數(shù)學(xué) 第 3講 分式及其運算 主要包括分式的基本性質(zhì)與分式運算： 1 了解分式和最簡分式的概念 2 會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分 3 會進行簡單的分式加、減、乘、除運算 1 分式的有關(guān)概念 ， 主要是分式的判定以及分式有 (無 )意義、值為 0 的條件 2 分式基本性質(zhì)的應(yīng)用 ， 如約分、通分、分式符號變化、分式的各項系數(shù)化成 整數(shù)等 3 分式的運算是分式考查中的重點 ， 分式的化簡與求值問題 ， 一是常規(guī)的分式 化簡求值 ， 二是在已知條件下進行分式的化簡求值 ， 包括一些條件開放性求值問 題 4 主要體現(xiàn)的思想方法：類比的思想、轉(zhuǎn)化的思想等 1 ( 2016 衢州 ) 當(dāng) x 6 時 ， 分式 5 1 x 的值等于 _ 2. ( 20 16 麗水 ) 1 a 1 b 的運算結(jié)果正確的是 ( ) A. 1 a b B. 2 a b C. a b ab D a b 1 C 3 ( 2016 溫州 ) 若分式 x 2 x 3 的值為 0 ， 則 x 的值是 ( ) A 3 B 2 C 0 D 2 4 ( 2016 舟山 ) 先化簡 ， 再求值： (1 1 x 1 ) x 2 ， 其中 x 2016. D 解：原式 x 1 1 x 1 2 x x x 1 2 x 2 x 1 ， 將 x 2016 代入 ， 則原式 2 2016 1 2 2015 1 ( 2017 預(yù)測 ) 若代數(shù)式 1 x 3 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義 ， 則實數(shù) x 的取值范圍 是 ( ) A x 3 B x 3 C x 3 D x 3 2 若分式 x 1 x 2 的值為 0 ， 則 ( ) A x 2 B x 0 C x 1 D x 1 或 2 解析：第 1 題要使 1 x 3 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義 ， 則 x 3 0 ；第 2 題根據(jù)分 式的值為 0 的條件列出關(guān)于 x 的不等式組 ， 求出 x 的值即可 C C 1 分式：形如 A B ( A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) 的式子叫做分式 2 與分式有關(guān)的結(jié)論： ( 1 ) 分式 A B 無意義的條件是 B 0 ； ( 2 ) 分式 A B 有意義的條件是 B 0 ； ( 3 ) 分式 A B 值為 0 的 條件是 A 0 且 B 0. 3 若分式 x 2 1 x 1 的值為 0 ， 則 x 的值為 ( ) A 0 B 1 C 1 D 1 【解析】 x 2 1 x 1 （ x 1 ）（ x 1 ） x 1 x 1 0 ， x 1 ， 故選 C. 4 使代數(shù)式 x 3 x 4 有意義的 x 的取值范圍是 ( ) A x 3 B x 3 C x 4D. x 3 且 x 4 【解析】 x 3 x 4 有意義 ， 則 x 3 0 且 x 4 0 ， 即 x 3 且 x 4 ， 故選 D. C D 分式有無意義的條件 ， 從以下三個方面進行轉(zhuǎn)化： (1)分式無意義 分母為 0； (2)分式有意義 分母不為 0； (3)分式值為 0分子為 0且分母不為 0. 5 下列分式中 ， 最簡分式是 ( ) A. x 2 1 x 2 1 B. x 1 x 2 1 C. x 2 2 xy y 2 x 2 xy D. x 2 36 2 x 12 6 ( 2016 臺州 ) 化簡 x 2 y 2 （ y x ） 2 的結(jié)果是 ( ) A 1 B 1 C. x y y x D. x y x y A D 7 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b 解 析：第 5 題利用最簡分式的定義判斷即可 ， 最簡分式為分式的分子、 分母沒有公因式 ， 即不能約分的分式；第 6 題根據(jù)平方差公式把分子進行 因式分解 ， 再約分即可；第 7 題利用分式的基本性質(zhì) ， 經(jīng)過通分求解 C 1 分式的基本性質(zhì)： 分式的分子與分母都乘以 ( 或除以 ) _ _ _ ， 分式的值不變： A B A m B m ， A B A m B m ( 其中 m 0) 2 約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分子、分母中的 _ _ _ 約去 ， 叫做分 式的約分約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì) 3 最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式 答案 ： 1. 同一個不為 0 的數(shù) 2. 公因式 8 化簡 m 2 m n n 2 n m 的結(jié)果是 ( ) A m n B n m C m n D m n 【解析】 首先進行通分運算 ， 進而分解因式化簡求出答案 m 2 m n n 2 n m m 2 m n n 2 m n （ m n ）（ m n ） m n m n . 故選 A. A 1 利用分式的基本性質(zhì)解題必須理解和掌握分式的基本性質(zhì)和分式的符 號法則 2 分式的分子、分母與分式本身的符號 ， 改變其中任意兩個 ， 分式的值不變： a b a b a b a b ， a b a b a b . 