第二部分 空間與圖形 課時(shí) 22 特殊的平行四邊形 第四章 圖形的認(rèn)識(shí)（一） 知識(shí)要點(diǎn)梳理 1. 特殊平行四邊形的定義： （ 1）矩形：有一個(gè)角是 __________的平行四邊形是矩形 . （ 2）菱形：有一組 __________的平行四邊形是菱形 . （ 3）正方形：有一組 __________且有一個(gè)角為 __________的 平行四邊形叫做正方形 .它是最特殊的平行四邊形，它既是平 行四邊形，還是菱形，也是矩形 . 直角 鄰邊相等 鄰邊相等 直角 2. 特殊平行四邊形的性質(zhì)： （ 1）矩形的性質(zhì)：邊：對(duì)邊 __________且 __________； 角：四個(gè)角都 __________（ 90 ）、鄰角 __________； 對(duì)角線：對(duì)角線互相 __________且 __________；對(duì)稱性： ____________________________________. （ 2）菱形的性質(zhì)：邊： __________都相等；角：對(duì)角 __________、鄰角 __________；對(duì)角線：對(duì)角線 ___________________且每條對(duì)角線 __________每組對(duì)角； 對(duì)稱性： __________________________________. 平行 相等 相等 互補(bǔ) 平分 相等 軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形 四條邊 相等 互補(bǔ) 互相垂直平分 平分 軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形 （ 3）正方形的性質(zhì)：邊：四條邊都 __________；角：四 個(gè)角 __________（ 90 ）；對(duì)角線：對(duì)角線 ____________________，對(duì)角線與邊的夾角為 __________； 對(duì)稱性： _________________________________. 3. 特殊平行四邊形的判定： （ 1）矩形的判定（滿足下列條件之一的四邊形是矩形）： 有一個(gè)角是 __________的平行四邊形；對(duì)角線 __________的平行四邊形；四個(gè)角都 __________的四邊形 . 相等 相等 互相垂直平分且相等 45 軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形 直角 相等 相等 （ 2）菱形的判定（滿足下列條件之一的四邊形是菱形）： 有一組 __________的平行四邊形；對(duì)角線 __________的平 行四邊形；四條邊都 __________的四邊形 . （ 3）正方形的判定（滿足下列條件之一的四邊形是正方形）： 有一組 __________且有一個(gè)角為 __________的平行四邊形； 有一組 __________的矩形；對(duì)角線 __________的矩形； 有一個(gè)角是直角的 __________；對(duì)角線 __________的菱形 . 4. 特殊平行四邊形的面積公式： （ 1）設(shè)矩形 ABCD的兩鄰邊長分別為 a,b，則 S矩形 =__________. 鄰邊相等 互相垂直 相等 鄰邊相等 直角 鄰邊相等 互相垂直 菱形 相等 ab （ 2）設(shè)菱形 ABCD的一邊長為 a，高為 h，則 S菱形 =__________; 若菱形的兩對(duì)角線的長分別為 a,b，則 S菱形 =__________. （ 3）設(shè)正方形 ABCD的一邊長為 a，則 S正方形 =__________； 若正方形的對(duì)角線的長為 b，則 S正方形 =__________. ah a2 重要方法與思路 特殊平行四邊形的說明方法： （ 1）矩形的說明方法（三種）： 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD 的任意一個(gè)角為直角； 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線相等； 說明四邊形 ABCD的三個(gè)角是直角 . （ 2）菱形的說明方法（三種）： 