第 27講 圖形的平移與旋轉(zhuǎn) 山西專用 1 圖形的平移 (1)定義：在平面內(nèi) ， 將某一圖形沿著某個方向移動一定的距離 ， 這 種圖形運動稱為平移；平移不改變圖形的大小和形狀 (2)平移的要素： _、 _ (2)性質(zhì)： 平移后的圖形與原來的圖形全等； 對應(yīng)線段平行且相 等 ， 對應(yīng)角相等； 對應(yīng)點所連的線段平行且相等 平移方向 平移距離 2 圖形的旋轉(zhuǎn) (1)定義：把一個圖形繞著某一個點 O轉(zhuǎn)動一定角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn) ， 如果圖形上的點 P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c P， 那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的 對應(yīng)點； (2)要素：確定一個旋轉(zhuǎn)運動的條件是要確定旋轉(zhuǎn)中心 、 _和旋轉(zhuǎn) 角度； (3)性質(zhì)： 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離 _； 對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于 _； 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形 _. 旋轉(zhuǎn)方向 相等 旋轉(zhuǎn)角 全等 命題點：圖形的旋轉(zhuǎn) 1. (2016山西 22(1)(2)題 6分 )問題情境 在綜合與實踐課上 ， 老師讓同學(xué)們以 “ 菱形紙片的剪拼 ” 為主題開展數(shù) 學(xué)活動如圖 ， 將一張菱形紙片 ABCD( BAD90 )沿對角線 AC剪 開 ， 得到 ABC和 ACD. 操作發(fā)現(xiàn) (1)將圖中的 ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ， 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 ， 使 BAC， 得到如圖所示的 ACD， 分別延長 BC和 DC交于點 E， 則四 邊形 ACEC的形狀是 _； (2)創(chuàng)新小組將圖中的 ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ， 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 ， 使 2 BAC， 得到如圖所示的 ACD， 連接 DB、 CC， 得到四邊 形 BCCD， 發(fā)現(xiàn)它是矩形請你證明這個結(jié)論 (導(dǎo)學(xué)號 02052502) 菱形 證明： ( 2 ) 如圖 ， 過點 A 作 AE C C 于點 E ， 由旋轉(zhuǎn)得 AC AC ， BC D C ， C A E C A E 1 2 B AC . 原四 邊形紙片 A B C D 是菱形 ， BA BC ， B C A B A C ， C A E BCA ， AE BC ， 同理 AE DC ， BC DC ， 四邊形 B C C D 是平行四邊形 ， 又 AE BC ， C E A 90 ， B C C 180 C E A 90 ， 四邊形 B C C D 是矩形 圖形的旋轉(zhuǎn) 【 例 1】 (2016婁底改編 )如圖 ， 將等腰 ABC繞頂點 B逆時針方向旋轉(zhuǎn)角為 旋轉(zhuǎn)到 A1BC1的位置 ， AB與 A1C1相交于點 D， AC與 A1C1、 BC1分別相交于點 E、 F. (1)試判斷 A1D和 CF的數(shù)量關(guān)系； (2)當(dāng) C 時 ， 判定四邊形 A1BCE的形狀并說明理由 【 分析 】 (1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 AB BC， A C， 由旋 轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 A1B AB BC， A A1 C， A1BD CBC1， 根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)即可求解； (2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 A1 A， 根據(jù)平角的定義得到 DEC 180 ， 在四邊形 A1BCE中 ， 根 據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到 A1BC 360 A1 C A1EC 180 ， 進而證得四邊形 A1BCE是平行四邊形 ， 由 A1B BC即鄰邊相等的 