第一部分 教材梳理 第 1節(jié) 實(shí) 數(shù) 第一章 數(shù)與式 知識(shí)梳理 概念定理 1. 實(shí)數(shù)： 有理數(shù) 與 無(wú)理數(shù) 統(tǒng)稱為實(shí)數(shù) . 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn) 一 一對(duì)應(yīng) . 實(shí)數(shù)的分類如下： 2. 相反數(shù)： 只有 符號(hào) 不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù) . 3. 倒數(shù)： 乘積為 1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù) . 4. 絕對(duì)值： 在數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做 a的絕對(duì) 值，記為 |a|.正數(shù)的絕對(duì)值是 它本身 ，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的 相反數(shù) ， 0的絕對(duì)值是 0. 5. 科學(xué)記數(shù)法： 把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成 a 10n（其中 1| a| 10， n為 整數(shù)）的形式，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法 . 6. 實(shí)數(shù)運(yùn)算： 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，加、減、乘、除（除數(shù)不為 零），乘方運(yùn)算都可以進(jìn)行，但開(kāi)方運(yùn)算不一定能進(jìn)行，正 實(shí)數(shù)和零總能進(jìn)行 開(kāi)方運(yùn)算 ，而負(fù)實(shí)數(shù)只能 開(kāi)奇次方 ，不能 開(kāi)偶次方 . 7. 數(shù)軸： 規(guī)定了 原點(diǎn) 、 正方向 、 單位長(zhǎng)度 的直線叫做數(shù)軸 . （ 1） 數(shù)軸的三要素： 原點(diǎn) 、 單位長(zhǎng)度 、 正方向 . （ 2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的 有理數(shù) 都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示， 但數(shù)軸上的點(diǎn) 不都 表示有理數(shù) . （一般取右方向?yàn)檎较颍?數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無(wú)理數(shù) . ） （ 3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇?lái)說(shuō)，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右 邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大 . 8. 有效數(shù)字： 從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是 0的數(shù)字起到 末位 數(shù)字 止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字 . 主要公式 相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的定義公式 （ 1）若 a, b互為相反數(shù)，則 a+b=0. （ 2）若 a, b互為倒數(shù)，則 ab=1. （ 3）絕對(duì)值： 方法規(guī)律 1. 科學(xué)記數(shù)法使用規(guī)則 （ 1）把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成 a 10n(其中 1| a| 10， n為整數(shù) )的形式， 設(shè)這個(gè)數(shù)為 m，當(dāng) |m|10 時(shí)， n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減 1；當(dāng) |m|1 時(shí)， n為負(fù)數(shù)，且 |n|等于原數(shù)最左邊非零數(shù)字前所有 零的個(gè)數(shù) . （ 2）對(duì)于含有計(jì)數(shù)單位的數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，應(yīng)先把 計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換為數(shù)字，然后用科學(xué)記數(shù)法來(lái)記數(shù) .?？嫉挠?jì)數(shù) 單位有： 1千可表示為 103， 1萬(wàn)可表示為 104, 1億可表示為 108； ?？嫉挠?jì)量單位有： 1毫米可表示為 10-3米， 1納米可表示為 10-9米等 . 2. 實(shí)數(shù)運(yùn)算法則：先算乘方，開(kāi)方，再算乘除，最后算加減， 有括號(hào)的要先算括號(hào)內(nèi)的，若沒(méi)有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中， 要從左至右依次進(jìn)行運(yùn)算 . 中考考點(diǎn)精講精練 考點(diǎn) 1 實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 考點(diǎn)精講 【 例 1】 （ 2016宜昌）下列各數(shù)： 其 中是無(wú)理數(shù)的為 （ ） 思路點(diǎn)撥： 本題考查了無(wú)理數(shù)的概念，掌握無(wú)理數(shù)的三種構(gòu)成 形式是解答本題的關(guān)鍵 .無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù) 有三種構(gòu)成形式：根號(hào)型，即開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；與 有關(guān) 的數(shù)，構(gòu)造性無(wú)理數(shù)，即有規(guī)律，卻是無(wú)限不循環(huán)小數(shù) ; 有 特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如 0.1 010 010 001. 