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2019-2020年高一數(shù)學 4.4同角三角函數(shù)的基本關系式（第二課時） 大綱人教版必修 ●教學目標 (一)知識目標 1.利用同角三角函數(shù)關系關系化簡三角函數(shù)式； 2.利用同角三角函數(shù)關系證明三角恒等式. (二)能力目標 1.熟練運用同角三角函數(shù)化簡三角函數(shù)式； 2.活用同角三角函數(shù)關系證明三角恒等式； 3.明確化簡結果的要求，掌握證明恒等的方法. (三)德育目標 通過化簡與證明，使學生提高三角恒等變形的能力，樹立化歸的思想方法. ●教學重點 三角函數(shù)式的化簡，三角恒等式的證明. ●教學難點 同角三角函數(shù)關系的變用、活用. ●教學方法 討論法 通過例題討論及課堂練習，使學生初步掌握三角函數(shù)式化簡的要求，三角恒等式證明的方法，特別是通過恒等變形中關系式的活用，使學生應用知識及恒等變形的能力得到提高，樹立“奔目標”的思想觀念. ●教具準備 投影片三張 第一張：問題一（記作§4.4.2 A） 第二張：問題二（記作§4.4.2 B） 第三張：問題三（記作§4.4.2 C） ●教學過程 Ⅰ.復習提問 (打出投影片§4.4.2 A) 問題一：1.同角三角函數(shù)的基本關系式有哪些？這里的“同角”如何理解？它們的變形公式有哪些？2.關于利于同角三角函數(shù)基本關系式求值的問題有哪幾種？ （學生思考并作答，教師加以補充并指出以下幾點：①sin2α+cos2α=1對α∈R成立； =tanα在α≠kπ+（k∈Z）時成立;tanα·cotα=1,在α≠kπ且α≠kπ+ (k∈Z)時成立；②“同角”應是廣義的理解，如與是同角，3α與3α是同角，5β+與 5β+也是同角.③根據(jù)問題的需要，常常用到的同角三角函數(shù)基本關系式的變形有：sin2α=1－cos2α,cos2α=1－sin2α,1=sin2α+cos2α,sinα=tanα·cosα，cosα=,tanα=,cotα=.④已知某角的某一三角函數(shù)值，且知角的象限，其結果只有一組；已知某角的某一三角函數(shù)值，不知角的象限，可按角所在象限分別進行討論，進行運算，其結果有兩組；已知某角的某一三角函數(shù)值為字母，不知角的象限，可將四個象限的角（可能含軸線角）的三角函數(shù)值分成兩組去求，形式上其結果仍有兩組. Ⅱ.新課討論 打出投影片§4.4.2 B） 問題二：1.化簡 2.化簡 (留給學生充分時間進行化簡，師巡視) ［師］請一位同學敘述1題的化簡過程. ［生］利用同角三角函數(shù)關系公式脫掉根號是解決此題的關鍵，即 原式= = = =cos80° (大部分學生都能解正確，教師指出：①脫掉根號的過程就是同角三角函數(shù)關系公式的應用過程；②對于去掉根號后的含絕對值的式子，須根據(jù)絕對值內的式子符號的正負情況，作好分類討論，去掉絕對值符號) ［師］對于2題的解法很多，請同學們各抒己見. ［生甲］原式= = ［生乙］原式= = = = = ［生丙］原式= = = = （教師指出：①以上三位同學的解法雖思路不同，但都應用了公式sin2α+cos2α=1,其中生乙、生丙是順用公式，生甲是逆用公式，顯然生甲的解法簡單明了.②在生甲的解法中逆用公式sin2α+cos2α=1,實質是“1”的一種三角代換“1=sin2α+cos2α”.③“1”的三角代換還有很多形式，如“1=sec2α－tan2α”“1=csc2α－cot2α”“1=tanα·cotα”“1=tan”） ［師］對于利用同角三角函數(shù)關系式化簡時，其結果有何要求？ （生在觀察c 上問題fg 中的兩個題目后可以歸納到化簡結果一般要求：①函數(shù)種類少；②式子項數(shù)少；③項的次數(shù)低；④盡量使分母或根號內不含三角函數(shù)式；⑤盡可能求出數(shù)值（不能查表））. （打出投影片§4.4.2 C） 問題三：求證 分析：此例是恒等式的證明，與代數(shù)中所不同的是此為三角恒等式，但證明方法是一致的，與代數(shù)中證明恒等式的方法是相同的，證明恒等的常用方法是： 由繁到簡，“奔目標”，向目標靠攏. ③證左－右=0 ④證左、右兩邊都等于第三式 ⑤分析法 證法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是 左＝ ＝ ＝＝右，證畢. 證法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是 右＝ ＝ ＝＝左，證畢. 證法三：左－右＝ ＝ ＝ ＝＝0 ∴ 證法四：(分析法) 欲證 只須證cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx） 只須證cos2x＝1－sin2x 只須證sin2x＋cos2x＝1 ∵上式成立是顯然的. ∴成立. 分析法證題的思路是“執(zhí)果索因”：從結論出發(fā)，逐步逆推，推出一個真命題或者推出的與已知一致，從而肯定原式成立.要注意論證格式. 此題的左右兩邊都比較簡單，沒有必要用左、右兩式等于第三式來證. 課本上的證法二與分析法的實質是相同的，不過是改用綜合法寫出了證明過程. Ⅲ.課堂練習 課本P27練習 5、6. (對于5題的（2）小題，學生可能不知該如何下手，教師可作必要的提示：用平方關系進行“1”的代換). Ⅳ.課時小結 本節(jié)課我們討論了同角三角函數(shù)關系式的兩個方面的應用：化簡與證明，與同學們討論了化簡的一般要求，證明恒等的常用方法，對于化簡與證明另外還應注意兩種技巧：一種是切化弦”，一種是“1”的代換，“1”的代換不要僅限于平方關系的代換，還要注意倒數(shù)關系的代換，究竟用哪一種，要由具體問題來決定. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P28習題4.4 5、6、7、8、9. （二）1.預習內容 課本P28正弦、余弦的誘導公式至P30例3結束. 2.預習提綱 (1)設點P（x，y）是平面直角坐標系內任意一點.則它關于x軸、y軸、原點O對稱的點 的坐標分別是什么? (2)若角α是任意角，那么180°＋α還是不是任意角?－α是不是任意角? (3)你能根據(jù)公式二、三，推導出180°＋α，－α的正切、余切的誘導公式嗎? ●板書設計 §4.4.2 同角三角函數(shù)關系的應用 平方關系 商數(shù)關系 倒數(shù)關系 例1 化簡結果要求： ①…… ②…… ③…… ④…… ⑤…… 例2證明恒等式的常用方法： ①…… ②…… ③…… ④…… ⑤…… 練習 小結化簡與證明常用的兩種技巧： ①… ②…