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD 的任一組鄰邊相等； 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線互相垂直； 說明四邊形 ABCD的四條邊相等 . （ 3）正方形的說明方法（四種）： 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD 的一個(gè)角為直角且有一組鄰邊相等； 先說明四邊形 ABCD為平行四邊形，再說明平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線互相垂直且相等； 先說明四邊形 ABCD為矩形，再說明矩形 ABCD的一組鄰邊相 等（或?qū)蔷€互相垂直）； 先說明四邊形 ABCD為菱形，再說明菱形 ABCD的一個(gè)角為直 角（或?qū)蔷€相等） . 中考考點(diǎn)精練 考點(diǎn) 1 矩形的性質(zhì)和判定 1. （ 2016蘭州）如圖 2-4-22-1，矩形 ABCD的對(duì)角線 AC與 BD相 交于點(diǎn) O， CE BD， DE AC， AD= ， DE=2，則四邊形 OCED 的面積 （ ） A 2. （ 2016廣東）如圖 2-4-22-2，矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC= ,E為 BC邊上一點(diǎn)， BC=3BE，將矩形 ABCD沿 AE所在的直 線折疊， B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線 AC上的 B 處，則 AB=________. 3. （ 2016茂名）如圖 2-4-22-3，已知矩形的對(duì)角線 AC與 BD相 交于點(diǎn) O，若 AO=1，那么 BD=________. 2 4. （ 2015梅州）如圖 2-4-22-4，將矩形紙片 ABCD折疊，使點(diǎn) A 與點(diǎn) C重合，折痕為 EF，若 AB=4， BC=2，那么線段 EF的長為 ________. 5.（ 2016廣州）如圖 2-4-22-5，矩形 ABCD的對(duì)角線 AC， BD相交 于點(diǎn) O，若 AB=AO，求 ABD的度數(shù) . 解： 四邊形 ABCD是矩形， OA=OC， OB=OD， AC=BD. AO=BO. AB=AO， AB=AO=BO. ABO是等邊三角形 . ABD=60 . 解題指導(dǎo)： 本考點(diǎn)是廣東中考的次高頻考點(diǎn)，其題型不固定，難度中等 . 解此類題的關(guān)鍵在于熟練掌握矩形的性質(zhì)和判定定理（注意： 相關(guān)要點(diǎn)請(qǐng)查看“知識(shí)要點(diǎn)梳理”部分，并認(rèn)真掌握） . 考點(diǎn) 2 菱形的性質(zhì)和判定 1. （ 2015廣東）如圖 2-4-22-6，菱形 ABCD的邊長為 6， ABC= 60 ，則對(duì)角線 AC的長是 ________. 2. （ 2014珠海）邊長為 3 cm的菱形的周長是 （ ） A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm 6 C 3.（ 2016梅州）如圖 2-4-22-7，在平行四邊形 ABCD中，以點(diǎn) A 為圓心， AB長為半徑畫弧交 AD于點(diǎn) F，再分別以點(diǎn) B， F為圓心， 大于 BF長為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn) P，連接 AP并延長交 BC 于點(diǎn) E，連接 EF. （ 1）四邊形 ABEF是 ________； （ 2） AE， BF相交于點(diǎn) O，若四邊形 ABEF的周長為 40， BF=10， 則 AE的長為 ________， ABC=________. 菱形 120 4. （ 2016聊城）如圖 2-4-22-8，在 Rt ABC中， B=90 ，點(diǎn) E是 AC的中點(diǎn)， AC=2AB， BAC的平分線 AD交 BC于點(diǎn) D，作 AF BC，連接 DE并延長交 AF于點(diǎn) F，連接 FC. 求證：四邊形 ADCF是菱形 . 證明： AF CD， AFE= CDE. 