證法二：如答圖3，分別取AD，AB的中點(diǎn)M，N，連接EM，MF，DN， ∵點(diǎn)E、M分別是線段PD、AD的中點(diǎn)， ∴EM∥PA， ∵EM平面PAC，PA平面PAC， ∴EM∥平面PAC， ∵AN=AB，AF=AB， ∴點(diǎn)F是線段AN的中點(diǎn)， 答圖3 ∵在△ADN中，AF=FN，AM=MD， ∴MF∥DN， ∵在△ABC中，AN=NB，CD=DB， ∴ DN∥AC， ∴MF∥AC， ∵M(jìn)F平面PAC，AC平面PAC，∴ MF∥平面PAC， ∵EMMF=M，∴平面EMF∥平面PAC，∵EF平面EMF，∴EF∥平面PAC. 12. (1) 證明：由直四棱柱，得∥，＝， ∴四邊形是平行四邊形， ∴∥BD. 而BD平面，平面， ∴∥平面. (2) 證明：∵⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴BB1⊥AC. 又∵DB⊥AC，且DB∩BB1＝B， ∴AC⊥平面BB1D1D. 而MD平面BB1D1D，∴MD⊥AC. (3) 解：當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)， 平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連接NN1交DC1于O，連接OM，BN，如答圖4所示． ∵N是DC的中點(diǎn)，BD＝BC， ∴BN⊥DC. 又∵DC是平面ABCD與平面DCC1D1的交線， 而平面ABCD⊥平面DCC1D1， ∴BN⊥平面DCC1D1. 又可證得O是NN1的中點(diǎn)， ∴BM∥ON且BM＝ON， 即四邊形BMON是平行四邊形． ∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D. 答圖4 ∵OM平面DMC1， ∴平面DMC1⊥平面CC1D1D. 13.(1) 證明：如答圖5，取PC的中點(diǎn)O， 連接OF，OE，則FO∥DC，且FO＝DC， ∵底面ABCD是矩形，∴AB∥DC，且AB=DC. ∴FO∥AE. 又E是AB的中點(diǎn)， ∴FO＝AE. ∴四邊形AEOF是平行四邊形， 答圖5 ∴AF∥OE. 又OE平面PEC， AF平面PEC， ∴AF∥平面PEC. (2) 解：如答圖5，連接AC. ∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角． 在Rt△PAC中， tan∠PCA＝＝＝， 即直線PC與平面ABCD所成的角的正切值為. (3) 解：如答圖5，作AM⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于M. 連接PM，易得ME⊥平面PAM，∴PM⊥CE， ∴∠PMA是二面角P－EC－D的平面角． 由△AME∽△CBE可得AM＝， ∴tan∠PMA＝＝. ∴二面角P－EC－D的正切值為.