平行四邊形是菱形即可證明 解： ( 1 ) A B C 是等腰三角形 ， AB BC ， A C ， 將等腰 A B C 繞頂點 B 逆時針方向旋轉(zhuǎn) 度到 A 1 BC 1 的位置 ， A 1 B AB BC ， A A 1 C ， A 1 BD C B C 1 ， 在 BCF 與 BA 1 D 中 ， A 1 C ， A 1 B BC A 1 BD C B F ， B C F BA 1 D ( AS A ) ， A 1 D CF ； ( 2 ) 四邊形 A 1 B C E 是菱形 ， 將等腰 A B C 繞頂點 B 逆時針方向旋轉(zhuǎn)到 A 1 BC 1 的位置 ， A 1 A ， A DE A 1 DB ， A ED A 1 BD ， DEC 180 ， C ， A 1 ， 在四邊形 A 1 B C E 中 ， A 1 BC 360 A 1 C A 1 EC 180 ， A 1 C ， A 1 BC A 1 EC ， 四邊形 A 1 B C E 是平行四邊形 ， A 1 B BC ， 四邊 形 A 1 B C E 是菱形 【 方法指導(dǎo) 】 圖形的旋轉(zhuǎn)為背景的探究問題 ， 常涉及的設(shè)問有：探究 兩條線段的數(shù)量關(guān)系、特殊四邊形形狀的判定 ， 解決此類問題 ， 需掌握 如下方法： 1 探究兩條線段的數(shù)量關(guān)系一般指的是兩條線段的倍數(shù)關(guān)系 ， ?？紤]利 用特殊三角形、全等三角形、特殊四邊形的性質(zhì)或根據(jù)題中對應(yīng)角的關(guān) 系得到相似三角形 ， 再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例進行求解 2 探究特殊四邊形的形狀 ， 通常先判定該四邊形是否是平行四邊形 ， 再 結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ， 根據(jù)其邊或角的之間的等量關(guān)系進一步判定其為哪種 特殊的平行四邊形 對應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016資陽改編 )在 Rt ABC中 ， C 90 ， Rt ABC繞點 A順時 針旋轉(zhuǎn)到 Rt ADE的位置 ， 點 E在斜邊 AB上 ， 連接 BD， 過點 D作 DF AC于點 F. (1)如圖 ， 若點 F與點 A重合 ， 求證： AC BC; (2)若 DAF DBA， 如圖 ， 當(dāng)點 F在線段 CA的延長線上時 ， 判斷 線段 AF與線段 BE的數(shù)量關(guān)系 ， 并說明理由 (導(dǎo)學(xué)號 02052503) 解： ( 1 ) 由旋轉(zhuǎn)得 ， B AC B A D ， DF AC ， C AD 90 ， B AC B AD 45 ， A C B 90 ， A B C 45 ， AC C B ; ( 2 ) 由旋轉(zhuǎn)得 ， AD AB ， A B D ADB ， D AF A B D ， DAF ADB ， AF BD ， B AC A B D ， A B D F A D ， 由 旋轉(zhuǎn)得 ， B AC B A D ， F A D B A C B A D 1 3 180 60 ， A B D 是等邊三角形 ， AD BD ， 在 AFD 和 B ED 中 ， F B ED 90 F A D DB E AD BD ， A FD B ED ( AAS ) ， AF BE 2 如圖所示 ， 在正方形 ABCD中 ， G是 CD上一點 ， 延長 BC到 E， 使 CE CG， 連接 BG并延長交 DE于 F， 將 DCE繞點 D順時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 DAE. (1)判斷四邊形 EBGD是什么特殊四邊形 ， 并說明理由； (2)由 BCG經(jīng)過怎樣的變換可得到 DAE？請說出具體的變換過程 (導(dǎo)學(xué)號 02052504) 解： ( 1 ) 四邊形 EB G D 是平行四邊形理由： 四邊形 A B C D 是矩形 ， AB CD ， AB CD ， 將 DC E 繞點 D 順時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 D A E ， CE A E ， CE CG ， AE CG ， BE DG ， 四邊形 EB GD 是平行四邊形； ( 2 ) 四邊形 A B C D 是正方形 ， BC CD ， B C D 90 . B C D DC E 180 ， B C D DC E 90 . 在 B C G 和 DC E ， B C G D C E BC DC C B G C DE ， BC G DC E ( AS A ) ； 由 B C G 繞點 C 順時針 旋轉(zhuǎn) 90 可得到 DC E ， 再繞點 D 順時針旋轉(zhuǎn) 90 得到 D A E