在 AFE和 CDE中， AEF CED. AF=CD. AF BC， 四邊形 ADCF是平行四邊形 . B=90 ， AC=2AB, ACB=30 . CAB=60 . AD平分 CAB， DAC= DAB=30 = ACD. DA=DC. 四邊形 ADCF是菱形 . 解題指導(dǎo)： 本考點(diǎn)是廣東中考的次高頻考點(diǎn)，其題型不固定，難度中等 . 解此類題的關(guān)鍵在于熟練掌握菱形的性質(zhì)和判定定理（注意： 相關(guān)要點(diǎn)請(qǐng)查看“知識(shí)要點(diǎn)梳理”部分，并認(rèn)真掌握） . 考點(diǎn) 3 正方形的性質(zhì)和判定 1.（ 2016廣東）如圖 2-4-22-9，正方形 ABCD的面積為 1，則以 相鄰兩邊中點(diǎn)的連線 EF為邊的正方形 EFGH的周長為 （ ） B 2. （ 2015深圳）如圖 2-4-22-10，已知正方形 ABCD的邊長為 12， BE=EC，將正方形邊 CD沿 DE折疊到 DF，延長 EF交 AB于點(diǎn) G，連接 DG，現(xiàn)在有如下 4個(gè)結(jié)論： ADG FDG； GB=2AG； GDE BEF； S BEF= .在以上 4個(gè)結(jié)論中，正確的有 （ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) C 3. （ 2016廣州）如圖 2-4-22-11，正方形 ABCD的邊長為 1， AC， BD是對(duì)角線 . 將 DCB繞著點(diǎn) D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45 得到 DGH， HG 交 AB于點(diǎn) E，連接 DE交 AC于點(diǎn) F，連接 FG. 則下列結(jié)論：四 邊形 AEGF是菱形； AED GED； DFG= 112.5 ; BC+FG=1.5. 其中正確的結(jié)論有 ________（填序號(hào)） . 4. （ 2014梅州）如圖 2-4-22-12，在 正方形 ABCD中， E是 AB上一點(diǎn)， F是 AD延長線上一點(diǎn)，且 DF=BE. （ 1）求證： CE=CF； （ 2）若點(diǎn) G在 AD上，且 GCE=45 ， 則 GE=BE+GD成立嗎？為什么？ （ 1）證明： 四邊形 ABCD為正方形， 在 CBE和 CDF中， CBE CDF（ SAS） . CE=CF. （ 2）解： GE=BE+GD成立 .理由如下 : 由（ 1）得 CBE CDF, BCE= DCF. BCE+ ECD= DCF+ ECD， 即 ECF= BCD=90 . 又 GCE=45 ， GCF= GCE=45 . 在 ECG和 FCG中， ECG FCG（ SAS） . GE=GF. GE=DF+GD=BE+GD. 解題指導(dǎo)： 本考點(diǎn)在 2016、 2015年廣東中考中均有出現(xiàn)，是中考的高頻 考點(diǎn)，其題型不固定，難度中等 . 解此類題的關(guān)鍵在于熟練掌握正方形的性質(zhì)和判定定理（注 意：相關(guān)要點(diǎn)請(qǐng)查看“知識(shí)要點(diǎn)梳理”部分，并認(rèn)真掌握） . 考點(diǎn)鞏固訓(xùn)練 考點(diǎn) 1 矩形的性質(zhì)和判定 1. 在四邊形 ABCD中， AC,BD相交于點(diǎn) O，在下列各組條件中， 不能判定四邊形 ABCD為矩形的是 （ ） A. AB=CD， AD=BC， AC=BD B. AO=CO， BO=DO， A=90 C. A= C， B+ C=180 ， AC BD D. A= B=90 ， AC=BD C 2. 如圖 2-4-22-13，在矩形 ABCD中（ AD AB），點(diǎn) E是 BC上一 點(diǎn)，且 DE=DA， AF DE，垂足為點(diǎn) F，在下列結(jié)論中，不一定 正確的是 （ ） B 3. 如圖 2-4-22-14，在 ABCD中， ABD的平分線 BE交 AD于點(diǎn) E， CDB的平分線 DF交 BC于點(diǎn) F，連接 BD. （ 1）求證： ABE CDF； （ 2）若 AB=DB，求證：四邊形 DFBE是矩形 . 證明：（ 1）在 ABCD中， AB=CD， A= C. AB CD， ABD= CDB. BE平分 ABD， DF平分 CDB， ABE= ABD， CDF= CDB. ABE= CDF. 