3 分式約分的步驟： (1) 找出分式的分子與分母的公因式 ， 當(dāng)分子、分 母是多項式時 ， 要先分解因式； (2) 約去分子與分母的公因式 9 當(dāng) x 6 ， y 3 時 ， 求代數(shù)式 ( x x y 2 y x y ) 3 xy x 2 y 的值 【解析】 先對所求 的式子化簡 ， 然后將 x 6 ， y 3 代入化簡后的式子即 可解答本題 解： ( xx y 2yx y ) 3xyx 2y 3xyx y ， 當(dāng) x 6 ， y 3 時 ， 原式 3 6 36 3 6 10 ( 2017 預(yù)測 ) 先化簡 ， 再求值： 1 x 1 3 x x 2 6x 9 x 2 x x 3 ， 其中 x 3 2 . 【解析】 先算除法 ， 再算加減 ， 最后把 x 的值代入進行計算即可 解：原式 1 x 1 3 x （ x 3 ） 2 x 3 x （ x 1 ） 1 x 1 1 x （ x 1 ） x 1 x （ x 1 ） 1 x ， 當(dāng) x 3 2 時 ， 原式 1 3 2 2 3 1 通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)將幾個異分母的分式化為 _ _ _ 的分式 ， 這種變形叫做分式的通分通 分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母 2 分式的運算法則： (1) 符號法則：分子、分母與分式本身的符號 ， 改變其中任何兩個 ， 分式的 值不變 (2) 分式的加減法：同分母加減法： _ _ _ _ _ ； 異分母加減法： _ _ _ _ _ (3) 分 式的乘除法： a b c d _ _ _ ； a b c d _ _ _ (4) 分式的乘方： ( a b ) n _ _ _ 答案 ： 1. 同分母 2. (2) 分母不變 ， 分子相加減；先通分 ， 后加減； (3) acbd ； adbc ； (4) a n b n 11 計算： (1) a 1 a 1 a 1 a 2 1 1 ； (2) x 2 y x 2 2xy y 2 ( 1 x 1 y ) 解： ( 1 ) 原式 a 1 a 1 （ a 1 ）（ a 1 ） a 1 1 a 1 1 a ( 2 ) 原式 x 2 y （ x y ） 2 x y xy x x y 12 先化簡 ， 再求值： ( 1 1 x ) x 2 2x 1 x ， 其中 x 2 . 解：原式 x 1 x x x 2 2x 1 x 1 x x （ x 1 ） 2 1 x 1 ， x 2 時 ， 原式 1 2 1 2 1 （ 2 1 ）（ 2 1 ） 2 1 13 ( 原創(chuàng)題 ) 已知 a ， b 互為倒數(shù) ， 求代數(shù)式 a 2 2ab b 2 a b ( 1 a 1 b ) 的值 解：原式 （ a b ） 2 a b a b ab ( a b ) ab a b ab . a ， b 互為倒數(shù) ， 原式 ab 1 1 通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母 方法是： (1)將各分母分解因式； (2)找各分 母系數(shù)的最小公倍數(shù)； (3)找出各分母中不同的因式 ， 相同因式中取次數(shù)最高的 ， 滿足 (2)(3)的因式之積即為各分式的最簡公分母 2 在分式運算的過程中 ， 要注意對分式的分子 、 分母進行因式分解 ， 然后簡 化運算 ， 再運用四則運算法則進行求值計算 3 在分式的加減乘除混合運算中 ， 應(yīng)先算乘除 ， 進行約分化簡后 ， 再進行加 減運算 ， 遇到有括號的 ， 先算括號里面的 運算結(jié)果必須是最簡分式或整式 14 若實數(shù) x 滿足 x 2 2 2 x 1 0 ， 求 x 2 1 x 2 的值 【解析】 根據(jù) x 2 2 2 x 1 0 ， 可以求得 x 1 x 的值 ， 從而可以得到 x 2 1 x 2 的值 ， 本題得以解決 解： x 2 2 2 x 1 0 ， x 2 2 1 x 0 ， x 1 x 2 2 ， ( x 1 x ) 2 8 ， 即 x 2 2 1 x 2 8 ， x 2 1 x 2 10 15. 若 4 x 1 表示一個整數(shù) ， 則整數(shù) x 可取的值的個數(shù)是 ( ) A 3 個 B 4 個 C 5 個 D 6 個 D 16 已知 1 x 1 y 3 ， 求代數(shù)式 2 x 14 xy 2 y x 2 xy y 的值 解析：第 14 題按照字母滿足的條件 ， 逐一分析計算得出答案；第 15 題 首先考慮能夠整除 4 的整數(shù)有 1 ， 2 ， 4 ；第 16 題把 1 x 1 y 3 變形為 y x 3 xy 代入代數(shù)式即可求值 解： 1 x 1 y 3 ， y x 3xy ， 2x 14xy 2y x 2xy y 2 （ x y ） 14xy （ x y ） 2xy 6xy 14xy 3xy 2xy 20 xy 5xy 4 17 若實數(shù) x ， y 滿足 xy 0 ， 則 m x |x| |y| y 的最大值是 _ 【解析】 m x |x| |y| y xy |x| y |x| |y| |x| y xy |xy| |x| y . 若 xy 0 時 ， 若 x ， y 均小于 0 ， 則 m 2xy xy 2 ， 若 x ， y 均大于 0 ， 則 m 2xy xy 2. 故最大值為 2. 2 18 已知 a 2 3a 1 0 ( a 0 ) ， 求 a 2 a 4 1 的值 解： a 2 3a 1 0 ， a 0 ， a 1 a 3 ， a 4 1 a 2 a 2 1 a 2 ( a 1 a ) 2 2 3 2 2 7 ， a 2 a 4 1 1 7 分式求值方法靈活多變 ， 根據(jù)所給條件和求值式的特征進行適當(dāng)?shù)淖冃?、轉(zhuǎn)化 ， 如 運用整體代入法、平方法、倒數(shù)法、代入法等