數(shù)學(xué) 第 20講 圓的基本性質(zhì) 廣西專用 1 主要概念 (1)圓：平面上到 _的距離等于 _的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓 _叫做圓心 ， _叫做半徑 ， 以 O為圓心的圓記作 O. (2)弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做 _， 連接圓上任意兩點(diǎn)的 線段叫做 _， 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 ， 直徑是最長的 _ (3)圓心角：頂點(diǎn)在 _， 角的兩邊與圓相交的角叫做圓心角 (4)圓周角：頂點(diǎn)在 _， 角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角 (5)等?。涸?_中 ， 能夠完全 _的弧叫做等弧 定點(diǎn) 定長 定點(diǎn) 定長 弧 弦 弦 圓心 圓上 同圓或等圓 重合 2 圓的有關(guān)性質(zhì) (1)圓的對(duì)稱性： 圓是 _圖形 ， 其對(duì)稱軸是 _ 圓是 _圖形 ， 對(duì)稱中心是 _ 旋轉(zhuǎn)不變性 ， 即圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度 ， 都能與原來的 圖形重合 軸對(duì)稱 過圓心的任意一條直線 中心對(duì)稱 圓心 (2)垂徑定理及推論： 垂徑定理：垂直于弦的直徑 _， 并且 _ 垂徑定理的推論： 平分弦 (不是直徑 )的直徑 _， 并且 _ ； 弦的垂直平分線 _， 并且平分弦所對(duì)的兩條??； 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所對(duì)的另一 條弧 平分弦 平分弦所對(duì)的兩條弧 垂直于弦 平分弦所對(duì)的兩條弧 經(jīng)過圓心 (3)弦、弧、圓心角的關(guān)系定理及推論： 弦、弧、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中 ， 相等的圓心角所對(duì)的弧 _， 所對(duì)的弦 _ 推論：在同圓或等圓中 ， 如果 _、 _、 _、 _中有一組量相等 ， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相 等 相等 相等 兩個(gè)圓心角 兩條弧 兩條弦 兩條弦心距 (4)圓周角定理及推論： 圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的 _ 圓周角定理的推論： 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的 弧 _ 半圓 (或直徑 )所對(duì)的圓周角是 _； 90 的圓周角所對(duì)的弦是 _ 一半 相等 直角 直徑 常見的輔助線 (1)有關(guān)弦的問題 ， 常作其弦心距 ， 構(gòu)造以半徑 、 弦的一半 、 弦心距為 邊的直角三角形 ， 利用勾股定理知識(shí)求解； (2)有關(guān)直徑的問題 ， 常通 過輔助線構(gòu)造直徑所對(duì)的圓 周角是直角來進(jìn)行證明或計(jì)算； (3)有等弧或同弧相等時(shí) ， 常連等弧所對(duì)的弦或作等 (同 )弧所對(duì)的圓周 ( 心 )角 C 1 (2016玉林 )如圖 ， CD是 O的直徑 ， 已知 1 30 ， 則 2 ( ) A 30 B 45 C 60 D 70 2 (2016來賓 )如圖 ， 在 O中 ， 點(diǎn) A， B在 O上 ， 且 ACB 110 ， 則 _ 140 3 (2016百色 )如圖 ， O的直徑 AB過弦 CD的中點(diǎn) E， 若 C 25 ， 則 D _ 65 4 ( 2016 貴港 ) 如圖 ， AB 是半圓 O 的直徑 ， C 是半圓 O 上一點(diǎn) ， 弦 AD 平分 BA C ， 交 BC 于點(diǎn) E ， 若 AB 6 ， AD 5 ， 則 DE 的長為 _ 點(diǎn)撥：連接 BD ， CD ， AB 是半圓 O 的直徑 ， ADB 90 ， 又 在 Rt A DB 中 ， AB 6 ， AD 5 ， BD AB 2 AD 2 6 2 5 2 11 ， 弦 AD 平分 BAC ， BAD CA D ， CD BD 11 ， BCD BA D ， BCD CAD ， 又 CDE A DC ， DCE D AC ， CD AD DE CD ， DE CD 2 AD （ 11 ） 2 5 11 5 11 5 【 例 1】 (2016河池 )如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， P與 x軸相切 ， 與 y軸相交于 A(0， 2)， B(0， 8)， 則圓心 P的坐標(biāo)是 ( ) A (5， 3) B (5， 4) C (3， 5) D (4， 5) 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題考查的是垂徑定理及勾股定理 ， 根據(jù)題意作出輔助線 ， 構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵 D 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)(2014南寧 )在直徑為 200 cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后 ， 截面如圖 若油面的寬 AB 160 cm， 則油的最大深度為 ( ) A 40 cm B 60 cm C 80 cm D 100 cm A (2) ( 201 6 安順 ) 如圖 ， AB 是 O 的直徑 ， 弦 CD AB 于點(diǎn) E ， 若 AB 8 ， CD 6 ， 則 BE _ _ _ _ _ 4 7 【例 2 】 ( 2016 舟山 ) 把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展 開 ， 圖中的虛線表示折痕 ， 則 BC 的度數(shù)是 ( ) A 120 B 135 C 150 D 165 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圖形的翻折變 換 ， 正確得出 BO D 的度數(shù)是解題關(guān)鍵 C 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 2016 臺(tái) 灣 ) 如圖 ， 圓 O 通過五邊形 O ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)若 ABD 150 ， A 65 ， D 60 ， 則 BC 的度數(shù)為何？ ( ) A 25 B 40 C 50 D 55 B 【 例 3】 (2016南寧 )如圖 ， 點(diǎn) A， B， C， P在 O上 ， CD OA， CE OB， 垂足分別為 D， E， DCE 40 ， 則 P的度數(shù)為 ( ) A 140 B 70 C 60 D 40 【 點(diǎn)評(píng) 】 當(dāng)圖中出現(xiàn)同弧或等弧時(shí) ， 常?？紤]到弧所對(duì)的圓周角或 圓心角 ， 一條弧所對(duì)的圓周角等于該弧所對(duì)的圓心角的一半 ， 通過相等 的弧把角聯(lián)系起來 B D 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (1)(2015河池 )如圖 ， 在 O中 ， 直徑 AB CD， 垂足為 E， BOD 48 ， 則 BAC的大小是 ( ) A 60 B 48 C 30 D 24 (2)(2015梧州 )如圖 ， AB是 O的直徑 ， C， D是 O上的兩點(diǎn) ， 分別連 接 AC， BC， CD， OD.若 DOB 140 ， 則 ACD ( ) A 20 B 30 C 40 D 70 (3)(2016河池 )如圖 ， AB是 O的直徑 ， 點(diǎn) C， D都在 O上 ， ABC 50 ， 則 BDC的大小是 _ A 40