數(shù)學 第 6講 一次方程 (組 )及其應用 山西專用 b c 1 等式的基本性質 性質 1 ：等式兩邊加 ( 或減 ) 同一個數(shù) ( 或式子 ) ， 結果仍相等 ， 即：如果 a b ， c 為任意數(shù) ( 或式子 ) ， 那么 a c _ _ _ ； 性質 2 ：等式兩邊乘同一個數(shù) ， 或除以同 一個不為 0 的數(shù) ， 結果仍相等 ， 即： 如果 a b ， 那么 ac bc ； 如果 a b ， c 0 ， 那么 a c b c . 2 方程及方程的解 (1)方程：含有未知數(shù)的等式 (2)方程的解：能夠使方程左右兩邊 _的未知數(shù)的值 ， 叫做方程的解 求方程解的過程叫做解方程 3 一元一次方程 (1)定義：只含有一個未知數(shù) ， 且未知數(shù)的項的次數(shù)是 _的整式方程 (2)解一元一次方程主要有以下步驟： 去分母 (注意不要漏乘不含分母的 項 )； 去括號 (注意括號外是負號時 ， 去括號后括號內各項均要變號 )； 移項 (注意移項要變號 )； 合并同類項； 系數(shù)化 1. 相等 1 4 二元一次方程 ( 1 ) 定義：含有兩個未知數(shù) ， 且含未知數(shù)的項的次數(shù)為 1 的整式方程 ( 2 ) 二元一次方程的解：適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值 注意： 二元一次方程的解是滿足方程的一對數(shù)值 ， 即 x a y b ， 任何一個二 元一次方程都有無數(shù)多個解 ( 3 ) 解法：解二元一次方程時 ， 先用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未 知數(shù) ， 然后給一個未知數(shù)取值 ， 求另一個未知 數(shù)的值 ， 即可得到該二元 一次方程的一個解 5 二元一次方程組 (1)定義：將兩個或兩個以上的方程聯(lián)立在一起 ， 就構成了一個方程組 ， 方程組中含有兩個未知數(shù) ， 且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是 _ _， 這樣的方 程組叫二元一次方程組 (2)解二元一次方程組的基本思想是消元 ， 有代入消元法與加減消元法兩 種方法 . 方程組中一個方程里有一個未知數(shù)的系數(shù)是 1或 1， 選擇代入消元法 較簡單； 方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍 ， 選擇加減消 元法 1 6 三元一次方程組 (1) 定義：方程組中含有三個未知數(shù) ， 且未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1 的方程 組叫三元一次方程組 (2) 三元一次方程組的解法： 三元一次方程組 消元 二元一次方程組 消元 一元一次方程 7 列方程 (組 )解應用題的一般步驟 (1)審：審清題意 ， 分清題中的 _、 _； (2)設：設關鍵未知數(shù)； (3)找：找出各量之間的 _； (4)列：根據(jù)等量關系列方程 (組 )； (5)解：解方程 (組 )； (6)驗：檢驗所解出的答案是否正確 ， 是否符合題意； (7)答：規(guī)范作答 ， 注意單位名稱 已知量 未知量 等量關系 8 常見一次方程實際應用常見類型及關系式 (1) 行程問題：路程速度 時間； 相遇問題：兩者路程之和全程； 追及問題 ： 快者路程慢者先走的路程 ( 或相距路程 ) 慢者后走的路程； 水中航行問題： 順水速度船在靜水中速度水流速度； 逆水速度船在靜水中速度 _ 水流速度 . (2)工程問題：工作量工作效率 _， 各部分部分工作量之和 總工作量 (3)利潤問題： 利潤售價進價 _ 利潤率； 售價標價 折扣率進價 (1利潤率 )； 總利潤總售價總進價單件利潤 _ (4)利息問題： 利息本金 利率 期數(shù)； 本息和本金利息 工作時間 進價 銷量 A 命題點：一元一次方程 (組 )的應用 1 (2013山西 9題 2分 )王先生到銀行存了一筆三年期的定期存款 ， 年利 率是 4.25%， 若到期后取出得到本息和 (本金利息 )33825元 ， 設王先生 存入的本金為 x元 ， 則下面所列方程正確的是 ( ) A x 3 4.25%x 33825 B x 4.25%x 33825 C 3 4.25%x 33825 D 3(x 4.25%x) 33825 1000 2 (2012山西 17題 3分 )圖 是邊長為 30 cm的正方形紙板 ， 裁掉陰影部 分后將其折疊成如圖 所示的長方體盒子 ， 已知該長方體的寬是高的 2倍 ， 則它的體積是 _cm3. C 一元一次方程 (組 )的應用 【 例 1】 (2016哈爾濱 )某車間有 26名工人 ， 每人每天可以生產 800個螺 釘或 1000個螺母 ， 1個螺釘需要配 2個螺母 ， 為使每天生產的螺釘和螺母 剛好配套設安排 x名工人生產螺釘 ， 則下面所列方程正確的是 ( ) A 2 1000(26 x) 800 x B 1000(13 x) 800 x C 1000(26 x) 2 800 x D 1000(26 x) 800 x 【 分析 】 本題考查一元一次方程的應用 ， 找到等量關系是解題關鍵 由題意可得 x名工人生產螺釘?shù)膫€數(shù)為 800 x個 ， 剩下的工人生產螺母為 1000 (26 x)個 ， 因為螺釘和螺母要配套即 1個螺釘需要 2個螺母 ， 據(jù)此 列等量關系即可 . 【 方法指導 】 1.列方程 (組 )解應用題的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系 起來 ， 找出題目中的數(shù)量關系 ， 并根據(jù)題意或生活實際建立等量關系； 2.可根據(jù)公式尋找數(shù)量關系 ， 如周長、面積、體積等； 3.在有倍數(shù)、和 差關系的應用題中 ， 應抓住兩種量的關系 ， 建立等量關系 ， 這類題目中 常有 “ 一共是 ” 、 “ 比 多 (少 )” 、 “ 是 的幾倍 ” 、 “ 比 幾倍多 ( 少 )” 等； 4.涉及幾何圖形的應用問題時 ， 等量關系一般隱藏在圖形的 性質中 ， 如矩形對邊相等 ， 正方形四邊相等或裁剪拼接和折疊前后的對 應關系等 對應訓練 1 一件夾克衫先按成本提高 50%標價 ， 再以 8折 (標價的 80%)出售 ， 結 果獲利 28元 ， 若設這件夾克衫的成本是 x元 ， 根據(jù)題意 ， 可得到的方程 是 ( ) A (1 50%)x 80% x 28 B (1 50%)x 80% x 28 C (1 50%x) 80% x 28 D (1 50%x) 80% x 28(導學號 02052065) B 2 如圖 ， 寬為 50 cm的長方形圖案由 10個相同的小長方形拼成 ， 其中一 個小長方形的面積為 _cm2. (導學號 02052066) 解析：設小長方形的長為 x cm， 則寬為 (50 x)cm， 根據(jù)題意可得： 2x x 4(50 x)， 解得： x 40， 故 50 x 10(cm) 則一個小長方形的面 積為： 10 40 400(cm2) 400