考點(diǎn) 2 菱形的性質(zhì)和判定 4. 如圖 2-4-22-15，過矩形 ABCD的對(duì)角線 AC的中點(diǎn) O作 EF AC， 交 BC邊于點(diǎn) E，交 AD邊于點(diǎn) F，分別連接 AE， CF.若 AB= ， DCF=30 ，則 EF的長為 （ ） A 5. 如圖 2-4-22-16，矩形 ABCD中， O為 AC中點(diǎn)，過點(diǎn) O的直線分 別與 AB， CD交于點(diǎn) E， F，連接 BF交 AC于點(diǎn) M，連接 DE， BO.若 COB=60 ， FO=FC，則下列結(jié)論： FB OC， OM=CM; EOB CMB; 四邊形 EBFD是菱形 ,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有 （ ） A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 0個(gè) B 6. 如圖 2-4-22-17，已知 ABC中， ACB=90 ， EC是中線， ACD與 ACE關(guān)于直線 AC對(duì)稱 . （ 1）求證：四邊形 ADCE是菱形； （ 2）求證： BC=ED. 證明：（ 1） ACB=90 ， EC是中線， EA=EC. ACD與 ACE關(guān)于直線 AC對(duì)稱 , ACD ACE. EA=EC=DA=DC. 四邊形 ADCE是菱形 . （ 2） 四邊形 ADCE是菱形， CD AE且 CD=AE. AE=EB， CD EB且 CD=EB. 四邊形 BCDE為平行四邊形 . BC=ED. 考點(diǎn) 3 正方形的性質(zhì)和判定 7. 已知四邊形 ABCD，則下列說法正確的是 （ ） A. 若 AB CD， AB=CD，則四邊形 ABCD是平行四邊形 B. 若 AC BD， AC=BD，則四邊形 ABCD是矩形 C. 若 AC BD， AB=AD， CB=CD,則四邊形 ABCD是菱形 D. 若 AB=BC=CD=AD，則四邊形 ABCD是正方形 A 8. 如圖 2-4-22-18，正方形 ABCD和正方形 CEFG中，點(diǎn) D在 CG上， BC=1， CE=3， H是 AF的中點(diǎn)，那么 CH的長是 ________. 9. 如圖 2-4-22-19所示，在 Rt ABC中， BAC=90 ， AD=CD， 點(diǎn) E是邊 AC的中點(diǎn)，連接 DE， DE的延長線與邊 BC相交于點(diǎn) F， AG BC，交 DE于點(diǎn) G，連接 AF,CG. （ 1）求證： AF=BF； （ 2）如果 AB=AC，求證：四邊形 AFCG是正方形 . 證明：（ 1） AD=CD， 點(diǎn) E是邊 AC的中點(diǎn)， DE AC， 即 DE是線段 AC的垂直平分線 . AF=CF. FAC= ACF. 在 Rt ABC中，由 BAC=90 ， 得 B+ ACB=90 ， FAC+ BAF=90 . BAF= B. AF=BF. （ 2） AG CF， AGE= CFE. 又 點(diǎn) E是邊 AC的中點(diǎn)， AE=CE. 在 AEG和 CEF中， AEG CEF（ AAS） . AG=CF. 又 AG CF， 四邊形 AFCG是平行四邊形 . AF=CF， 四邊形 AFCG是菱形 . 在 Rt ABC中，由 AF=CF， AF=BF，得 BF=CF, 即點(diǎn) F是邊 BC的中點(diǎn) . 又 AB=AC， AF BC,即 AFC=90 . 四邊形 AFCG是正方形 . 10. 如圖 2-4-22-20，在正方形 ABCD中， P是對(duì)角線 BD上的一 點(diǎn)，點(diǎn) E在 AD的延長線上，且 PA=PE， PE交 CD于點(diǎn) F. （ 1）求證： PC=PE； （ 2）求 CPE的度數(shù) . （ 1）證明：在正方形 ABCD中， AB=BC， ABP= CBP=45 . 在 ABP和 CBP中， ABP CBP（ SAS） . PA=PC. PA=PE， PC=PE. （ 2）由（ 1）知， ABP CBP， BAP= BCP. DAP= DCP. PA=PE， DAP= E. DCP= E. CFP= EFD， 180 - PFC- PCF=180 - DFE- E， 即 CPE= EDF=90 .