答案： B 考題再現(xiàn) 1. （ 2016廣東） -2的絕對(duì)值是 （ ） 2. （ 2016茂名） 2016的相反數(shù)是 （ ） 3. （ 2016鹽城）下列實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)的為 （ ） 4. （ 2016張家界） -5的倒數(shù)是 （ ） A A D A 考點(diǎn)演練 5. 的絕對(duì)值是 （ ） A. B. C.2 D.-2 6. 下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是 （ ） A. -1與（ -1） 2 B. 1與（ -1） 2 C. 2與 D. 2與 |-2| 7. 在下列實(shí)數(shù)中： 0， ， -3.1415， 0.343 343 334 ，無(wú)理數(shù)有 （ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 8. 的倒數(shù)是 （ ） A. B. C. D. A A B A 考點(diǎn)點(diǎn)撥： 本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn)，題型一般為選擇題，難度較 低 . 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 . 注 意以下要點(diǎn)： （ 1）整數(shù)與分?jǐn)?shù)稱為有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)； （ 2）對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，不能只看表面形式，能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)， 再結(jié)合去判斷； （ 3）熟記無(wú)理數(shù)、有理數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)等概念的 含義與特征（詳見(jiàn) “ 知識(shí)梳理 ” 部分） . 考點(diǎn) 2 科學(xué)記數(shù)法 考點(diǎn)精講 【 例 2】 （ 2016濱海）世界上最小的開(kāi)花結(jié)果植物是澳大利亞 的出水浮萍，這種植物的果實(shí)像一個(gè)微笑的無(wú)花果，質(zhì)量只 有 0.000 000 076 g，將 0.000 000 076用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ） A. 7.6 10-8 B. 0.76 10-9 C. 7.6 108 D. 0.76 109 思路點(diǎn)撥 ：絕對(duì)值小于 1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示， 一般形式為 a 10-n(n0)，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其 所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù) 字前面的 0的個(gè)數(shù)所決定 . 0.000 000 076=7.6 10-8. 答案： A 考題再現(xiàn) 1. （ 2016廣東）據(jù)廣東省旅游局統(tǒng)計(jì)顯示， 2016年 4月全省 旅游住宿設(shè)施接待過(guò)夜旅客約 27 700 000人，將 27 700 000 用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ） A. 0.277 107 B. 0.277 108 C. 2.77 107 D. 2.77 108 2. （ 2015廣東）據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站 2014年 12月 4日發(fā)布消息， 2014年廣東省糧食總產(chǎn)量約為 13 573 000噸，將 13 573 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ） A. 1.357 3 106 B. 1.357 3 107 C. 1.357 3 108 D. 1.357 3 109 C B 考點(diǎn)演練 3. 肥皂泡的泡壁厚度大約是 0.0 007 mm， 0.0 007用科學(xué)記數(shù) 法表示為 （ ） A. 0.7 10-3 B. 7 10-3 C. 7 10-4 D. 7 10-5 4. 用科學(xué)記數(shù)法表示 47 000為 4.7 10n，那么 n的值為 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C B 考點(diǎn)點(diǎn)撥： 本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn)，題型一般為選擇題或填空題， 難度較低 . 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握科學(xué)記數(shù)法的有關(guān)表 達(dá)形式 . 注意以下要點(diǎn)： 把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成 a 10n(其中 1| a| 10， n為整數(shù) )的形式，設(shè) 這個(gè)數(shù)為 m， （ 1）當(dāng) |m|10 時(shí)， n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減 1； （ 2）當(dāng) |m|1 時(shí)， n為負(fù)數(shù)，且 |n|等于原數(shù)最左邊非零數(shù)字 前所有零的個(gè)數(shù) . 考點(diǎn) 3 實(shí)數(shù)的大小比較 考點(diǎn)精講 【 例 3】 將下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并用“”連接： -22， -（ -1）， 0， |-3|， -2.5. 