2019-2020年高一數(shù)學(xué) 3.4函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 滬教版高考要求：了解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法掌握函數(shù)的奇偶性的定義及圖象特征，并能判斷和證明函數(shù)的奇偶性，能利用函數(shù)的奇偶性解決問題知識點歸納： 1函數(shù)的奇偶性的定義； 2奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1）定義域關(guān)于原點對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；3為偶函數(shù)4若奇函數(shù)的定義域包含，則5判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響； 6牢記奇偶函數(shù)的圖象特征，有助于判斷函數(shù)的奇偶性；7判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，8設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇1判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0；2討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，要重視這一點；3若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0,因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；4奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性5若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求（5）函數(shù)的周期性 定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立 則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期 例：（1）若函數(shù)在R上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且 則關(guān)于 對稱；的周期為 ；在（1，2）是 函數(shù)（增、減）；=，則 （2）設(shè)是定義在上，以2為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，在區(qū)間2，3上，=,則= 題型講解：1對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解例4下面四個結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定通過原點；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個數(shù)是 （ ）A1 B2 C3 D4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此正確，錯誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故錯誤，選A說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零2復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=fg(x)為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= fg(x)是偶函數(shù)例6甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c kmh，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決故所求函數(shù)及其定義域為但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckmh，所以(2)的解決需要論函數(shù)的增減性來解決由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即則當(dāng)v=c時，y取最小值說明：此題是1997年全國高考試題由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大例1判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）解：（1）由，得定義域為，關(guān)于原點不對稱，為非奇非偶函數(shù)（2）由得定義域為， 為偶函數(shù)（3）當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，綜上所述，對任意的，都有，為奇函數(shù)例2已知函數(shù)對一切，都有，（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示解：（1）顯然的定義域是，它關(guān)于原點對稱在中，令，得，令，得，即， 是奇函數(shù)（2）由，及是奇函數(shù)，得例3（1）已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則的解析式為（2） （高考計劃考點3“智能訓(xùn)練第4題”）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，若，且，則 （ ） 例4設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，（1）討論的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）當(dāng)時，此時為偶函數(shù)；當(dāng)時，此時函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2）當(dāng)時，函數(shù)，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且當(dāng)時，函數(shù)，若，則函數(shù)在上的最小值為，且；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的最小值綜上，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是，當(dāng)，函數(shù)的最小值是例4已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值證明：；求的解析式；求在上的解析式解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當(dāng)時，由題意可設(shè)，由得，是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)，而，當(dāng)時，從而當(dāng)時，故時，當(dāng)時，有，當(dāng)時，學(xué)生練習(xí) 1函數(shù)f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函數(shù)，則b= 2函數(shù)F(x)=(1+2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則f(x) ( A )(A)是奇函數(shù) (B)是偶函數(shù) (C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) (D)非奇非偶函數(shù)3已知函數(shù)f(x)=x2+lg(x+),若f(a)=M,則f(-a)等于 （ A ）(A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M5若對正常數(shù)m和任意實數(shù)x,等式成立,則下列說法正確的是 ( )A 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為2mB 函數(shù)是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)C 函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為4 mD 函數(shù)是偶函數(shù),但不是周期函數(shù) (利用周期函數(shù)的定義證明答案:C)4已知f(x) 是奇函數(shù)，且當(dāng)xÎ(0,1)時，f(x)=ln(1/(1+x),那么當(dāng)xÎ(-1,0)時，f(x)= ln(1-x) 5試將函數(shù)y=2x表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和6判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函數(shù)）;(2)f(x)=x/(ax-1)+x/2 (a>0且a1)(偶函數(shù)）(3)f(x)=（偶函數(shù)）說明奇偶性的對稱條件和分段函數(shù)奇偶性的判別方法7已知f(x),g(x)都是奇函數(shù)，f(x)>0的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(a2/2,b/2),則f(x)g(x)>0的解集是 8定義在區(qū)間(-¥,+¥)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間0,+¥)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中正確不等式的序號是 9(1)已知函數(shù)f(x)的周期為4，且等式f(2+x)=f(2-x)對一切xÎR恒成立，求證f(x)為偶函數(shù)；(2)設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x+4)=f(x),當(dāng)xÎ4,6時，f(x)=2x+1,求f(x)在區(qū)間-2,0上的表達(dá)式(-(2-x+4+1) (-2£x£0)課前后備注