思路點(diǎn)撥： 先畫(huà)出數(shù)軸并表示出各數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上各數(shù)的順序 用“”把各數(shù)連接起來(lái) . 解：畫(huà)出數(shù)軸并表示出各數(shù)如圖 1-1-1-1. 從左到右用“”把各數(shù)連接起來(lái)： -22 -2.5 0 -（ -1） |-3|. 考題再現(xiàn) 1. （ 2016廣東）如圖 1-1-1-2所示， a和 b的大小關(guān)系是 （ ） A. a b B. a b C. a=b D. b=2a 2. （ 2015廣東）在 0， 2，（ -3） 0,-5這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù) 是 （ ） A. 0 B. 2 C. （ -3） 0 D. -5 A B 3. （ 2014廣東）在 1， 0， 2， -3這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是 （ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. -3 4. （ 2016深圳）下列四個(gè)數(shù)中，最小的正數(shù)是 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 C C 考點(diǎn)演練 5. 在 -3， -2， 0， 3這四個(gè)數(shù)中，大小在 -1和 2之間的數(shù)是 （ ） A. -3 B. -2 C. 0 D. 3 6. 在 -1， -2， 0， 1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是 （ ） A. -1 B. -2 C. 0 D. 1 C B 7. a， b在數(shù)軸上的位置如圖 1-1-1-3所示，則 a， b， -a， -b的 大小順序是 （ ） A. -a b a -b B. b -a a -b C. -a -b b a D. b -a -b a B 考點(diǎn)點(diǎn)撥： 本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn)，題型一般為選擇題，難度較 低 . 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握實(shí)數(shù)的大小比較法則 . 注意以下要點(diǎn)： （ 1）正數(shù)大于 0，負(fù)數(shù)小于 0； （ 2）兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而小 . 考點(diǎn) 4 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 考點(diǎn)精講 【 例 4】 計(jì)算： 思路點(diǎn)撥： 原式利用乘方的意義，絕對(duì)值的代數(shù)意義，零指 數(shù)冪法則等計(jì)算即可得到結(jié)果 . 解： 考題再現(xiàn) 1. （ 2016廣東）計(jì)算： | 3| (2 016+sin30 )0 2. （ 2015珠海）計(jì)算： -12- +50+|-3|. 解：原式 =3-1+2 =4. 解：原式 =-1-2 3+1+3 =-1-6+1+3 =-3. 3. （ 2015梅州）計(jì)算： 4. （ 2016龍巖）計(jì)算： 考點(diǎn)演練 5. 計(jì)算： 6. 計(jì)算： -14- 2-（ -3） 2 考點(diǎn)點(diǎn)撥： 本考點(diǎn)是廣東中考的高頻考點(diǎn)，題型一般為計(jì)算題，難度中等 . 解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則正確進(jìn) 行計(jì)算 . 注意以下要點(diǎn)： （ 1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則（詳見(jiàn)“知識(shí)梳理”部分 )； （ 2）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)整數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值、特 殊角的三角函數(shù)等的運(yùn)算方法 . 課堂鞏固訓(xùn)練 1. 在 -（ -8），（ -1） 2 017， -32， -|-1|， -|0|， -2.131 131 113 中，負(fù)有理數(shù)共有 （ ） A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè) 2. （ 2016河北）點(diǎn) A， B在數(shù)軸上的位置如圖 1-1-1-4所示，其 對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是 a和 b. 對(duì)于以下結(jié)論： 甲： b-a 0；乙： a+b 0；丙： |a| |b|；?。?0，其中 正確的是 （ ） A. 甲、乙 B. 丙、丁 C. 甲、丙 D. 乙、丁 A C 3. （ 2016成都）在 -3， -1， 1， 3四個(gè)數(shù)中，比 -2小的數(shù)是 （ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 4. （ 2016淄博）人類的遺傳物質(zhì)是 DNA， DNA是一個(gè)很長(zhǎng)的鏈， 最短的 22號(hào)染色體也長(zhǎng)達(dá) 30 000 000個(gè)核苷酸， 30 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ） A. 3 107 B. 30 104 C. 0.3 107 D. 0.3 108 5. （ 2016大慶）地球上的海洋面積為 361 000 000 km2，數(shù)字 361 000 000用科學(xué)記數(shù)法表示為 （ ） A. 36.1 107 B. 0.361 109 C. 3.61 108 D. 3.61 107 A A C 6. 用四舍五入法對(duì) 3.8963取近似數(shù)，精確到 0.01，得到的正 確結(jié)果是 （ ） A. 3.89 B. 3.9 C. 3.90 D. 3.896 7. 計(jì)算：（ -3） 3 （ -9） +（ -2） 2 |-4+1|. 8. （ 2016南充）計(jì)算： C 解：原式 =-27 （ -9） +4 3=3+12=15.